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正文內(nèi)容

勾股定理經(jīng)典例題含答案(編輯修改稿)

2024-07-20 07:40 本頁(yè)面
 

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 心做弧,弧與數(shù)軸的交點(diǎn)B即為。類型五:逆命題與勾股定理逆定理 寫(xiě)出下列原命題的逆命題并判斷是否正確 1.原命題:貓有四只腳.(正確) 2.原命題:對(duì)頂角相等(正確) 3.原命題:線段垂直平分線上的點(diǎn),到這條線段兩端距離相等.(正確) 4.原命題:角平分線上的點(diǎn),到這個(gè)角的兩邊距離相等.(正確) 思路點(diǎn)撥:掌握原命題與逆命題的關(guān)系。 解析:1. 逆命題:有四只腳的是貓(不正確) 2. 逆命題:相等的角是對(duì)頂角(不正確) 3. 逆命題:到線段兩端距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上.(正確) 4. 逆命題:到角兩邊距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上.(正確) 總結(jié)升華:本題是為了學(xué)習(xí)勾股定理的逆命題做準(zhǔn)備。 如果ΔABC的三邊分別為a、b、c,且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判斷ΔABC的形狀。 思路點(diǎn)撥:要判斷ΔABC的形狀,需要找到a、b、c的關(guān)系,而題目中只有條件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,故只有從該條件入手,解決問(wèn)題。 解析:由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,得 : a26a+9+b28b+16+c210c+25=0, ∴ (a3)2+(b4)2+(c5)2=0。 ∵ (a3)2≥0, (b4)2≥0, (c5)2≥0。 ∴ a=3,b=4,c=5。 ∵ 32+42=52, ∴ a2+b2=c2。 由勾股定理的逆定理,得ΔABC是直角三角形。 總結(jié)升華:勾股定理的逆定理是通過(guò)數(shù)量關(guān)系來(lái)研究圖形的位置關(guān)系的,在證明中也常要用到。 舉一反三【變式1】四邊形ABCD中,∠B=90176。,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四邊形ABCD的面積。 【答案】:連結(jié)AC ∵∠B=90176。,AB=3,BC=4 ∴AC2=AB2+BC2=25(勾股定理) ∴AC=5 ∵AC2+CD2=169,AD2=169 ∴AC2+CD2=AD2 ∴∠ACD=90176。(勾股定理逆定理) 【變式2】已知:△ABC的三邊分別為m2-n2,2mn,m2+n2(m,n為正整數(shù),且m>n),判斷△ABC是否為直角三角形. 分析:本題是利用勾股定理的的逆定理, 只要證明:a2+b2=c2即可 證明: 所以△ABC是直角三角形. 【變式3】如圖正方形ABCD,E為BC中點(diǎn),F(xiàn)為AB上一點(diǎn),且BF=AB。 請(qǐng)問(wèn)FE與DE是否垂直?請(qǐng)說(shuō)明。 【答案】答:DE⊥EF。 證明:設(shè)BF=a,則BE=EC=2a, AF=3a,AB=4a, ∴ EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2; DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。 連接DF(如圖) DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。 ∴ DF2=EF2+DE2, ∴ FE⊥DE。經(jīng)典例題精析類型一:勾股定理及其逆定理的基本用法 若直角三角形兩直角邊的比是3:4,斜邊長(zhǎng)是20,求此直角三角形的面積。 思路點(diǎn)撥:在直角三角形中知道兩邊的比值和第三邊的長(zhǎng)度,求面積,可以先通過(guò)比值設(shè)未知數(shù),再根據(jù)勾股定理列出方程,求出未知數(shù)的值進(jìn)而求面積。 解析:設(shè)此直角三角形兩直角邊分別是3x,4x,根據(jù)題意得: (3x)2+(4x)2=202 化簡(jiǎn)得x2=16; ∴直角三角形的面積=3x4x=6x2=96 總結(jié)升華:直角三角形邊的有關(guān)計(jì)算中,常常要設(shè)未知數(shù),然后用勾股定理列方程(組)求解。 舉一反三 【變式1】等邊三角形的邊長(zhǎng)為2,求它的面積。 【答案】如圖,等邊△ABC,作AD⊥BC于D 則:BD=BC(等腰三角形底邊上的高與底邊上的中線互相重合) ∵AB=AC=BC=2(等邊
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