正定二次型的性質(zhì)及應(yīng)用-資料下載頁(yè)
2025-06-26 19:58本頁(yè)面
【正文】 正定矩陣是一一對(duì)應(yīng)的. 正定二次型在解線性方程組中的應(yīng)用.例5 （1）用矩陣給出平面上個(gè)點(diǎn)共線的充分必要條件（2）設(shè)是階滿秩矩陣，試證，是一個(gè)正定二次型，這里.解 （1）設(shè)直線，個(gè)點(diǎn)共線是指線性方程組（把看成未知量）有解，所以個(gè)點(diǎn)共線所以方程組有解 .（2）設(shè)是階滿秩矩陣，令,其中，則是非退化現(xiàn)行替換，且，由此可以看出，此二次型的正慣性指數(shù)與秩都等于，所以是正定二次型. 正定二次型在物理力學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用.因?yàn)樵谖锢砹W(xué)問(wèn)題中經(jīng)常需要同時(shí)將兩個(gè)二次型轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型來(lái)實(shí)現(xiàn)，這事應(yīng)用中很重要的一個(gè)問(wèn)題.命題 設(shè)是階正定矩陣，是階實(shí)對(duì)矩陣，則存在階可逆矩陣，使得,其中為對(duì)角陣.證明 因?yàn)槭钦ň仃?，所以存在階可逆矩陣，使得，令顯然仍為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，所以存在階正交矩陣，使得.取，則有另外正定二次型在研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性、廣義重積分、物理學(xué)電阻器功率的消耗等方面都有廣泛的應(yīng)用.結(jié)束語(yǔ)以上內(nèi)容是對(duì)正定二次型的研究，歸納之后總結(jié)出來(lái)的，對(duì)正定二次型，本文給出2個(gè)定義，13個(gè)性質(zhì)并證明，在例題的形式下，運(yùn)用這些定義跟性質(zhì)闡述了正定二次型在不同方面的7種應(yīng)用，可見(jiàn)其應(yīng)用廣泛，本文只列舉了正定二次型的部分應(yīng)用.參考文獻(xiàn)：[1]（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.[2][M].北京：科學(xué)出版社，2001. [3]（上下冊(cè)）[M].濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社.[4]（第三版）[M].北京：高等教育出版社，1984. [5][M].北京：高等教育出版社，2009. [5]高等代數(shù)與解析幾何(下) [M]．北京:高等教育出版社,2003[6]高等代數(shù)與解析幾何(上) [M]．北京:高等教育出版社,2003[7]蘇育才,姜翠波,[M]．上海:科學(xué)出版社,2006[9] Johns on CR，RAHon．Matrix Analysis[M]．New York：Cambridge University Press，1985．
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