【正文】 來判別. 拐點的第四充分條件:設(shè)函數(shù)在有定義,在點階可導,并且有,則1) 如果是奇數(shù)時,那么是函數(shù)的拐點。當時,. 2) 當為偶數(shù)時,點不是函數(shù)的拐點。2) 當為奇數(shù)時,點是極值點不是拐點,且當在內(nèi)與在內(nèi),點是極大值點,當在內(nèi)與在內(nèi),點是極小值點.證明:(第二數(shù)學歸納法)1) 當時,:當時,當時,故函數(shù)在內(nèi)嚴格單調(diào)增加,. 當時,不妨設(shè)在內(nèi)與在內(nèi),由導數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系與知當時,當時,.2) 假設(shè)時結(jié)論成立. 3) 當時,設(shè)在內(nèi)與在內(nèi),由導數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系與知當時,當時,再由導數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系與知當時,當時,由假設(shè)知當為奇數(shù)時,即為奇數(shù)時,點不是拐點是極小值點。當在與內(nèi)同為正時,由極值點定義和知:當時,. 當時,由拐點的定義與知當時,當時,當時,當時故點不是極值點.2) 假設(shè)時結(jié)論成立. 3) 當時,設(shè)在與內(nèi), , 由導數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系與知:當時, 。不是極值點。時,有. 即:在上是凹函數(shù),.2)當,時,有。2) 當時,由上述知.從而為函數(shù)的拐點. 類似可證，若,點為函數(shù)的拐點. 2) 由題可知不妨設(shè),. 由導數(shù)的定義 , .可知(極限的保號性定理)存在,使得1) 當時,由上述知。在上小于。而定義3認為拐點處切線必須存在,故例2中點是拐點。convexity。 closed interval theorem。有限覆蓋定理。致密性定理。 supremo theorem。 Information Science 目 錄 引 言 1 第1章 拐點的基本概念 2 預備知識 2 拐點的定義 2 第2章 應用拐點的定義求函數(shù)的拐點 6 應用拐點的定義求分段函數(shù)的拐點 6 應用拐點的定義求初等函數(shù)的拐點 6 應用拐點的定義求由參數(shù)方程確定的函數(shù)的拐點 8 第3章 拐點的判定定理 10 拐點的必要條件 10 拐點的第一充分條件 10 拐點的第二充分條件 11 拐點的第三充分條件 14 拐點的第四充分條件 15 拐點的第五充分條件 16 第4章 拐點與極點的一般判定定理 18 拐點與極點的第一充分條件 18 拐點與極點的第二充分條件 19 拐點與極點的第三充分條件 20 第5章 拐點與極點的特殊判定定理及其聯(lián)系 22 極點的特殊判定定理 22 拐點的特殊判定定理 22 拐點與極點的聯(lián)系 25 第6章 拐點在情報學中的應用 26 拐點的情報學意義 26 拐點的決策支持價值 27 情報學中邏輯曲線的求拐點公式 27 結(jié)束語 29 參考文獻 30 謝 辭 31 引 言大學數(shù)學中數(shù)學分析是一門很重要的基礎(chǔ)課程,在自然課程中占有絕對基礎(chǔ)地位,而微積分又是數(shù)學分析中的基本內(nèi)容,微分學則又是微積分的重要組成部分,而導數(shù)又是微分學中的基本概念之一,極限又是研究導數(shù)的重要工具,因此呢,研究函數(shù)的收斂與發(fā)散、連續(xù)與一致連續(xù)、可導性、可微性等等,在函數(shù)的這些形態(tài)中,研究它所具有一類共同性質(zhì)的點——:樓市出現(xiàn)拐點,股市出現(xiàn)拐點等等,更為重要的是運用拐點的理論知識進行情報研究，即拐點在情報學中的應用,進而解決很多生活中的問題.此外,、對應法則、值域、四則運算和高等數(shù)學中的方法即特殊的極限形式——導數(shù)來進一步研究函數(shù)中的一類特殊的點——拐點,對這兩類點進行研究,得到了曲線拐點判定的幾個充分條件,對比曲線的拐點和極值的判定方法,研究了曲線的拐點、極值點和不可導點之間的關(guān)系,最后給出拐點在生活中的具體應用.第1章 拐點的基本概念 預備知識 拐點與凸凹性的概念最早出現(xiàn)于萊布尼茲發(fā)表于1684年的一篇微分學論文. ,但是對于曲線拐點的定義則大同小異,.定義[1] 設(shè)函數(shù)在開區(qū)間有定義,若,有 () 則稱為上的凸函數(shù)(在區(qū)間是向下凸函數(shù)(下凸函數(shù))或在區(qū)間是向上凹函數(shù)(上凹函數(shù))).反之,如果總有 () 則稱為上的凹函數(shù)(在區(qū)間是向上凸函數(shù)(上凸函數(shù))或在區(qū)間是向下凹函數(shù)(下凹函數(shù))).如果()、()中的不等式改為嚴格不等式,則相應的函數(shù)稱為嚴格凸函數(shù)(嚴格下凸函數(shù)或嚴格上凹函數(shù))反之稱為嚴格凹函數(shù)(嚴格上凸函數(shù)或嚴格下凹函數(shù)).式()的意義是過曲線上任意兩點的弦總位于曲線弧的上方。而定義4知,拐點處必須,故例2中點不是拐點.,應類似于最值點,而它作為函數(shù)曲線上具有一定特性的點,這個點所起的作用是,函數(shù)曲線在這點處改變凸凹性,它是函數(shù)的凹區(qū)間和凸區(qū)間的分界點,其特性是一個幾何特性,在拐點的左右近旁必須存在切線,也就不必要求在拐點處有這一條件,由此定義拐點時需考慮以下條件:1) 要求函數(shù)在點連續(xù),但切線可以不存在,不要求二價導數(shù)在點連續(xù).2) 在點左右兩側(cè),曲線有不同的凹凸性.因此確定曲線上一個點是否是拐點分歧所在,定義1和定義2符合這兩條,為了使定義1和定義2更加簡潔易懂,拐點的恰當確切定義應如下表示:確切定義 ,而拐點就是曲線彎曲方向改變的轉(zhuǎn)折點.拐點處切線的特征:設(shè)曲線是光滑的,如果將曲線看作質(zhì)點的運動軌跡,質(zhì)點在凸弧上運行時,切線始終位于曲線弧的上側(cè)。在上大于.故為函數(shù)的拐點.注:點如果是函數(shù)定義域中的點,則就是函數(shù)的拐點,但是點不是函數(shù)定義域中的點,從此例可以看出拐點必須是函數(shù)定義域中的點.例5 求證三次曲線有且僅有一個拐點.證明 1) 該函數(shù)的定義域為. 2) 令解得且無不存在之點,則點就為可能的拐點. 3) 在與上異號故點就為函數(shù)的拐點. 又由于無不存在之點且的解是唯一的，故該三次曲線有且僅有一個拐點. 例6 求函數(shù)的拐點. 解 1) 該函數(shù)的定義域為. 2) ,(的定義域為).令解的,它們將定義域分為了無窮多個開區(qū)間,即, 3) 在,上小于。2) 當時,由上述知.從而不是函數(shù)的拐點.注:該定理用于判別三階導數(shù)不存在且三階單側(cè)導數(shù)存在的點是否為拐點.推論1:設(shè)函數(shù)在處可導,在內(nèi)有直到三階的連續(xù)導數(shù),且,則: 1) 當在與內(nèi)符號相同,則點是函數(shù)的拐點。時,有. 即:在上是凸函數(shù),.故該命題成立.注:一般運用該