【文章內(nèi)容簡介】 j. （4）代價函數(shù)中的第一項捕捉圖像塊關(guān)于字典D稀疏近似的質(zhì)量。第二項執(zhí)行K空間數(shù)據(jù)保真度。塊稀疏約束項和通用字典學(xué)習(xí)相同。公式中的權(quán)重ν取決于觀測噪聲的標(biāo)準(zhǔn)偏差σ，表示為ν=（λ/σ）,其中λ是一個正常數(shù)。使得它對噪聲的穩(wěn)定性更好。這種形式的權(quán)重應(yīng)用觀測過程的先驗知識，并在圖像去噪中[30]表現(xiàn)了良好的效果。沒有適應(yīng)數(shù)據(jù)保真度權(quán)重的明確噪聲等先前壓縮感知磁共振成像方法[16]權(quán)衡了數(shù)據(jù)一致性和去噪兩個方面。本文提出的公式考慮了已知噪聲水平的觀測情形。當(dāng)精確值未知時對噪聲水平的估計或觀測到的噪聲水平可以被應(yīng)用。 更加簡單的不加噪觀測問題公式可以通過從代價函數(shù)中去掉數(shù)據(jù)保真度項，反而將數(shù)據(jù)保真度項作為約束條件Fux=y來得到。這種情況描述了當(dāng)σ→0，或者ν→0時問題（P0）的極限行為，對高信噪比的觀測過程是有用的。我們的公式因而能夠設(shè)計一個自適應(yīng)字典，并且應(yīng)用該字典去重建底層圖像。這一過程的完成只應(yīng)用了降采樣的K空間觀測值y。然而，正如通用的字典學(xué)習(xí)問題（3），同時重建和字典學(xué)習(xí)的問題（P0）是NP難問題，并且即便當(dāng)l0擬范數(shù)降低限制條件變?yōu)閘10范數(shù)時問題依然是非凸的。替代問題（不一定更簡單）公式也可以通過修正問題（P0）產(chǎn)生。例如，稀疏約束可以作為應(yīng)用拉格朗日乘子的懲罰項結(jié)合在代價函數(shù)中。然而，在本文中，我們集中于問題（P0）。在公式中我們應(yīng)用定期定位，重疊的2維圖像塊。重疊步長γ定義為鄰接圖像塊相應(yīng)像素位置間的像素點間距離。當(dāng)γ=1時圖像塊有最大重疊。在這種情況下，每一像素點（i,j）（除了靠近右下角圖像邊緣的像素點）都是一個2維圖像塊的左上角。假設(shè)圖像塊在圖像邊緣處做”環(huán)繞式處理”，那么靠近圖像右下邊緣的像素點也可以構(gòu)成某些圖像塊的左上角像素。這種情形下的圖像塊開始于圖像邊界，并在圖像的對面環(huán)繞。當(dāng)圖像假設(shè)”環(huán)繞處理”并且重疊步長為γ=1時，圖像的每個像素點分別屬于n個不同的圖像塊，其中n表示一個圖像塊的像素個數(shù)。自適應(yīng)的基于塊稀疏的公式既可以有效學(xué)習(xí)局部圖像特征也可以去除混疊和噪聲。重疊塊對于去除偽影創(chuàng)建一個額外的平均效應(yīng)。公式的這些方面使得它在CSMRI場景中獲得很好的應(yīng)用。第四章 算法和算法性能A．算法問題（P0）應(yīng)用交替最小過程解決。在交替計劃的一個階段，x被假設(shè)為固定的，共同學(xué)習(xí)圖像塊的字典和稀疏表示。在另一階段，字典和稀疏表示是固定的，x被更新以滿足數(shù)據(jù)一致性。這兩步在以下的章節(jié)中將被詳細闡述。1）字典學(xué)習(xí)階段：在這一階段，在x固定下解決問題（P0）。這對應(yīng)于子問題（P1）minD,ΓijRijxDαij22 . dk2=1 ?k ， αij0≤T0 ?i,j. （5）學(xué)習(xí)的代價函數(shù)考慮了應(yīng)用稀疏字典的所有重疊塊的擬合誤差。另外，類似于字典學(xué)習(xí)在去噪[30]中的應(yīng)用，我們只使用所有塊的一部分，取百分比δ的圖像塊來訓(xùn)練字典。設(shè)計字典的列（用dk表示，1≤k≤K）是單位約束規(guī)范以避免尺度模糊[59]。應(yīng)用KSVD算法[24]學(xué)習(xí)字典D。一旦字典被學(xué)習(xí)，在所有圖像塊執(zhí)行稀疏編碼以確定αij。2）更新重建：在這一階段，在固定字典和稀疏表示下解決問題（P0）。相應(yīng)的更新問題變?yōu)? （P2）minxijRijxDαij22+νFuxy22。 （6）問題（P2）是一個有解析解的簡單的最小二乘問題。最小二乘解滿足標(biāo)準(zhǔn)方程 ijRijTRij+νFuHFux=ijRijTDαij+νFuHy. （7）其中上標(biāo)H表示厄米共軛轉(zhuǎn)置操作，當(dāng)運算數(shù)是實數(shù)時用上標(biāo)T取代H。因為公式要求轉(zhuǎn)置PP矩陣自左乘X，直接解決問題（7）是冗長復(fù)雜的。通常，它的運算復(fù)雜度為O(P3) ，這對于P=256256是不可實現(xiàn)的。幸運的是，通過使用不同量的結(jié)構(gòu)對解決方案進行簡化。 ijRijTRij∈CPP是一對角矩陣，其中對應(yīng)圖像像素點位置和其值的對角線元素和分布在那些像素位置的重疊圖像塊的數(shù)目是相等的。在假設(shè)圖像塊環(huán)繞在圖像邊界的情況下，對角元素全部相等，ijRijTRij=βIp（其中Ip∈CPP為單位陣）。特別地，當(dāng)圖像塊的重疊步長γ=1時，β=n。當(dāng)圖像塊被限制在視野區(qū)（沒有環(huán)繞），貢獻給靠近圖像邊界的像素點的圖像塊的數(shù)目將會比圖像其它區(qū)域的像素點的數(shù)目要少，用ijRijTRij≈βIp來表示?！碍h(huán)繞”的假設(shè)在設(shè)計字典[29]之前，在這里應(yīng)用以達到一個簡單的解決方案。 有額外尺度因子（1/β）的ijRijTDαij表示塊平均結(jié)果。被學(xué)習(xí)字典近似表示的圖像塊在圖像的各自位置被平均。通過對覆蓋每一像素點的不同的圖像塊取平均得到每一像素點的灰度值。通過圖像域到傅里葉域的轉(zhuǎn)換得到以下簡化形式。令F∈CPP表示標(biāo)準(zhǔn)化的全傅里葉編碼矩陣?yán)鏔HF=Ip。Fx表示全部的K空間數(shù)據(jù)。代入公式（7）產(chǎn)生 FijRijTRijFH+νFuHFuFHFx=FijRijTDαij+νFFuHy. （8）算法1輸入：yK空間觀測值輸出：x重建磁共振圖像初始化：x=x0=FuHy迭代： 1）對圖像x的每一圖像塊學(xué)習(xí)字典和稀疏表示 2）更新x：通過對所有包含某一像素點的圖像塊取平均得到該像素的值 3）S←FFT(x) 4）通過公式（9）恢復(fù)采樣頻率以更新S 5）x←IFFT(S)矩陣FFuHFuFH是一個由1和0構(gòu)成的對角矩陣，元素1是對應(yīng)K空間中采樣位置的對角線元素。矢量FFuHy表示零填充的傅里葉測量值。在環(huán)繞的假設(shè)下，F(xiàn)ijRijTRijFH=βIp，公式（8）中矩陣自左乘Fx成為對角和非?？赡娴?。等式的兩邊可以被常數(shù)β除，并且β和權(quán)重ν有一定關(guān)系（用λ39。=(λ/β)）。塊平均結(jié)果轉(zhuǎn)換到傅里葉域產(chǎn)生 S=FijRijTDαijβ則公式（8）的解為 Fxkx,ky=Skx,ky,Skx,ky!∈ Ω Skx,ky+νS0(kx,ky)1+ν,Skx,ky∈ Ω （9）其中Fxkx,ky表示在坐標(biāo)位置kx,ky更新的值，S0=FFuHy表示零填充K空間觀測值，Ω表示被采樣的K空間的子集。盡管存在噪聲，等式（9）對于未采樣的傅里葉頻率用了字典內(nèi)插值，對于采樣的傅里葉頻率進行了回填。對于沒有噪聲的情況（ν→∞），這一操作僅僅恢復(fù)采樣頻率的觀測值。通過對Fx取傅里葉逆變換得到重建圖像