正定二次型的性質(zhì)及應(yīng)用-文庫吧資料
2025-07-02 19:58本頁面
【正文】 實用價值，它不僅在幾何而且在數(shù)學(xué)的其它分支學(xué)科以及物理和工程技術(shù)也常常用到，正定矩陣是依附正定二次型給出的，因而對正定矩陣的性質(zhì)的考察，有助于更好地了解正定二次型，本文在二次型的基礎(chǔ)上研究了正定二次型與正定矩陣的一些性質(zhì)及相關(guān)證明，并以例題的形式詳細介紹了正定二次型的一些應(yīng)用.1 預(yù)備知識 二次型定義設(shè)是一數(shù)域，一個系數(shù)在數(shù)域中的的二次齊次多項式…+稱為數(shù)域上的一個元二次型，或者在不致引起混淆時簡稱二次型. 正定二次型的定義定義1 實二次型稱為正定的，如果對于任意一組不全為零的實數(shù)都有.定義2 實對稱矩陣稱為正定的，如果二次型正定.2 正定二次型的性質(zhì)性質(zhì)1 實二次型=是正定的當且僅當.證明 =是正定的，：（這里第個為1，其余個為0），有=.充分性顯然.性質(zhì)2 元實二次型是正定的充要條件是它的正慣性指數(shù)等于n.證明 設(shè)二次型經(jīng)過非退化實線性替換變成標準型 . （1）上面的討論表明，正定當且僅當（1）是正定的，而我們知道，二次型(4)是正定的當且僅當，即正慣性指數(shù)為.性質(zhì)3 正定二次型的規(guī)范形為，正定二次型的規(guī)范性矩陣為單位矩陣，所以一個實對稱矩陣是正定的當且僅當它與單位矩陣合同.性質(zhì)4 實二次型. =，正定的必要條件為證明 有實二次型知是一正定矩陣，因為與單位矩陣合同，所以有可逆矩陣使.兩邊取行列式，就有.性質(zhì)5 實二次型=為正定的充分必要條件是的特征值都是正數(shù).性質(zhì)6 若是正定矩陣，則也是正定矩陣.證明 如果正定，則由性質(zhì)2知，因而可逆，且其存在可逆矩陣,使，將等式兩邊取逆有，令，于是，所以也是正定矩陣.性質(zhì)7 若是正定矩陣，則對任意的實數(shù)，也是正定矩陣.證明 因為正定，所以對任意維實向量，都有，若，則，故為正定矩陣.性質(zhì)8 若是正定矩陣，則的伴隨矩陣也是正定矩陣.證明 因為正定，因而，
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