拐點(diǎn)的判別及其在情報(bào)學(xué)中的應(yīng)用終稿畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-07-22 14:05 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 大于。在上小于。在上大于.故點(diǎn)和為函數(shù)的拐點(diǎn).注:此例說(shuō)明一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)都不存在之點(diǎn)為函數(shù)的拐點(diǎn),而且二階導(dǎo)數(shù)為的點(diǎn)存在且也為函數(shù)的拐點(diǎn). 例4 求函數(shù)的拐點(diǎn). 解 1) 該函數(shù)的定義域?yàn)楹? 2) , .令解得(在點(diǎn)處不存在,在點(diǎn)處也無(wú)定義,則在定義域上無(wú)不存在之點(diǎn),故點(diǎn)不為函數(shù)的拐點(diǎn)). 3) 在上大于。在上小于。在上大于.故為函數(shù)的拐點(diǎn).注:點(diǎn)如果是函數(shù)定義域中的點(diǎn),則就是函數(shù)的拐點(diǎn),但是點(diǎn)不是函數(shù)定義域中的點(diǎn),從此例可以看出拐點(diǎn)必須是函數(shù)定義域中的點(diǎn).例5 求證三次曲線有且僅有一個(gè)拐點(diǎn).證明 1) 該函數(shù)的定義域?yàn)? 2) 令解得且無(wú)不存在之點(diǎn),則點(diǎn)就為可能的拐點(diǎn). 3) 在與上異號(hào)故點(diǎn)就為函數(shù)的拐點(diǎn). 又由于無(wú)不存在之點(diǎn)且的解是唯一的，故該三次曲線有且僅有一個(gè)拐點(diǎn). 例6 求函數(shù)的拐點(diǎn). 解 1) 該函數(shù)的定義域?yàn)? 2) ,(的定義域?yàn)?.令解的,它們將定義域分為了無(wú)窮多個(gè)開(kāi)區(qū)間,即,, 3) 在,上小于。在,上大于,再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可知:則橫坐標(biāo)的點(diǎn)都為函數(shù)的拐點(diǎn).故都為的拐點(diǎn).注:該函數(shù)的拐點(diǎn)有無(wú)窮多個(gè). 應(yīng)用拐點(diǎn)的定義求由參數(shù)方程確定的函數(shù)的拐點(diǎn) 例7 求由參數(shù)方程確定的函數(shù)拐點(diǎn). 解 1) 由參數(shù)方程可見(jiàn),曲線位于軸的右側(cè),. 2) 求出參數(shù)方程所確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù),即: , .令解的,。不存在的點(diǎn)為. 3) 顯然在,的左右不同領(lǐng)域內(nèi),二階導(dǎo)數(shù)異號(hào). 故該函數(shù)的拐點(diǎn)為,.這個(gè)結(jié)論是不對(duì)的,當(dāng)時(shí),函數(shù)沒(méi)有定義,拐點(diǎn)判別準(zhǔn)則中的在的左右兩側(cè)鄰近異號(hào)在此沒(méi)有意義,因此,用在參數(shù)的左右兩側(cè)鄰近異號(hào)來(lái)代替在的左右兩側(cè)鄰近異號(hào)是錯(cuò)誤的.一般地,設(shè)曲線由參數(shù)方程為: ,若為的零點(diǎn)或不存在的點(diǎn),且在參數(shù)的左右兩側(cè)鄰近異號(hào),但不是曲線的拐點(diǎn),稱這樣的點(diǎn)為曲線的假拐點(diǎn).需要注意的是:根據(jù)在參數(shù)的左右兩側(cè)鄰近異號(hào)所得到的點(diǎn)可能是拐點(diǎn),也可能是假拐點(diǎn),由于疏忽了細(xì)節(jié),容易將在參數(shù)的左右兩側(cè)鄰近異號(hào)等同于在的左右兩側(cè)鄰近異號(hào),從而將假拐點(diǎn)誤判為拐點(diǎn).由此可見(jiàn),如果曲線由參數(shù)方程給出,在求出的零點(diǎn)或不存在的點(diǎn)以后,得出如下定理.定理1:設(shè)曲線由參數(shù)方程給出,其中:函數(shù),二階可導(dǎo),為的零點(diǎn)或不存在的點(diǎn),:1) 如果在的某鄰域內(nèi),函數(shù)的值分布在點(diǎn)的一個(gè)雙側(cè)鄰域內(nèi),則是曲線的拐點(diǎn)。2) 如果在的某鄰域內(nèi),函數(shù)在的某一側(cè)鄰近沒(méi)有定義,則不是曲線的拐點(diǎn).第3章 拐點(diǎn)的判定定理到目前為止,雖然有關(guān)判別拐點(diǎn)的方法已有很多結(jié)果,但是利用高階導(dǎo)數(shù)判別拐點(diǎn)并無(wú)系統(tǒng)的判別法,然后考察上述點(diǎn)的兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)情況,異號(hào)為拐點(diǎn),在一定的條件下,也可以通過(guò)考察所給點(diǎn)的兩側(cè)鄰近的一、三階導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)判定是否為拐點(diǎn). 拐點(diǎn)的必要條件 :(拐點(diǎn)的必要條件)設(shè)函數(shù)在有定義,若為曲線的拐點(diǎn),則或不存在.[1]:(拐點(diǎn)的必要條件)設(shè)函數(shù)在有定義,在處有二階導(dǎo)數(shù),則為曲線的拐點(diǎn)的必要條件是.事實(shí)上,設(shè)內(nèi)。內(nèi),則在內(nèi)下降,在內(nèi)上升,故在取極小值,考察這些點(diǎn)兩側(cè)的二階導(dǎo)數(shù)是否變號(hào),如果變號(hào)則為拐點(diǎn),如果不變號(hào)則不是拐點(diǎn),因此連續(xù)函數(shù)出現(xiàn)拐點(diǎn)有以下情況:1) 若存在,且,在的兩旁的符號(hào)相反,點(diǎn)為拐點(diǎn),.2) 若不存在,存在(為有限數(shù)),即在處曲線有不垂直于軸的切線存在,如在的兩旁的符號(hào)相反,:的拐點(diǎn)為.3) 若不存在,不存在,此時(shí)在處曲線無(wú)切線,在的兩旁的符號(hào)相反,(0,0).注:為的拐點(diǎn)而其逆命題(充分條件)不一定成立.例如:點(diǎn)滿足顯然由拐點(diǎn)的定義可知:點(diǎn)不是函數(shù)的拐點(diǎn). 定理一和定理二只是一個(gè)必要條件,只能是由拐點(diǎn)而推出其二階導(dǎo)數(shù)為零,即:若二階導(dǎo)數(shù)存在且不為零,則肯定不是拐點(diǎn)。若二階導(dǎo)數(shù)等于零時(shí),則可用定義和以下判別法判定. 拐點(diǎn)的第一充分條件[1]:(拐點(diǎn)的第一充分條件)設(shè)函數(shù)在有二階導(dǎo)數(shù),如果經(jīng)過(guò)時(shí)改變符號(hào),那么點(diǎn)為函數(shù)的拐點(diǎn).推論:設(shè)函數(shù)在有二階導(dǎo)數(shù),如果經(jīng)過(guò)時(shí)單調(diào)性發(fā)生變化,那么點(diǎn)為函數(shù)的拐點(diǎn).注:該判別法要求二階導(dǎo)數(shù)為且經(jīng)過(guò)該點(diǎn)時(shí)二階導(dǎo)數(shù)變號(hào). 拐點(diǎn)的第二充分條件:設(shè)函數(shù)在某內(nèi)二階可導(dǎo)且,三階單側(cè)導(dǎo)數(shù),存在,則:1) 若,同號(hào),則點(diǎn)是函數(shù)的拐點(diǎn)。2) 若,異號(hào),則點(diǎn)不是函數(shù)的拐點(diǎn).證明:1) 由題可知不妨設(shè),.由導(dǎo)數(shù)的定義 , .可知(極限的保號(hào)性定理)存在,使得1) 當(dāng)時(shí),由上述知。2) 當(dāng)時(shí),由上述知.從而為函數(shù)的拐點(diǎn). 類似可證，若,點(diǎn)為函數(shù)的拐點(diǎn). 2) 由題可知不妨設(shè),. 由導(dǎo)數(shù)的定義 , .可知(極限的保號(hào)性定理)存在,使得1) 當(dāng)時(shí),由上述知。2) 當(dāng)時(shí),由上述知.從而不是函數(shù)的拐點(diǎn).注:該定理用于判別三階導(dǎo)數(shù)不存在且三階單側(cè)導(dǎo)數(shù)存在的點(diǎn)是否為拐點(diǎn).推論1:設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo),在內(nèi)有直到三階的連續(xù)導(dǎo)數(shù),且,則: 1) 當(dāng)在與內(nèi)符號(hào)相同,則點(diǎn)是函數(shù)的拐點(diǎn)。 2) 當(dāng)在與內(nèi)符號(hào)相反,則點(diǎn)不是函數(shù)的拐點(diǎn).證明:1) 設(shè),則,:若在與內(nèi)符號(hào)都為正號(hào),。若在與內(nèi)符號(hào)都為負(fù)號(hào),.故點(diǎn)為函數(shù)的拐點(diǎn).2) 設(shè),則,:若在內(nèi)為正號(hào)與內(nèi)為負(fù)號(hào),。若在在內(nèi)為負(fù)號(hào)與內(nèi)為正號(hào),.故點(diǎn)不為函數(shù)的拐點(diǎn).注:該推論用于判別三階導(dǎo)數(shù)存在的點(diǎn)是否為拐點(diǎn). 例1 判定是否為函數(shù)的拐點(diǎn). 解 在處有,在兩側(cè)鄰域內(nèi)同號(hào),由該推論知為函數(shù)的拐點(diǎn). 推論2:(拐點(diǎn)的第二充分條件)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)有三階導(dǎo)數(shù),如果,那么為函數(shù)的拐點(diǎn).注:該定理是根據(jù)極值的第二充分條件[1]:若函數(shù)存在二階導(dǎo)數(shù),并且為函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn),即而,則時(shí),為函數(shù)的極小點(diǎn)。時(shí),為函數(shù)的極大點(diǎn)而給出的.證明:(證法1)將函數(shù)在點(diǎn)展成泰勒公式(到三階導(dǎo)數(shù)),即兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo),有:又因?yàn)?則有:上式等號(hào)右端第三項(xiàng)是的高階無(wú)窮小,當(dāng)充分小時(shí),:1)時(shí),時(shí),當(dāng)時(shí)有。當(dāng)時(shí)有即:在上單調(diào)減少,在上單調(diào)增加, 故在上小于零,在上大于零.故為函數(shù)的拐點(diǎn).2)時(shí),時(shí),當(dāng)時(shí)有。當(dāng)時(shí)有即:在上單調(diào)增加,在上單調(diào)減少, 故在上大于零,在上小于零.故為函數(shù)的拐點(diǎn).所以該命題成立.(證法2)將函數(shù)在點(diǎn)展成泰勒公式(到三階導(dǎo)數(shù)),即 已知,則有上式等號(hào)右端第四項(xiàng)是的高階無(wú)窮小,當(dāng)充
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