平面向量數(shù)量積運(yùn)算專題[附答案](編輯修改稿)
2024-07-22 14:47 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 －|a||b|cos θ－2|b|2＝0，∴|b|2－|b|2cos θ－2|b|2＝0.∴cos θ＝.又∵0≤θ≤π，∴θ＝.(2)記向量2a－b與a＋2b的夾角為θ，又(2a－b)2＝422＋32－423cos ＝13，(a＋2b)2＝22＋432＋423cos ＝52，(2a－b)(a＋2b)＝2a2－2b2＋3ab＝8－18＋9＝－1，故cos θ＝＝－，即2a－b與a＋2b的夾角的余弦值是－.點(diǎn)評(píng) 求向量的夾角時(shí)要注意：(1)向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，(2)數(shù)量積大于0說(shuō)明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說(shuō)明兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不能共線時(shí)兩向量的夾角為鈍角.變式訓(xùn)練2 (2014課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)已知A，B，C為圓O上的三點(diǎn)，若＝(＋)，則與的夾角為_(kāi)_______.答案 90176。解析 ∵＝(＋)，∴點(diǎn)O是△ABC中邊BC的中點(diǎn)，∴BC為直徑，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)得與的夾角為90176。.題型三 利用數(shù)量積求向量的模例3 (1)已知平面向量a和b，|a|＝1，|b|＝2，且a與b的夾角為120176。，則|2a＋b|等于( ) (2)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90176。，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，則|＋3|的最小值為_(kāi)_______.答案 (1)A (2)5解析 (1)因?yàn)槠矫嫦蛄縜和b，|a|＝1，|b|＝2，且a與b的夾角為120176。，所以|2a＋b|＝＝ ＝2.(2)方法一 以D為原點(diǎn)，分別以DA、DC所在直線為x、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)DC＝a，DP＝x.∴D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，＝(2，－x)，＝(1，a－x)，∴＋3＝(5,3a－4x)，|＋3|2＝25＋(3a－4x)2≥25，∴|＋3|的最小值為5.方法二 設(shè)＝x(0x1)，∴＝(1－x)，＝－＝－x，＝＋＝(1－x)＋，∴＋3＝＋(3－4x)，|＋3|2＝2＋2(3－4x)＋(3－4x)22＝25＋(3－4x)22≥25，∴|＋3|的最小值為5.點(diǎn)評(píng) (1)把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，給有關(guān)向量賦以具體的坐標(biāo)求向量的模，如向量a＝(x，y)，求向量a的模只需利用公式|a|＝即可求解.(2)向量不放在坐標(biāo)系中研究，求解此類問(wèn)題的方法是利用向量的運(yùn)算法則及其幾何意義或應(yīng)用向量的數(shù)量積公式，關(guān)鍵是會(huì)把向量a的模進(jìn)行如下轉(zhuǎn)化：|a|＝.變式訓(xùn)練3 (2015浙江)已知e1，e2是平面單位向量，且e1e2＝.若平面向量b滿足be1＝be2＝1，則|b|＝________.答案 解析 因?yàn)閨e1|＝|e2|＝1且e1e2＝.所以e1與e2的夾角為60176。.又因?yàn)閎e1＝be2＝1，所以be1－be2＝0，即b(e1－e2)＝0，所以b⊥(e1－e2).所以b與e1的夾角為30176。，所以be1＝|b||e1|cos 30176。＝1.所以|b|＝.高考題型精練1.(2015山東)已知菱形ABCD 的邊長(zhǎng)為a，∠ABC＝60176。，則等于( )A.－a2 B.－a2 答案 D解析 如圖所示，由題意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120176。.BD2＝BC2＋CD2－2BCCDcos 120176。＝a2＋a2－2aa＝3a2，∴BD＝a.∴＝||||cos 30176。＝a2＝a2.2.(2014浙江)記max{x，y}＝mi
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