拐點的判別及其在情報學中的應用終稿畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-07-22 14:05 本頁面
【文章內容簡介】 大于。在上小于。在上大于.故點和為函數的拐點.注:此例說明一階導數和二階導數都不存在之點為函數的拐點,而且二階導數為的點存在且也為函數的拐點. 例4 求函數的拐點. 解 1) 該函數的定義域為和. 2) , .令解得(在點處不存在,在點處也無定義,則在定義域上無不存在之點,故點不為函數的拐點). 3) 在上大于。在上小于。在上大于.故為函數的拐點.注:點如果是函數定義域中的點,則就是函數的拐點,但是點不是函數定義域中的點,從此例可以看出拐點必須是函數定義域中的點.例5 求證三次曲線有且僅有一個拐點.證明 1) 該函數的定義域為. 2) 令解得且無不存在之點,則點就為可能的拐點. 3) 在與上異號故點就為函數的拐點. 又由于無不存在之點且的解是唯一的，故該三次曲線有且僅有一個拐點. 例6 求函數的拐點. 解 1) 該函數的定義域為. 2) ,(的定義域為).令解的,它們將定義域分為了無窮多個開區(qū)間,即,, 3) 在,上小于。在,上大于,再結合函數的性質可知:則橫坐標的點都為函數的拐點.故都為的拐點.注:該函數的拐點有無窮多個. 應用拐點的定義求由參數方程確定的函數的拐點 例7 求由參數方程確定的函數拐點. 解 1) 由參數方程可見,曲線位于軸的右側,. 2) 求出參數方程所確定函數的導數,即: , .令解的,。不存在的點為. 3) 顯然在,的左右不同領域內,二階導數異號. 故該函數的拐點為,.這個結論是不對的,當時,函數沒有定義,拐點判別準則中的在的左右兩側鄰近異號在此沒有意義,因此,用在參數的左右兩側鄰近異號來代替在的左右兩側鄰近異號是錯誤的.一般地,設曲線由參數方程為: ,若為的零點或不存在的點,且在參數的左右兩側鄰近異號,但不是曲線的拐點,稱這樣的點為曲線的假拐點.需要注意的是:根據在參數的左右兩側鄰近異號所得到的點可能是拐點,也可能是假拐點,由于疏忽了細節(jié),容易將在參數的左右兩側鄰近異號等同于在的左右兩側鄰近異號,從而將假拐點誤判為拐點.由此可見,如果曲線由參數方程給出,在求出的零點或不存在的點以后,得出如下定理.定理1:設曲線由參數方程給出,其中:函數,二階可導,為的零點或不存在的點,:1) 如果在的某鄰域內,函數的值分布在點的一個雙側鄰域內,則是曲線的拐點。2) 如果在的某鄰域內,函數在的某一側鄰近沒有定義,則不是曲線的拐點.第3章 拐點的判定定理到目前為止,雖然有關判別拐點的方法已有很多結果,但是利用高階導數判別拐點并無系統(tǒng)的判別法,然后考察上述點的兩側二階導數的符號情況,異號為拐點,在一定的條件下,也可以通過考察所給點的兩側鄰近的一、三階導數符號來判定是否為拐點. 拐點的必要條件 :(拐點的必要條件)設函數在有定義,若為曲線的拐點,則或不存在.[1]:(拐點的必要條件)設函數在有定義,在處有二階導數,則為曲線的拐點的必要條件是.事實上,設內。內,則在內下降,在內上升,故在取極小值,考察這些點兩側的二階導數是否變號,如果變號則為拐點,如果不變號則不是拐點,因此連續(xù)函數出現拐點有以下情況:1) 若存在,且,在的兩旁的符號相反,點為拐點,.2) 若不存在,存在(為有限數),即在處曲線有不垂直于軸的切線存在,如在的兩旁的符號相反,:的拐點為.3) 若不存在,不存在,此時在處曲線無切線,在的兩旁的符號相反,(0,0).注:為的拐點而其逆命題(充分條件)不一定成立.例如:點滿足顯然由拐點的定義可知:點不是函數的拐點. 定理一和定理二只是一個必要條件,只能是由拐點而推出其二階導數為零,即:若二階導數存在且不為零,則肯定不是拐點。若二階導數等于零時,則可用定義和以下判別法判定. 拐點的第一充分條件[1]:(拐點的第一充分條件)設函數在有二階導數,如果經過時改變符號,那么點為函數的拐點.推論:設函數在有二階導數,如果經過時單調性發(fā)生變化,那么點為函數的拐點.注:該判別法要求二階導數為且經過該點時二階導數變號. 拐點的第二充分條件:設函數在某內二階可導且,三階單側導數,存在,則:1) 若,同號,則點是函數的拐點。2) 若,異號,則點不是函數的拐點.證明:1) 由題可知不妨設,.由導數的定義 , .可知(極限的保號性定理)存在,使得1) 當時,由上述知。2) 當時,由上述知.從而為函數的拐點. 類似可證，若,點為函數的拐點. 2) 由題可知不妨設,. 由導數的定義 , .可知(極限的保號性定理)存在,使得1) 當時,由上述知。2) 當時,由上述知.從而不是函數的拐點.注:該定理用于判別三階導數不存在且三階單側導數存在的點是否為拐點.推論1:設函數在處可導,在內有直到三階的連續(xù)導數,且,則: 1) 當在與內符號相同,則點是函數的拐點。 2) 當在與內符號相反,則點不是函數的拐點.證明:1) 設,則,:若在與內符號都為正號,。若在與內符號都為負號,.故點為函數的拐點.2) 設,則,:若在內為正號與內為負號,。若在在內為負號與內為正號,.故點不為函數的拐點.注:該推論用于判別三階導數存在的點是否為拐點. 例1 判定是否為函數的拐點. 解 在處有,在兩側鄰域內同號,由該推論知為函數的拐點. 推論2:(拐點的第二充分條件)設函數在點有三階導數,如果,那么為函數的拐點.注:該定理是根據極值的第二充分條件[1]:若函數存在二階導數,并且為函數的穩(wěn)定點,即而,則時,為函數的極小點。時,為函數的極大點而給出的.證明:(證法1)將函數在點展成泰勒公式(到三階導數),即兩邊同時對求導,有:又因為,則有:上式等號右端第三項是的高階無窮小,當充分小時,:1)時,時,當時有。當時有即:在上單調減少,在上單調增加, 故在上小于零,在上大于零.故為函數的拐點.2)時,時,當時有。當時有即:在上單調增加,在上單調減少, 故在上大于零,在上小于零.故為函數的拐點.所以該命題成立.(證法2)將函數在點展成泰勒公式(到三階導數),即 已知,則有上式等號右端第四項是的高階無窮小,當充
環(huán)評公示相關推薦
鄂ICP備17016276號-1