【正文】 3．平行線法（或平移法） 若題設(shè)中含有中點(diǎn)可以試過(guò)中點(diǎn)作平行線或中位線，對(duì)Rt△,有時(shí)可作出斜邊的中線．ABCPQO△ABC中，∠BAC=60176。既糾結(jié)了自己，又打擾了別人。用一些事情，總會(huì)看清一些人。求證： BF＝2CD.圖2BFDCA四：其他方法總結(jié)1．截長(zhǎng)補(bǔ)短法ABCDE如圖，已知：正方形ABCD中，∠BAC的平分線交BC于E，求證：AB+BE=AC．2．倍長(zhǎng)中線法題中條件若有中線，可延長(zhǎng)一倍，以構(gòu)造全等三角形，從而將分散條件集中在一個(gè)三角形內(nèi)?！唷螰DM=∠EDF=90176。BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，CE垂直于BD，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E。（二）、由中點(diǎn)應(yīng)想到利用三角形的中位線例2．如圖3，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，BA、CD的延長(zhǎng)線分別交EF的延長(zhǎng)線G、H。求證：CD=DB。三、 有角平分線時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，如：例如：如圖31：已知AD為△ABC的中線，且∠1=∠2,∠3=∠4,求證：BE+CFEF。12ACDB例4 如圖，ABAC, ∠1=∠2，求證：AB－ACBD－CD。（三）：作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個(gè)等腰三角形，垂足為底邊上的中點(diǎn)，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。例2． 如圖22，在△ABC中，∠A=90對(duì)于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱(chēng)以后關(guān)系現(xiàn)。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。此題是證明線段的和差倍分問(wèn)題，從中利用了相當(dāng)于截取的方法。求證：DH=（ABAC）分析：延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)E，則可得全等三角形。練習(xí)：1. 已知，如圖，∠C=2∠A，AC=2BC。注意：當(dāng)證題有角平分線時(shí)，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的對(duì)應(yīng)性質(zhì)得到相等元素。C=90176。（三）、由中線應(yīng)想到延長(zhǎng)中線例3．圖4，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，連BC上的中線AD=2，求BC的長(zhǎng)?！唳EF≌ΔBEC，∴EF=EC，從而CF=2CE。例二：如圖51：AD為△ABC的中線，求證：AB+AC2AD?！螩=40176。努力過(guò)后，才知道許多事情，堅(jiān)持堅(jiān)持，就過(guò)來(lái)了。在紛雜的塵世里，為自己留下一片純靜的心靈空間，不管是潮起潮落，也不管是陰晴圓缺，你都可以免去浮躁，義無(wú)反顧，勇往直前，輕松自如地走好人生路上的每一步3. 花一些時(shí)間，總會(huì)看清一些事。BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延長(zhǎng)線于D。即：∠EDF=90176。（五）、角平分線且垂直一線段，應(yīng)想到等腰三角形的中線例6．如圖7，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90176。∴ΔCDF的面積為。AD是∠CAB的平分線，DM⊥AB于M，且AM=MB。注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。如圖41和圖42所示。求證CF=BH。近而證∠ADC與∠B之和為平角。角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對(duì)稱(chēng)性；b、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。與角有關(guān)的輔助線（一）、截取構(gòu)全等如圖11，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并連接DE、DF，則有△OED≌△OFD，從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。例3． 已知如圖23，△ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P。問(wèn)題可證。求證：△ABC是直角三角形。三、截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線。CM^AB于M，AT平分208。解：延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，則AE=2AD=22=4。又∠1+∠F=∠3+∠F=90176。分析：要證AB+AC2AD，由圖想到：AB+BDAD,AC+CDAD，所以有AB+AC+BD+CDAD+AD=2AD，左邊比要證結(jié)論多BD+CD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去證明：延長(zhǎng)AD至E，使DE=AD，連接BE，CE∵AD為△ABC的中線（已知）∴BD=CD（中線定義）在△ACD和△EBD中BD=CD（已證）∠1=∠2（對(duì)頂角相等）AD=ED（輔助線作法）∴△ACD≌△EBD（SAS）∴BE=CA（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）∵在△ABE中有：AB+BEAE（三角形兩邊之和大于第三邊）∴AB+AC2AD。AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q， 求證：AB+BP=BQ+AQ． OABCPQD圖（1）ABCPQDE圖（2）O說(shuō)明：⑴本題也可以在AB截取AD=AQ，連OD，構(gòu)造全等三角形，即“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”． ⑵本題利用“平行法”解法也較多，舉例如下：① 如圖（1），過(guò)O作OD∥BC交AC于D，則△ADO≌△ABO來(lái)解決．ABCPQ圖（3）DO② 如圖（2），過(guò)O作DE∥BC交AB于D，交AC于E，則△ADO≌△AQO，△ABO≌△AEO來(lái)解決．③ 如圖（3），過(guò)P作PD∥BQ交AB的延長(zhǎng)線于D，則△APD≌△APC來(lái)解決． ABCPQ圖（4）DO④ 如圖（4），過(guò)P作PD∥BQ交AC于D，則△ABP≌△ADP來(lái)解決． ABCDM已知：如圖，在△ABC中，∠A的平分線AD交BC于D，且AB=AD，作CM⊥AD交AD的延長(zhǎng)于M．求證：AM=（AB+AC）鞏固練習(xí)（2009年浙江省紹興市）如圖，分別為的，邊的中點(diǎn)，將此三角形沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處．若，則等于（ ）A． B． C ． D．CDBA ABCD2（2009柳州）如圖所示，圖中三角形的個(gè)數(shù)共有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3 個(gè)D．4 (2009寧夏)如圖，的周長(zhǎng)為32，且于，的周長(zhǎng)為24，那么的長(zhǎng)為　　　　　?。?09年達(dá)州)長(zhǎng)度為2㎝、3㎝、4㎝、5㎝的四條線段，從中任取三條線段能組成三角形的概率是______DCBA如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，且∠ABC＝2