【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 j. （4）代價(jià)函數(shù)中的第一項(xiàng)捕捉圖像塊關(guān)于字典D稀疏近似的質(zhì)量。第二項(xiàng)執(zhí)行K空間數(shù)據(jù)保真度。塊稀疏約束項(xiàng)和通用字典學(xué)習(xí)相同。公式中的權(quán)重ν取決于觀測(cè)噪聲的標(biāo)準(zhǔn)偏差σ，表示為ν=（λ/σ）,其中λ是一個(gè)正常數(shù)。使得它對(duì)噪聲的穩(wěn)定性更好。這種形式的權(quán)重應(yīng)用觀測(cè)過(guò)程的先驗(yàn)知識(shí)，并在圖像去噪中[30]表現(xiàn)了良好的效果。沒(méi)有適應(yīng)數(shù)據(jù)保真度權(quán)重的明確噪聲等先前壓縮感知磁共振成像方法[16]權(quán)衡了數(shù)據(jù)一致性和去噪兩個(gè)方面。本文提出的公式考慮了已知噪聲水平的觀測(cè)情形。當(dāng)精確值未知時(shí)對(duì)噪聲水平的估計(jì)或觀測(cè)到的噪聲水平可以被應(yīng)用。 更加簡(jiǎn)單的不加噪觀測(cè)問(wèn)題公式可以通過(guò)從代價(jià)函數(shù)中去掉數(shù)據(jù)保真度項(xiàng)，反而將數(shù)據(jù)保真度項(xiàng)作為約束條件Fux=y來(lái)得到。這種情況描述了當(dāng)σ→0，或者ν→0時(shí)問(wèn)題（P0）的極限行為，對(duì)高信噪比的觀測(cè)過(guò)程是有用的。我們的公式因而能夠設(shè)計(jì)一個(gè)自適應(yīng)字典，并且應(yīng)用該字典去重建底層圖像。這一過(guò)程的完成只應(yīng)用了降采樣的K空間觀測(cè)值y。然而，正如通用的字典學(xué)習(xí)問(wèn)題（3），同時(shí)重建和字典學(xué)習(xí)的問(wèn)題（P0）是NP難問(wèn)題，并且即便當(dāng)l0擬范數(shù)降低限制條件變?yōu)閘10范數(shù)時(shí)問(wèn)題依然是非凸的。替代問(wèn)題（不一定更簡(jiǎn)單）公式也可以通過(guò)修正問(wèn)題（P0）產(chǎn)生。例如，稀疏約束可以作為應(yīng)用拉格朗日乘子的懲罰項(xiàng)結(jié)合在代價(jià)函數(shù)中。然而，在本文中，我們集中于問(wèn)題（P0）。在公式中我們應(yīng)用定期定位，重疊的2維圖像塊。重疊步長(zhǎng)γ定義為鄰接圖像塊相應(yīng)像素位置間的像素點(diǎn)間距離。當(dāng)γ=1時(shí)圖像塊有最大重疊。在這種情況下，每一像素點(diǎn)（i,j）（除了靠近右下角圖像邊緣的像素點(diǎn)）都是一個(gè)2維圖像塊的左上角。假設(shè)圖像塊在圖像邊緣處做”環(huán)繞式處理”，那么靠近圖像右下邊緣的像素點(diǎn)也可以構(gòu)成某些圖像塊的左上角像素。這種情形下的圖像塊開(kāi)始于圖像邊界，并在圖像的對(duì)面環(huán)繞。當(dāng)圖像假設(shè)”環(huán)繞處理”并且重疊步長(zhǎng)為γ=1時(shí)，圖像的每個(gè)像素點(diǎn)分別屬于n個(gè)不同的圖像塊，其中n表示一個(gè)圖像塊的像素個(gè)數(shù)。自適應(yīng)的基于塊稀疏的公式既可以有效學(xué)習(xí)局部圖像特征也可以去除混疊和噪聲。重疊塊對(duì)于去除偽影創(chuàng)建一個(gè)額外的平均效應(yīng)。公式的這些方面使得它在CSMRI場(chǎng)景中獲得很好的應(yīng)用。第四章 算法和算法性能A．算法問(wèn)題（P0）應(yīng)用交替最小過(guò)程解決。在交替計(jì)劃的一個(gè)階段，x被假設(shè)為固定的，共同學(xué)習(xí)圖像塊的字典和稀疏表示。在另一階段，字典和稀疏表示是固定的，x被更新以滿足數(shù)據(jù)一致性。這兩步在以下的章節(jié)中將被詳細(xì)闡述。1）字典學(xué)習(xí)階段：在這一階段，在x固定下解決問(wèn)題（P0）。這對(duì)應(yīng)于子問(wèn)題（P1）minD,ΓijRijxDαij22 . dk2=1 ?k ， αij0≤T0 ?i,j. （5）學(xué)習(xí)的代價(jià)函數(shù)考慮了應(yīng)用稀疏字典的所有重疊塊的擬合誤差。另外，類(lèi)似于字典學(xué)習(xí)在去噪[30]中的應(yīng)用，我們只使用所有塊的一部分，取百分比δ的圖像塊來(lái)訓(xùn)練字典。設(shè)計(jì)字典的列（用dk表示，1≤k≤K）是單位約束規(guī)范以避免尺度模糊[59]。應(yīng)用KSVD算法[24]學(xué)習(xí)字典D。一旦字典被學(xué)習(xí)，在所有圖像塊執(zhí)行稀疏編碼以確定αij。2）更新重建：在這一階段，在固定字典和稀疏表示下解決問(wèn)題（P0）。相應(yīng)的更新問(wèn)題變?yōu)? （P2）minxijRijxDαij22+νFuxy22。 （6）問(wèn)題（P2）是一個(gè)有解析解的簡(jiǎn)單的最小二乘問(wèn)題。最小二乘解滿足標(biāo)準(zhǔn)方程 ijRijTRij+νFuHFux=ijRijTDαij+νFuHy. （7）其中上標(biāo)H表示厄米共軛轉(zhuǎn)置操作，當(dāng)運(yùn)算數(shù)是實(shí)數(shù)時(shí)用上標(biāo)T取代H。因?yàn)楣揭筠D(zhuǎn)置PP矩陣自左乘X，直接解決問(wèn)題（7）是冗長(zhǎng)復(fù)雜的。通常，它的運(yùn)算復(fù)雜度為O(P3) ，這對(duì)于P=256256是不可實(shí)現(xiàn)的。幸運(yùn)的是，通過(guò)使用不同量的結(jié)構(gòu)對(duì)解決方案進(jìn)行簡(jiǎn)化。 ijRijTRij∈CPP是一對(duì)角矩陣，其中對(duì)應(yīng)圖像像素點(diǎn)位置和其值的對(duì)角線元素和分布在那些像素位置的重疊圖像塊的數(shù)目是相等的。在假設(shè)圖像塊環(huán)繞在圖像邊界的情況下，對(duì)角元素全部相等，ijRijTRij=βIp（其中Ip∈CPP為單位陣）。特別地，當(dāng)圖像塊的重疊步長(zhǎng)γ=1時(shí)，β=n。當(dāng)圖像塊被限制在視野區(qū)（沒(méi)有環(huán)繞），貢獻(xiàn)給靠近圖像邊界的像素點(diǎn)的圖像塊的數(shù)目將會(huì)比圖像其它區(qū)域的像素點(diǎn)的數(shù)目要少，用ijRijTRij≈βIp來(lái)表示?！碍h(huán)繞”的假設(shè)在設(shè)計(jì)字典[29]之前，在這里應(yīng)用以達(dá)到一個(gè)簡(jiǎn)單的解決方案。 有額外尺度因子（1/β）的ijRijTDαij表示塊平均結(jié)果。被學(xué)習(xí)字典近似表示的圖像塊在圖像的各自位置被平均。通過(guò)對(duì)覆蓋每一像素點(diǎn)的不同的圖像塊取平均得到每一像素點(diǎn)的灰度值。通過(guò)圖像域到傅里葉域的轉(zhuǎn)換得到以下簡(jiǎn)化形式。令F∈CPP表示標(biāo)準(zhǔn)化的全傅里葉編碼矩陣?yán)鏔HF=Ip。Fx表示全部的K空間數(shù)據(jù)。代入公式（7）產(chǎn)生 FijRijTRijFH+νFuHFuFHFx=FijRijTDαij+νFFuHy. （8）算法1輸入：yK空間觀測(cè)值輸出：x重建磁共振圖像初始化：x=x0=FuHy迭代： 1）對(duì)圖像x的每一圖像塊學(xué)習(xí)字典和稀疏表示 2）更新x：通過(guò)對(duì)所有包含某一像素點(diǎn)的圖像塊取平均得到該像素的值 3）S←FFT(x) 4）通過(guò)公式（9）恢復(fù)采樣頻率以更新S 5）x←IFFT(S)矩陣FFuHFuFH是一個(gè)由1和0構(gòu)成的對(duì)角矩陣，元素1是對(duì)應(yīng)K空間中采樣位置的對(duì)角線元素。矢量FFuHy表示零填充的傅里葉測(cè)量值。在環(huán)繞的假設(shè)下，F(xiàn)ijRijTRijFH=βIp，公式（8）中矩陣自左乘Fx成為對(duì)角和非?？赡娴?。等式的兩邊可以被常數(shù)β除，并且β和權(quán)重ν有一定關(guān)系（用λ39。=(λ/β)）。塊平均結(jié)果轉(zhuǎn)換到傅里葉域產(chǎn)生 S=FijRijTDαijβ則公式（8）的解為 Fxkx,ky=Skx,ky,Skx,ky!∈ Ω Skx,ky+νS0(kx,ky)1+ν,Skx,ky∈ Ω （9）其中Fxkx,ky表示在坐標(biāo)位置kx,ky更新的值，S0=FFuHy表示零填充K空間觀測(cè)值，Ω表示被采樣的K空間的子集。盡管存在噪聲，等式（9）對(duì)于未采樣的傅里葉頻率用了字典內(nèi)插值，對(duì)于采樣的傅里葉頻率進(jìn)行了回填。對(duì)于沒(méi)有噪聲的情況（ν→∞），這一操作僅僅恢復(fù)采樣頻率的觀測(cè)值。通過(guò)對(duì)Fx取傅里葉逆變換得到重建圖像