拐點的判別及其在情報學(xué)中的應(yīng)用終稿畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-07-22 14:05 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 大于。在上小于。在上大于.故點和為函數(shù)的拐點.注:此例說明一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)都不存在之點為函數(shù)的拐點,而且二階導(dǎo)數(shù)為的點存在且也為函數(shù)的拐點. 例4 求函數(shù)的拐點. 解 1) 該函數(shù)的定義域為和. 2) , .令解得(在點處不存在,在點處也無定義,則在定義域上無不存在之點,故點不為函數(shù)的拐點). 3) 在上大于。在上小于。在上大于.故為函數(shù)的拐點.注:點如果是函數(shù)定義域中的點,則就是函數(shù)的拐點,但是點不是函數(shù)定義域中的點,從此例可以看出拐點必須是函數(shù)定義域中的點.例5 求證三次曲線有且僅有一個拐點.證明 1) 該函數(shù)的定義域為. 2) 令解得且無不存在之點,則點就為可能的拐點. 3) 在與上異號故點就為函數(shù)的拐點. 又由于無不存在之點且的解是唯一的，故該三次曲線有且僅有一個拐點. 例6 求函數(shù)的拐點. 解 1) 該函數(shù)的定義域為. 2) ,(的定義域為).令解的,它們將定義域分為了無窮多個開區(qū)間,即,, 3) 在,上小于。在,上大于,再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可知:則橫坐標(biāo)的點都為函數(shù)的拐點.故都為的拐點.注:該函數(shù)的拐點有無窮多個. 應(yīng)用拐點的定義求由參數(shù)方程確定的函數(shù)的拐點 例7 求由參數(shù)方程確定的函數(shù)拐點. 解 1) 由參數(shù)方程可見,曲線位于軸的右側(cè),. 2) 求出參數(shù)方程所確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù),即: , .令解的,。不存在的點為. 3) 顯然在,的左右不同領(lǐng)域內(nèi),二階導(dǎo)數(shù)異號. 故該函數(shù)的拐點為,.這個結(jié)論是不對的,當(dāng)時,函數(shù)沒有定義,拐點判別準(zhǔn)則中的在的左右兩側(cè)鄰近異號在此沒有意義,因此,用在參數(shù)的左右兩側(cè)鄰近異號來代替在的左右兩側(cè)鄰近異號是錯誤的.一般地,設(shè)曲線由參數(shù)方程為: ,若為的零點或不存在的點,且在參數(shù)的左右兩側(cè)鄰近異號,但不是曲線的拐點,稱這樣的點為曲線的假拐點.需要注意的是:根據(jù)在參數(shù)的左右兩側(cè)鄰近異號所得到的點可能是拐點,也可能是假拐點,由于疏忽了細(xì)節(jié),容易將在參數(shù)的左右兩側(cè)鄰近異號等同于在的左右兩側(cè)鄰近異號,從而將假拐點誤判為拐點.由此可見,如果曲線由參數(shù)方程給出,在求出的零點或不存在的點以后,得出如下定理.定理1:設(shè)曲線由參數(shù)方程給出,其中:函數(shù),二階可導(dǎo),為的零點或不存在的點,:1) 如果在的某鄰域內(nèi),函數(shù)的值分布在點的一個雙側(cè)鄰域內(nèi),則是曲線的拐點。2) 如果在的某鄰域內(nèi),函數(shù)在的某一側(cè)鄰近沒有定義,則不是曲線的拐點.第3章 拐點的判定定理到目前為止,雖然有關(guān)判別拐點的方法已有很多結(jié)果,但是利用高階導(dǎo)數(shù)判別拐點并無系統(tǒng)的判別法,然后考察上述點的兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)的符號情況,異號為拐點,在一定的條件下,也可以通過考察所給點的兩側(cè)鄰近的一、三階導(dǎo)數(shù)符號來判定是否為拐點. 拐點的必要條件 :(拐點的必要條件)設(shè)函數(shù)在有定義,若為曲線的拐點,則或不存在.[1]:(拐點的必要條件)設(shè)函數(shù)在有定義,在處有二階導(dǎo)數(shù),則為曲線的拐點的必要條件是.事實上,設(shè)內(nèi)。內(nèi),則在內(nèi)下降,在內(nèi)上升,故在取極小值,考察這些點兩側(cè)的二階導(dǎo)數(shù)是否變號,如果變號則為拐點,如果不變號則不是拐點,因此連續(xù)函數(shù)出現(xiàn)拐點有以下情況:1) 若存在,且,在的兩旁的符號相反,點為拐點,.2) 若不存在,存在(為有限數(shù)),即在處曲線有不垂直于軸的切線存在,如在的兩旁的符號相反,:的拐點為.3) 若不存在,不存在,此時在處曲線無切線,在的兩旁的符號相反,(0,0).注:為的拐點而其逆命題(充分條件)不一定成立.例如:點滿足顯然由拐點的定義可知:點不是函數(shù)的拐點. 定理一和定理二只是一個必要條件,只能是由拐點而推出其二階導(dǎo)數(shù)為零,即:若二階導(dǎo)數(shù)存在且不為零,則肯定不是拐點。若二階導(dǎo)數(shù)等于零時,則可用定義和以下判別法判定. 拐點的第一充分條件[1]:(拐點的第一充分條件)設(shè)函數(shù)在有二階導(dǎo)數(shù),如果經(jīng)過時改變符號,那么點為函數(shù)的拐點.推論:設(shè)函數(shù)在有二階導(dǎo)數(shù),如果經(jīng)過時單調(diào)性發(fā)生變化,那么點為函數(shù)的拐點.注:該判別法要求二階導(dǎo)數(shù)為且經(jīng)過該點時二階導(dǎo)數(shù)變號. 拐點的第二充分條件:設(shè)函數(shù)在某內(nèi)二階可導(dǎo)且,三階單側(cè)導(dǎo)數(shù),存在,則:1) 若,同號,則點是函數(shù)的拐點。2) 若,異號,則點不是函數(shù)的拐點.證明:1) 由題可知不妨設(shè),.由導(dǎo)數(shù)的定義 , .可知(極限的保號性定理)存在,使得1) 當(dāng)時,由上述知。2) 當(dāng)時,由上述知.從而為函數(shù)的拐點. 類似可證，若,點為函數(shù)的拐點. 2) 由題可知不妨設(shè),. 由導(dǎo)數(shù)的定義 , .可知(極限的保號性定理)存在,使得1) 當(dāng)時,由上述知。2) 當(dāng)時,由上述知.從而不是函數(shù)的拐點.注:該定理用于判別三階導(dǎo)數(shù)不存在且三階單側(cè)導(dǎo)數(shù)存在的點是否為拐點.推論1:設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo),在內(nèi)有直到三階的連續(xù)導(dǎo)數(shù),且,則: 1) 當(dāng)在與內(nèi)符號相同,則點是函數(shù)的拐點。 2) 當(dāng)在與內(nèi)符號相反,則點不是函數(shù)的拐點.證明:1) 設(shè),則,:若在與內(nèi)符號都為正號,。若在與內(nèi)符號都為負(fù)號,.故點為函數(shù)的拐點.2) 設(shè),則,:若在內(nèi)為正號與內(nèi)為負(fù)號,。若在在內(nèi)為負(fù)號與內(nèi)為正號,.故點不為函數(shù)的拐點.注:該推論用于判別三階導(dǎo)數(shù)存在的點是否為拐點. 例1 判定是否為函數(shù)的拐點. 解 在處有,在兩側(cè)鄰域內(nèi)同號,由該推論知為函數(shù)的拐點. 推論2:(拐點的第二充分條件)設(shè)函數(shù)在點有三階導(dǎo)數(shù),如果,那么為函數(shù)的拐點.注:該定理是根據(jù)極值的第二充分條件[1]:若函數(shù)存在二階導(dǎo)數(shù),并且為函數(shù)的穩(wěn)定點,即而,則時,為函數(shù)的極小點。時,為函數(shù)的極大點而給出的.證明:(證法1)將函數(shù)在點展成泰勒公式(到三階導(dǎo)數(shù)),即兩邊同時對求導(dǎo),有:又因為,則有:上式等號右端第三項是的高階無窮小,當(dāng)充分小時,:1)時,時,當(dāng)時有。當(dāng)時有即:在上單調(diào)減少,在上單調(diào)增加, 故在上小于零,在上大于零.故為函數(shù)的拐點.2)時,時,當(dāng)時有。當(dāng)時有即:在上單調(diào)增加,在上單調(diào)減少, 故在上大于零,在上小于零.故為函數(shù)的拐點.所以該命題成立.(證法2)將函數(shù)在點展成泰勒公式(到三階導(dǎo)數(shù)),即 已知,則有上式等號右端第四項是的高階無窮小,當(dāng)充
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