全等三角形中做輔助線總結(jié)(編輯修改稿)
2024-07-22 04:30 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 延長(zhǎng)MD到N， 作BE⊥AD的延長(zhǎng)線于E 使DN=MD，連接BE 連接CD【經(jīng)典例題】例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中線AD的取值范圍提示：畫(huà)出圖形，倍長(zhǎng)中線AD，利用三角形兩邊之和大于第三邊例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延長(zhǎng)線上，DE交BC于F，且DF=EF，求證：BD=CE方法1：過(guò)D作DG∥AE交BC于G，證明ΔDGF≌ΔCEF方法2：過(guò)E作EG∥AB交BC的延長(zhǎng)線于G，證明ΔEFG≌ΔDFB方法3：過(guò)D作DG⊥BC于G，過(guò)E作EH⊥BC的延長(zhǎng)線于H 證明ΔBDG≌ΔECH例3：已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，且BE=AC，延長(zhǎng)BE交AC于F，求證：AF=EF提示：倍長(zhǎng)AD至G，連接BG，證明ΔBDG≌ΔCDA 三角形BEG是等腰三角形例4：已知：如圖，在中，D、E在BC上，且DE=EC，過(guò)D作交AE于點(diǎn)F，DF=AC.求證：AE平分提示：方法1：倍長(zhǎng)AE至G，連結(jié)DG方法2：倍長(zhǎng)FE至H，連結(jié)CH例5：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中線，求證：∠C=∠BAE提示：倍長(zhǎng)AE至F，連結(jié)DF 證明ΔABE≌ΔFDE（SAS）進(jìn)而證明ΔADF≌ΔADC（SAS）【融會(huì)貫通】在四邊形ABCD中，AB∥DC，E為BC邊的中點(diǎn)，∠BAE=∠EAF，AF與DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F。試探究線段AB與AF、CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論提示：延長(zhǎng)AE、DF交于G 證明AB=GC、AF=GF 所以AB=AF+FC如圖，AD為的中線，DE平分交AB于E，DF平分交AC于F. 求證：提示：方法1：在DA上截取DG=BD，連結(jié)EG、FG 證明ΔBDE≌ΔGDE ΔDCF≌ΔDGF 所以BE=EG、CF=FG 利用三角形兩邊之和大于第三邊方法2：倍長(zhǎng)ED至H，連結(jié)CH、FH 證明FH=EF、CH=BE 利用三角形兩邊之和大于第三邊已知：如圖，DABC中，208。C=90176。，CM^AB于M，AT平分208。BAC交CM于D，交BC于T，過(guò)D作DE//AB交BC于E，求證：CT=BE.提示：過(guò)T作TN⊥AB于N 證明ΔBTN≌ΔECD1．如圖，AB∥CD，AE、DE分別平分∠BAD各∠ADE，求證：AD=AB+CD。EDCBA，△ABC中，∠BAC=90176。，AB=AC，AE是過(guò)A的一條直線，且B，C在AE的異側(cè)，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E。求證：BD=DE+CE四、 由中點(diǎn)想到的輔助線 口訣：三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。在三角形中，如果已知一點(diǎn)是三角形某一邊上的中點(diǎn)，那么首先應(yīng)該聯(lián)想到三角形的中線、中位線、加倍延長(zhǎng)中線及其相關(guān)性質(zhì)（直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形底邊中線性質(zhì)），然后通過(guò)探索，找到解決問(wèn)題的方法。（一）、中線把原三角形分成兩個(gè)面積相等的小三角形即如圖1，AD是ΔABC的中線，則SΔABD=SΔACD=SΔABC（因?yàn)棣BD與ΔACD是等底同高的）。例1．如圖2，ΔABC中，AD是中線，延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中線。已知ΔABC的面積為2，求：ΔCDF的面積。解：因?yàn)锳D是ΔABC的中線，所以SΔACD=SΔABC=2=1，又因CD是ΔACE的中線，故SΔCDE=SΔACD=1，因DF是ΔCDE的中線，所以SΔCDF=SΔCDE=1=?！唳DF的面積為。（二）、由中點(diǎn)應(yīng)想到利用三角形的中位線例2．如圖3，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，BA、CD的延長(zhǎng)線分別交EF的延長(zhǎng)線G、H。求證：∠BGE=∠CHE。證明：連結(jié)BD，并取BD的中點(diǎn)為M，連結(jié)ME、MF，∵M(jìn)E是ΔBCD的中位線，∴MECD，∴∠MEF=∠CHE，∵M(jìn)F是ΔABD的中位線，∴MFAB，∴∠MFE=∠BGE，∵AB=CD，∴ME=MF，∴∠MEF=∠MFE，從而∠BGE=∠CHE。（三）、由中線應(yīng)想到延長(zhǎng)中線例3．圖4，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，連BC上的中線AD=2，求BC的長(zhǎng)。解：延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，則AE=2AD=22=4。在ΔACD和ΔEBD中，∵AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD，∴ΔACD≌ΔEBD，∴AC=BE，從而B(niǎo)E=AC=3。在ΔABE中，因AE2+BE2=42+32=25=AB2，故∠E=90176。，∴BD===，故BC=2BD=2。例4．如圖5，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：ΔABC是等腰三角形。證明：延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD。仿例3可證：ΔBED≌ΔCAD，故EB=AC，∠E=∠2，又∠1=∠2，∴∠1=∠E，∴AB=EB，從而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。（四）、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)例5．如圖6，已知梯形ABCD中，AB//DC，AC⊥BC，AD⊥BD，求證：AC=BD。證明：取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)DE、CE，則DE、CE分別為RtΔABD，RtΔABC斜邊AB上的中線，故DE=CE=AB，因此∠CDE=∠DCE?！逜B//DC，∴∠CDE=∠1，∠DCE=∠2，∴∠1=∠2，在ΔADE和ΔBCE中，∵DE=CE，∠1=∠2，AE=BE，∴ΔADE≌ΔBCE，∴AD=BC，從而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC=BD。（五）、角平分線且垂直一線段，應(yīng)想到等腰三角形的中線例6．如圖7，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90176。，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，CE垂直于BD，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E。求證：BD=2CE。證明：延長(zhǎng)BA，CE交于點(diǎn)F，在ΔBEF和ΔBEC中，∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90176。，∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，從而CF=2CE。又∠1+∠F=∠3+∠F=90176。，故∠1=∠3。在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90176。，∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。注：此例中BE是等腰ΔBCF的底邊CF的中線。（六）中線延長(zhǎng)口訣：三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常延長(zhǎng)加倍
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