淺談菲波納契數(shù)列的內(nèi)涵和應(yīng)用價值(編輯修改稿)
2025-07-23 15:45 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ，得方程組解這個方程組得 C1=, C2=∴原遞推關(guān)系的解是 Fn=[()n+1()n+1]證法二：設(shè)Fn的生成函數(shù)為 F(x) ，則有 F(x)=F0+F1x+F2x2+……+Fnxn+……x(F(x)F0)= F1x2+F2x3+…Fn1xn+……x2F(x)= F0x2+F1x3+……把以上式子的兩邊由上而下作差得F(x)(1xx2)+x=F0+F1x+(F2F1F0)x2+(F3F2F1)x3+…… =1+x+0+0+……∴F(x)===+由 解得A=，B=∴F(x)= ∴取x=1,k=n，則Fn=[()n+1()n+1]（2）在Fibonacci數(shù)列中。記bn=，則有b0==1 b1==b2== b3==b4== b5==………… bn=在求數(shù)列的極限之前我們首先來證明以下兩個命題：（i）引理：Fibonacci數(shù)列的任意相鄰四項滿足 Fn2Fn+1FnFn1=(1)n ， n≥3證明：根據(jù)行列式與線性方程組的關(guān)系，方程組 的解是 x==[()n()n]=Fn1y==[()n+1()n+1]=Fn ∴FnFn滿足原方程組，于是有把以上方程組的兩邊對應(yīng)相乘，得[][]=整理得， Fn12+FnFn1Fn2=(1)n+1 (FnFn1)(Fn+Fn+1)FnFn1=(1)n Fn2Fn+1FnFn1=(1)n 證畢。（ii）數(shù)列存在極限。證明：由引理可知，當n=2k+1，F(xiàn)k2Fk+1FkFk1=1＜0：當n=2k，F(xiàn)k2Fk+1FkFk1=1＞0因此分別有＜， ＞即數(shù)列遞增，數(shù)列遞減。 顯然， ∴數(shù)列有界。根據(jù)“單調(diào)有界數(shù)列必有極限”可知、存在極限。設(shè)=A, =B， 分別對b2n=及b2n+1=兩邊取極限有A=, 與 B=即有與∴，則必有 A=B≠0∴數(shù)列極限的存在性可證。 于是由（ii）我們可求。根據(jù)Fibonacci數(shù)列的通項以及＜1得, ====≈三．Fibonacci數(shù)列的應(yīng)用價值科學家發(fā)現(xiàn)無論在數(shù)學領(lǐng)域還是在自然界中
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