二次型的有定性及其應用本科畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-07-20 13:57 本頁面
【文章內容簡介】 了解到半正定性的應用很廣泛，該文主要是在了解的基礎上，對半正定性的定義，判定定理，性質，做出了總結，并歸納出它在數學解題中的應用。 本文分為兩大塊，先是給出了總體上給出了正定及半正定的定義，及相關定理，對前人的研究成果加以總結，得出了正定二次型的一些應用。接下來就是文章的主要論述，即半正定的判定定理，性質，以及在數學上的應用。此論文主要是考慮了當前半正定矩陣應用前景比較廣泛，而有關此類的論文并不是很多，所以我在參考了有關學術研究的基礎上，對半正定做了些歸納，主要是因為二次型的半正定性與正定性在思想上是一致的，所以我先論述了正定的性質，定理再總結半正定的有關內容。1．二次型正定（半正定）的定義 的二次函數 稱為二次型。 對該二次型進行可逆線性變換該二次型變成了只有平方項，為標準型當只有1,1,0作為中的系數，時，就能得到則稱上式為二次型的規(guī)范型。上述線性變換也可寫為并且, 并當時就認為該線性變換是可逆的。有關于二次型的定理以及相關內容在高等數學中也很豐富： 則二次型可記為 其中, , 為對稱矩陣。 設有二次型,(1) 若，都能得到，那么稱是正定二次型，其中稱為正定的對稱矩陣； (2) 若,都能得到,，并且存在，使，那么稱為半正定二次型，其中稱為對稱的半正定矩陣。二次型的有定性包含正定性、半正定性。二次型的不定性即指的非有定性。任何二次型都有與其對應的矩陣，因此任何二次型的有定性也有就等價于對應的矩陣具有有定性。所以二次型的相關內容可由通過判斷矩陣的相關內容得出。2．二次型有定性的相關性質以及定理 二次型正定性的判別定理 慣性定理其中正（負）系數的個數稱為正（負）慣性指數。定理 二次型為正定正慣性指數是 二次型為正定它的特征值全為正, 那么對應的規(guī)范形為則： （1）正定 （即） (2) 半正定 (即)(3) 半負定 (即)(4) 不定 (即)定義 階矩陣的任意一個行列的子式， 稱為的一個階主子式。而子式稱為的階順序主子式。 若二次型對應的矩陣為正定的, 則，且階矩陣為正定矩陣的各階主子式。上面所介紹的是常見的對于正定矩陣的判定方法若矩陣是半正定的，下面三個是等價的： 對稱矩陣是半正定的。 的所有主子式大于或等于零；的全部特征值大于或等于零。（后面在半正定的判定定理中會詳細證明）1．n階對稱矩陣A是半正定矩陣若正慣性指數為則。2． n階對稱矩陣A是半正定矩陣特征值，且最少有一個為0。3．n階對稱矩陣A是半正定矩陣A的各階主子式全大于等于零。注：3中我們要注意，主子式與順序主子式的區(qū)別，必須要保證任意的一個主子式大于等于零。不能僅僅看順序主子式是否大于等于零，這是不充分的。 該部分主要討論二次型的應用，重點在于半正定二次型的應用，所以對其在數學解題上的應用做出了歸納，下面我們通過一些具體的例子來介紹正定、半正定性在數學上的應用。 證明（其中是不全為零的實數）。證明：令，那么對應的矩陣 ，因為，的各階順序主子式為：；，所以，正定，從而（因為是不全為零的實數），即（其中是不全為零的實數）,結論得證。 如果在的和都存在并且連續(xù)，,那么在點的梯度是。 滿足的點稱為函數的駐點。是在點的黑塞矩陣?？梢钥闯鍪鞘请A實對稱矩陣，其中各項是由二階偏導數構成的。 如果在取點時存在，并該函數能在取得極值點，則。稱該定理為取到極值的必要條件。，都連續(xù)則 : (1)如果正定，那么的極小值是； (2)如果負定，那么的極大值是； (3)如果不定，那么的沒有極值。以上定理稱為極值存在的充分條件。
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