托勒密定理與圓的其它定理(編輯修改稿)
2025-07-20 20:48 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 問題1 相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦,被交點分成的兩條線段長的乘積相等。 證明：連結(jié)AC，BD，由圓周角定理的推論，得∠A=∠D，∠C=∠B。 ∴△PAC∽△PDB ∴PA/PD=PC/PB ∴PAPB=PCPD 問題2 割線定理： 則有 PAPB=PCPD，當PA=PB，即直線AB重合，即PA切線時得到切線定理PA^2=PCPD 證明：（令A在P、B之間，C在P、D之間） ∵ABCD為圓內(nèi)接四邊形 ∴∠CAB+∠CDB=180176。 又∠CAB+∠PAC=180176。 ∴∠PAC=∠CDB ∵∠APC公共 ∴△APC∽△DPB ∴PA/PD=PC/PB ∴PAPB=PCPD 切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項 幾何語言：∵PT切⊙O于點T，PBA是⊙O的割線 ∴PT^2=PAPB（切割線定理） 推論 從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等 幾何語言：∵PBA、PDC是⊙O的割線 ∴PDPC=PAPB（切割線定理推論） 問題3 過點P任作直線交定圓于兩點A、B，證明PAPB為定值（圓冪定理）。 證：以P為原點，設(shè)圓的方程為 (xxO)^2+(yyO)^2=a① 過P的直線為 x=k1t y=k2t 則A、B的橫坐標是方程 (k1txO)^2+(k2tyO)^2=r^2 即 (k1^2+k2^2)t^22(k1xO+k2yO)t+xO^2+yO^2r^2=0 的兩個根tt2。由韋達定理 t1t2=(xO^2+yO^2^2)/(k1^2+k2^2) 于是 PAPB=√((k1t1)^2+(k2t1)^2)√((k1t2)^2+(k2t2)^2) =(√(k1^2+k2^2))^2|t1||t2| =k1^2+k2^2|(xO^2+yO^2r^2)/(k1^2+k2^2)| =|(xO^2+yO^2r^2)| 為定值，證畢。 圓①也可以寫成 x^2+y^22xOx2yOy+xO^2+yO^2a=0①′ 其中a為圓的半徑的平方。所說的定值也就是（原點）與圓心O的距離的平方減去半徑的平方。當P在圓外時，這就是自P向圓所引切線（長）的平方。 這定值稱為點P到這圓的冪。 在上面證明的過程中，我們以P為原點，這樣可以使問題簡化。 如果給定點O，未必是原點，要求出P關(guān)于圓①的冪（即OP^2r^2），我們可以設(shè)直線AB的方程為 ?、? ③ 是 的傾斜角， 表示直線上的點與 的距離． 將②③代入①得 即 ， 是它的兩個根，所以由韋達定理 ?、? 是定值 ?、苁?關(guān)于①的冪（當 是原點時，這個值就是 ）．它也可以寫成 ④′ 即 與圓心 距離的平方減去半徑的平方． 當P在圓內(nèi)時，冪值是負值；P在圓上時，冪為0；P在圓外時，冪為正值，這時冪就是自P向圓所引切線長的平方。 以上是圓冪定理的證明，下面看一看它的應(yīng)用． 問題4 自圓外一點 向圓引割線交圓于 、 兩點，又作切線 、 ， 、 為切點， 與 相交于 ，如圖8．求證 、 、 成調(diào)和數(shù)列，即 證：設(shè)圓的方程為 ?、? 點 的坐標為 ， 的參數(shù)方程為 ?、? ⑦ 其中 是 的傾斜角， 表示直線上的點 與 的距離． ⑥⑦代入⑤得 即 、 是它的兩個根，由韋達定理 ?、? 另一方面，直線 是圓的切點弦，利用前邊的結(jié)論， 的方程為 ⑦⑧代入得 因此，這個方程的根 滿足 ?、? 綜合⑧⑨，結(jié)論成立。 可以證明，當 在圓內(nèi)時，上述推導及結(jié)論仍然成立。 說明：問題4的解決借用了問題3的方法，同時我們也看到了問題4與問題問題2的內(nèi)在聯(lián)系。 西姆松定理 西姆松定理圖示西姆松定理是一個幾何定理。表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊的垂線，則三垂足共線。（此線常稱為西姆松線）。西姆松定理的逆定理為：若一點在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點在此三角形的外接圓上。西姆松定理說明 相關(guān)的結(jié)果有： ?。?）稱三角形的垂心為H。西姆松線和PH的交點為線段PH的中點，且這點在九點圓上。 ?。?）兩點的西姆松線的交角等于該兩點的圓周角。 ?。?）若兩個三角形的外接圓相同，這外接圓上的一點P對應(yīng)兩者的西姆松線的交角，跟P的位置無關(guān)。 ?。?）從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在三角形的外接圓上。 (5)過三角形垂心的任意直線都是三角形的的西姆松線 證明 證明一：△ABC外接圓上有點P，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，PD⊥AB于D，分別連FE、FD、BP、CP. 易證P、B、D、F及P、F、C、E和A、D、P、E分別共圓， 在PBDF圓內(nèi)，∠DBP+∠DFP=180度，在ABPC圓內(nèi)∠ABP+∠ACP =180度，∠ABP=∠DBP 于是∠DFP=∠ACP ①，在PFCE圓內(nèi) ∠PFE=∠PCE ?、?而∠ACP+∠PCE=180176。 ③ ∴∠DFP+∠PFE=180176。 ④ 即D、F、E共線. 反之，當D、F、E共線時，由④→②→③→①可見A、 證明一（圖）B、P、C共圓. 證明二： 如圖，若L、M、N三點共線，連結(jié)BP，CP，則因PL垂直于 BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、L、P、N和
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