【正文】 來判別. 拐點(diǎn)的第四充分條件:設(shè)函數(shù)在有定義,在點(diǎn)階可導(dǎo),并且有,則1) 如果是奇數(shù)時(shí),那么是函數(shù)的拐點(diǎn)。當(dāng)時(shí),. 2) 當(dāng)為偶數(shù)時(shí),點(diǎn)不是函數(shù)的拐點(diǎn)。2) 當(dāng)為奇數(shù)時(shí),點(diǎn)是極值點(diǎn)不是拐點(diǎn),且當(dāng)在內(nèi)與在內(nèi),點(diǎn)是極大值點(diǎn),當(dāng)在內(nèi)與在內(nèi),點(diǎn)是極小值點(diǎn).證明:(第二數(shù)學(xué)歸納法)1) 當(dāng)時(shí),:當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),故函數(shù)在內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加,. 當(dāng)時(shí),不妨設(shè)在內(nèi)與在內(nèi),由導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系與知當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),.2) 假設(shè)時(shí)結(jié)論成立. 3) 當(dāng)時(shí),設(shè)在內(nèi)與在內(nèi),由導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系與知當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),再由導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系與知當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),由假設(shè)知當(dāng)為奇數(shù)時(shí),即為奇數(shù)時(shí),點(diǎn)不是拐點(diǎn)是極小值點(diǎn)。當(dāng)在與內(nèi)同為正時(shí),由極值點(diǎn)定義和知:當(dāng)時(shí),. 當(dāng)時(shí),由拐點(diǎn)的定義與知當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí)故點(diǎn)不是極值點(diǎn).2) 假設(shè)時(shí)結(jié)論成立. 3) 當(dāng)時(shí),設(shè)在與內(nèi), , 由導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系與知:當(dāng)時(shí), 。不是極值點(diǎn)。時(shí),有. 即:在上是凹函數(shù),.2)當(dāng),時(shí),有。2) 當(dāng)時(shí),由上述知.從而為函數(shù)的拐點(diǎn). 類似可證，若,點(diǎn)為函數(shù)的拐點(diǎn). 2) 由題可知不妨設(shè),. 由導(dǎo)數(shù)的定義 , .可知(極限的保號(hào)性定理)存在,使得1) 當(dāng)時(shí),由上述知。在上小于。而定義3認(rèn)為拐點(diǎn)處切線必須存在,故例2中點(diǎn)是拐點(diǎn)。convexity。 closed interval theorem。有限覆蓋定理。致密性定理。 supremo theorem。 Information Science 目 錄 引 言 1 第1章 拐點(diǎn)的基本概念 2 預(yù)備知識(shí) 2 拐點(diǎn)的定義 2 第2章 應(yīng)用拐點(diǎn)的定義求函數(shù)的拐點(diǎn) 6 應(yīng)用拐點(diǎn)的定義求分段函數(shù)的拐點(diǎn) 6 應(yīng)用拐點(diǎn)的定義求初等函數(shù)的拐點(diǎn) 6 應(yīng)用拐點(diǎn)的定義求由參數(shù)方程確定的函數(shù)的拐點(diǎn) 8 第3章 拐點(diǎn)的判定定理 10 拐點(diǎn)的必要條件 10 拐點(diǎn)的第一充分條件 10 拐點(diǎn)的第二充分條件 11 拐點(diǎn)的第三充分條件 14 拐點(diǎn)的第四充分條件 15 拐點(diǎn)的第五充分條件 16 第4章 拐點(diǎn)與極點(diǎn)的一般判定定理 18 拐點(diǎn)與極點(diǎn)的第一充分條件 18 拐點(diǎn)與極點(diǎn)的第二充分條件 19 拐點(diǎn)與極點(diǎn)的第三充分條件 20 第5章 拐點(diǎn)與極點(diǎn)的特殊判定定理及其聯(lián)系 22 極點(diǎn)的特殊判定定理 22 拐點(diǎn)的特殊判定定理 22 拐點(diǎn)與極點(diǎn)的聯(lián)系 25 第6章 拐點(diǎn)在情報(bào)學(xué)中的應(yīng)用 26 拐點(diǎn)的情報(bào)學(xué)意義 26 拐點(diǎn)的決策支持價(jià)值 27 情報(bào)學(xué)中邏輯曲線的求拐點(diǎn)公式 27 結(jié)束語 29 參考文獻(xiàn) 30 謝 辭 31 引 言大學(xué)數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)分析是一門很重要的基礎(chǔ)課程,在自然課程中占有絕對(duì)基礎(chǔ)地位,而微積分又是數(shù)學(xué)分析中的基本內(nèi)容,微分學(xué)則又是微積分的重要組成部分,而導(dǎo)數(shù)又是微分學(xué)中的基本概念之一,極限又是研究導(dǎo)數(shù)的重要工具,因此呢,研究函數(shù)的收斂與發(fā)散、連續(xù)與一致連續(xù)、可導(dǎo)性、可微性等等,在函數(shù)的這些形態(tài)中,研究它所具有一類共同性質(zhì)的點(diǎn)——:樓市出現(xiàn)拐點(diǎn),股市出現(xiàn)拐點(diǎn)等等,更為重要的是運(yùn)用拐點(diǎn)的理論知識(shí)進(jìn)行情報(bào)研究，即拐點(diǎn)在情報(bào)學(xué)中的應(yīng)用,進(jìn)而解決很多生活中的問題.此外,、對(duì)應(yīng)法則、值域、四則運(yùn)算和高等數(shù)學(xué)中的方法即特殊的極限形式——導(dǎo)數(shù)來進(jìn)一步研究函數(shù)中的一類特殊的點(diǎn)——拐點(diǎn),對(duì)這兩類點(diǎn)進(jìn)行研究,得到了曲線拐點(diǎn)判定的幾個(gè)充分條件,對(duì)比曲線的拐點(diǎn)和極值的判定方法,研究了曲線的拐點(diǎn)、極值點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)之間的關(guān)系,最后給出拐點(diǎn)在生活中的具體應(yīng)用.第1章 拐點(diǎn)的基本概念 預(yù)備知識(shí) 拐點(diǎn)與凸凹性的概念最早出現(xiàn)于萊布尼茲發(fā)表于1684年的一篇微分學(xué)論文. ,但是對(duì)于曲線拐點(diǎn)的定義則大同小異,.定義[1] 設(shè)函數(shù)在開區(qū)間有定義,若,有 () 則稱為上的凸函數(shù)(在區(qū)間是向下凸函數(shù)(下凸函數(shù))或在區(qū)間是向上凹函數(shù)(上凹函數(shù))).反之,如果總有 () 則稱為上的凹函數(shù)(在區(qū)間是向上凸函數(shù)(上凸函數(shù))或在區(qū)間是向下凹函數(shù)(下凹函數(shù))).如果()、()中的不等式改為嚴(yán)格不等式,則相應(yīng)的函數(shù)稱為嚴(yán)格凸函數(shù)(嚴(yán)格下凸函數(shù)或嚴(yán)格上凹函數(shù))反之稱為嚴(yán)格凹函數(shù)(嚴(yán)格上凸函數(shù)或嚴(yán)格下凹函數(shù)).式()的意義是過曲線上任意兩點(diǎn)的弦總位于曲線弧的上方。而定義4知,拐點(diǎn)處必須,故例2中點(diǎn)不是拐點(diǎn).,應(yīng)類似于最值點(diǎn),而它作為函數(shù)曲線上具有一定特性的點(diǎn),這個(gè)點(diǎn)所起的作用是,函數(shù)曲線在這點(diǎn)處改變凸凹性,它是函數(shù)的凹區(qū)間和凸區(qū)間的分界點(diǎn),其特性是一個(gè)幾何特性,在拐點(diǎn)的左右近旁必須存在切線,也就不必要求在拐點(diǎn)處有這一條件,由此定義拐點(diǎn)時(shí)需考慮以下條件:1) 要求函數(shù)在點(diǎn)連續(xù),但切線可以不存在,不要求二價(jià)導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)連續(xù).2) 在點(diǎn)左右兩側(cè),曲線有不同的凹凸性.因此確定曲線上一個(gè)點(diǎn)是否是拐點(diǎn)分歧所在,定義1和定義2符合這兩條,為了使定義1和定義2更加簡(jiǎn)潔易懂,拐點(diǎn)的恰當(dāng)確切定義應(yīng)如下表示:確切定義 ,而拐點(diǎn)就是曲線彎曲方向改變的轉(zhuǎn)折點(diǎn).拐點(diǎn)處切線的特征:設(shè)曲線是光滑的,如果將曲線看作質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡,質(zhì)點(diǎn)在凸弧上運(yùn)行時(shí),切線始終位于曲線弧的上側(cè)。在上大于.故為函數(shù)的拐點(diǎn).注:點(diǎn)如果是函數(shù)定義域中的點(diǎn),則就是函數(shù)的拐點(diǎn),但是點(diǎn)不是函數(shù)定義域中的點(diǎn),從此例可以看出拐點(diǎn)必須是函數(shù)定義域中的點(diǎn).例5 求證三次曲線有且僅有一個(gè)拐點(diǎn).證明 1) 該函數(shù)的定義域?yàn)? 2) 令解得且無不存在之點(diǎn),則點(diǎn)就為可能的拐點(diǎn). 3) 在與上異號(hào)故點(diǎn)就為函數(shù)的拐點(diǎn). 又由于無不存在之點(diǎn)且的解是唯一的，故該三次曲線有且僅有一個(gè)拐點(diǎn). 例6 求函數(shù)的拐點(diǎn). 解 1) 該函數(shù)的定義域?yàn)? 2) ,(的定義域?yàn)?.令解的,它們將定義域分為了無窮多個(gè)開區(qū)間,即, 3) 在,上小于。2) 當(dāng)時(shí),由上述知.從而不是函數(shù)的拐點(diǎn).注:該定理用于判別三階導(dǎo)數(shù)不存在且三階單側(cè)導(dǎo)數(shù)存在的點(diǎn)是否為拐點(diǎn).推論1:設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo),在內(nèi)有直到三階的連續(xù)導(dǎo)數(shù),且,則: 1) 當(dāng)在與內(nèi)符號(hào)相同,則點(diǎn)是函數(shù)的拐點(diǎn)。時(shí),有. 即:在上是凸函數(shù),.故該命題成立.注:一般運(yùn)用該