勾股定理經(jīng)典例題含答案(編輯修改稿)
2024-07-20 07:40 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 心做弧，弧與數(shù)軸的交點(diǎn)B即為。類型五：逆命題與勾股定理逆定理 寫(xiě)出下列原命題的逆命題并判斷是否正確 1．原命題：貓有四只腳．（正確） 2．原命題：對(duì)頂角相等（正確） 3．原命題：線段垂直平分線上的點(diǎn)，到這條線段兩端距離相等．（正確） 4．原命題：角平分線上的點(diǎn)，到這個(gè)角的兩邊距離相等．（正確） 思路點(diǎn)撥：掌握原命題與逆命題的關(guān)系。 解析：1. 逆命題：有四只腳的是貓（不正確） 2. 逆命題：相等的角是對(duì)頂角（不正確） 3. 逆命題：到線段兩端距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上．（正確） 4. 逆命題：到角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上．（正確） 總結(jié)升華：本題是為了學(xué)習(xí)勾股定理的逆命題做準(zhǔn)備。 如果ΔABC的三邊分別為a、b、c，且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判斷ΔABC的形狀。 思路點(diǎn)撥：要判斷ΔABC的形狀，需要找到a、b、c的關(guān)系，而題目中只有條件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有從該條件入手，解決問(wèn)題。 解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得 ： a26a+9+b28b+16+c210c+25=0, ∴ (a3)2+(b4)2+(c5)2=0。 ∵ (a3)2≥0, (b4)2≥0, (c5)2≥0。 ∴ a=3，b=4，c=5。 ∵ 32+42=52, ∴ a2+b2=c2。 由勾股定理的逆定理，得ΔABC是直角三角形。 總結(jié)升華：勾股定理的逆定理是通過(guò)數(shù)量關(guān)系來(lái)研究圖形的位置關(guān)系的,在證明中也常要用到。 舉一反三【變式1】四邊形ABCD中，∠B=90176。，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積。 【答案】：連結(jié)AC ∵∠B=90176。，AB=3，BC=4 ∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理） ∴AC=5 ∵AC2+CD2=169，AD2=169 ∴AC2+CD2=AD2 ∴∠ACD=90176。（勾股定理逆定理） 【變式2】已知:△ABC的三邊分別為m2－n2,2mn,m2+n2(m,n為正整數(shù),且m＞n),判斷△ABC是否為直角三角形. 分析:本題是利用勾股定理的的逆定理， 只要證明:a2+b2=c2即可 證明： 所以△ABC是直角三角形. 【變式3】如圖正方形ABCD，E為BC中點(diǎn)，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，且BF=AB。 請(qǐng)問(wèn)FE與DE是否垂直?請(qǐng)說(shuō)明。 【答案】答：DE⊥EF。 證明：設(shè)BF=a，則BE=EC=2a, AF=3a，AB=4a, ∴ EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2； DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。 連接DF（如圖） DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。 ∴ DF2=EF2+DE2, ∴ FE⊥DE。經(jīng)典例題精析類型一：勾股定理及其逆定理的基本用法 若直角三角形兩直角邊的比是3：4，斜邊長(zhǎng)是20，求此直角三角形的面積。 思路點(diǎn)撥：在直角三角形中知道兩邊的比值和第三邊的長(zhǎng)度，求面積，可以先通過(guò)比值設(shè)未知數(shù)，再根據(jù)勾股定理列出方程，求出未知數(shù)的值進(jìn)而求面積。 解析：設(shè)此直角三角形兩直角邊分別是3x，4x，根據(jù)題意得： （3x）2+（4x）2＝202 化簡(jiǎn)得x2＝16； ∴直角三角形的面積＝3x4x＝6x2＝96 總結(jié)升華：直角三角形邊的有關(guān)計(jì)算中，常常要設(shè)未知數(shù)，然后用勾股定理列方程（組）求解。 舉一反三 【變式1】等邊三角形的邊長(zhǎng)為2，求它的面積。 【答案】如圖，等邊△ABC，作AD⊥BC于D 則：BD＝BC（等腰三角形底邊上的高與底邊上的中線互相重合） ∵AB＝AC＝BC＝2（等邊
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