數(shù)學(xué)二次函數(shù)中考壓軸題(平行四邊形)解析精選(編輯修改稿)
2025-05-01 04:24 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 不大，但需要仔細(xì)分析，認(rèn)真計(jì)算．【例四】（2013?盤錦）如圖，拋物線y=ax2+bx+3與x軸相交于點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0），與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為線段OB上的動點(diǎn)（不與O、B重合），過點(diǎn)P垂直于x軸的直線與拋物線及線段BC分別交于點(diǎn)E、F，點(diǎn)D在y軸正半軸上，OD=2，連接DE、OF．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)四邊形ODEF是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）過點(diǎn)A的直線將（2）中的平行四邊形ODEF分成面積相等的兩部分，求這條直線的解析式．（不必說明平分平行四邊形面積的理由）考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）平行四邊形的對邊相等，因此EF=OD=2，據(jù)此列方程求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）本問利用中心對稱的性質(zhì)求解．平行四邊形是中心對稱圖形，其對稱中心為兩條對角線的交點(diǎn)（或?qū)蔷€的中點(diǎn)），過對稱中心的直線平分平行四邊形的面積，因此過點(diǎn)A與?ODEF對稱中心的直線平分?ODEF的面積．解答：解：（1）∵點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0）在拋物線y=ax2+bx+3上，∴，解得a=﹣1，b=2，∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+2x+3．（2）在拋物線解析式y(tǒng)=﹣x2+2x+3中，令x=0，得y=3，∴C（0，3）．設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，將B（3，0），C（0，3）坐標(biāo)代入得：，解得k=﹣1，b=3，∴y=﹣x+3．設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（x，﹣x2+2x+3），則P（x，0），F(xiàn)（x，﹣x+3），∴EF=yE﹣yF=﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x．∵四邊形ODEF是平行四邊形，∴EF=OD=2，∴﹣x2+3x=2，即x2﹣3x+2=0，解得x=1或x=2，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）或（2，0）．（3）平行四邊形是中心對稱圖形，其對稱中心為兩條對角線的交點(diǎn)（或?qū)蔷€的中點(diǎn)），過對稱中心的直線平分平行四邊形的面積，因此過點(diǎn)A與?ODEF對稱中心的直線平分?ODEF的面積．①當(dāng)P（1，0）時(shí)，點(diǎn)F坐標(biāo)為（1，2），又D（0，2），設(shè)對角線DF的中點(diǎn)為G，則G（，2）．設(shè)直線AG的解析式為y=kx+b，將A（﹣1，0），G（，2）坐標(biāo)代入得：，解得k=b=，∴所求直線的解析式為：y=x+；②當(dāng)P（2，0）時(shí)，點(diǎn)F坐標(biāo)為（2，1），又D（0，2），設(shè)對角線DF的中點(diǎn)為G，則G（1，）．設(shè)直線AG的解析式為y=kx+b，將A（﹣1，0），G（1，）坐標(biāo)代入得：，解得k=b=，∴所求直線的解析式為：y=x+．綜上所述，所求直線的解析式為：y=x+或y=x+．點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、平行四邊形的性質(zhì)、中心對稱的性質(zhì)等知識點(diǎn)．第（3）問中，特別注意要充分利用平行四邊形中心對稱的性質(zhì)，只要求出其對稱中心的坐標(biāo)，即可利用待定系數(shù)法求出所求直線的解析式．【例五】（2013?沈陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（，0）和點(diǎn)B（1，），與x軸的另一個交點(diǎn)為C．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)D在對稱軸的右側(cè)，x軸上方的拋物線上，且∠BDA=∠DAC，
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