二次函數(shù)與四邊形的動(dòng)點(diǎn)問題[含答案](編輯修改稿)
2025-07-20 21:39 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 在拋物線上，位于第四象限，且坐標(biāo)適合，∴y0，即 －y0,－y表示點(diǎn)E到OA的距離．∵OA是的對角線，∴．因?yàn)閽佄锞€與軸的兩個(gè)交點(diǎn)是（1，0）的（6，0），所以，自變量的取值范圍是1＜＜6．① 根據(jù)題意，當(dāng)S = 24時(shí)，即．化簡，得 解之，得故所求的點(diǎn)E有兩個(gè)，分別為E1（3，－4），E2（4，－4）．點(diǎn)E1（3，－4）滿足OE = AE，所以是菱形；點(diǎn)E2（4，－4）不滿足OE = AE，所以不是菱形．② 當(dāng)OA⊥EF，且OA = EF時(shí)，是正方形，此時(shí)點(diǎn)E的1234554321坐標(biāo)只能是（3，－3）． 而坐標(biāo)為（3，－3）的點(diǎn)不在拋物線上，故不存在這樣的點(diǎn)E，使為正方形．：（1）由題意知點(diǎn)的坐標(biāo)為．設(shè)的函數(shù)關(guān)系式為．又點(diǎn)在拋物線上，解得．拋物線的函數(shù)關(guān)系式為（或）．（2）與始終關(guān)于軸對稱， 與軸平行．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則其縱坐標(biāo)為，，即．當(dāng)時(shí)，解得．當(dāng)時(shí)，解得．當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到或或或時(shí)，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．（3）滿足條件的點(diǎn)不存在．理由如下：若存在滿足條件的點(diǎn)在上，則123554321，（或），．過點(diǎn)作于點(diǎn)，可得．，．點(diǎn)的坐標(biāo)為．但是，當(dāng)時(shí)，．不存在這樣的點(diǎn)構(gòu)成滿足條件的直角三角形．練習(xí)3. [解] （1）點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別為，． 設(shè)拋物線的解析式是，則解得所以所求拋物線的解析式是． （2）由（1）可計(jì)算得點(diǎn)． 過點(diǎn)作，垂足為．當(dāng)運(yùn)動(dòng)到時(shí)刻時(shí)，． 根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，所以四邊形是平行四邊形．所以．所以，四邊形的面積． 因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)至點(diǎn)與點(diǎn)重合為止，據(jù)題意可知．所以，所求關(guān)系式是，的取值范圍是． （3），（）．所以時(shí)，有最大值． 提示：也可用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式來求．（4）在運(yùn)動(dòng)過程中四邊形能形成矩形． 由（2）知四邊形是平行四邊形，對角線是，所以當(dāng)時(shí)四邊形是矩形．所以．所以． 所以．解之得（舍）．所以在運(yùn)動(dòng)過程中四邊形可以形成矩形，此時(shí)． [點(diǎn)評]本題以二次函數(shù)為背景，結(jié)合動(dòng)態(tài)問題、存在性問題、最值問題，是一道較傳統(tǒng)的壓軸題，能力要求較高。二．二次函數(shù)與四邊形的面積例1. 解：（1）解法一：設(shè)，任取x,y的三組值代入，求出解析式，令y=0，求出；令x=0，得y=4，∴ A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(2，0)，B(4，0)，C(0，4) . 解法二：由拋物線P過點(diǎn)(1，)，(3，)可知，拋物線P的對稱軸方程為x=1，又∵ 拋物線P過(2，0)、(2，4)，則由拋物線的對稱性可知，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為 A(2，0)，B(4，0)，C(0，4) .（2）由題意，而AO=2，OC=4，AD=2m，故DG=42m， 又 ，EF=DG，得BE=42m，∴ DE=3m，∴=DGDE=(42m) 3m=12m6m2 (0＜m＜2) .注：也可通過解Rt△BOC及Rt△AOC，或依據(jù)△BOC是等腰直角三角形建立關(guān)系求解.(3)∵SDEFG=12m6m2 (0＜m＜2)，∴m=1時(shí)，矩形的面積最大，且最大面積是6 .當(dāng)矩形面積最大時(shí)，其頂點(diǎn)為D(1，0)，G(1，2)，F(xiàn)(2，2)，E(2，0)，設(shè)直線DF的解析式為y=kx+b，易知，k=，b=，∴，又可求得拋物線P的解析式為：，令=，可求出. 設(shè)射線DF與拋物線P相交于點(diǎn)N，則N的橫坐標(biāo)為，過N作x軸的垂線交x軸于H，有==，點(diǎn)M不在拋物線P上，即點(diǎn)M不與N重合時(shí)，此時(shí)k的取值范圍是k≠且k＞0.說明：若以上兩條件錯(cuò)漏一個(gè)，本步不得分.若選擇另一問題：(2)∵，而AD=1，AO=2，OC=4，則DG=2，又∵， 而AB=6，CP=2，OC=4，則FG=3，∴=DGFG=6.：利用中心對稱性質(zhì)，畫出梯形OABC． 1分∵A，B，C三點(diǎn)與M，N，H分別關(guān)于點(diǎn)O中心對稱，∴A（0，4），B（6，4），C（8，0） 3分（寫錯(cuò)一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)扣1分）（2）設(shè)過A，B，C三點(diǎn)的拋物線關(guān)系式為，∵拋物線過點(diǎn)A（0，4）， ∴．則拋物線關(guān)系式為． 4分將B（6，4）， C（8，0）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入關(guān)系式，得18
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