【正文】 提出的算法在以上進行了總結(jié)。對于沒有噪聲的情況（ν→∞），這一操作僅僅恢復(fù)采樣頻率的觀測值。塊平均結(jié)果轉(zhuǎn)換到傅里葉域產(chǎn)生 S=FijRijTDαijβ則公式（8）的解為 Fxkx,ky=Skx,ky,Skx,ky!∈ Ω Skx,ky+νS0(kx,ky)1+ν,Skx,ky∈ Ω （9）其中Fxkx,ky表示在坐標位置kx,ky更新的值，S0=FFuHy表示零填充K空間觀測值，Ω表示被采樣的K空間的子集。等式的兩邊可以被常數(shù)β除，并且β和權(quán)重ν有一定關(guān)系（用λ39。矢量FFuHy表示零填充的傅里葉測量值。Fx表示全部的K空間數(shù)據(jù)。通過圖像域到傅里葉域的轉(zhuǎn)換得到以下簡化形式。被學(xué)習(xí)字典近似表示的圖像塊在圖像的各自位置被平均?！碍h(huán)繞”的假設(shè)在設(shè)計字典[29]之前，在這里應(yīng)用以達到一個簡單的解決方案。特別地，當圖像塊的重疊步長γ=1時，β=n。 ijRijTRij∈CPP是一對角矩陣，其中對應(yīng)圖像像素點位置和其值的對角線元素和分布在那些像素位置的重疊圖像塊的數(shù)目是相等的。通常，它的運算復(fù)雜度為O(P3) ，這對于P=256256是不可實現(xiàn)的。最小二乘解滿足標準方程 ijRijTRij+νFuHFux=ijRijTDαij+νFuHy. （7）其中上標H表示厄米共軛轉(zhuǎn)置操作，當運算數(shù)是實數(shù)時用上標T取代H。相應(yīng)的更新問題變?yōu)? （P2）minxijRijxDαij22+νFuxy22。一旦字典被學(xué)習(xí)，在所有圖像塊執(zhí)行稀疏編碼以確定αij。設(shè)計字典的列（用dk表示，1≤k≤K）是單位約束規(guī)范以避免尺度模糊[59]。這對應(yīng)于子問題（P1）minD,ΓijRijxDαij22 . dk2=1 ?k ， αij0≤T0 ?i,j. （5）學(xué)習(xí)的代價函數(shù)考慮了應(yīng)用稀疏字典的所有重疊塊的擬合誤差。這兩步在以下的章節(jié)中將被詳細闡述。在交替計劃的一個階段，x被假設(shè)為固定的，共同學(xué)習(xí)圖像塊的字典和稀疏表示。公式的這些方面使得它在CSMRI場景中獲得很好的應(yīng)用。自適應(yīng)的基于塊稀疏的公式既可以有效學(xué)習(xí)局部圖像特征也可以去除混疊和噪聲。這種情形下的圖像塊開始于圖像邊界，并在圖像的對面環(huán)繞。在這種情況下，每一像素點（i,j）（除了靠近右下角圖像邊緣的像素點）都是一個2維圖像塊的左上角。重疊步長γ定義為鄰接圖像塊相應(yīng)像素位置間的像素點間距離。然而，在本文中，我們集中于問題（P0）。替代問題（不一定更簡單）公式也可以通過修正問題（P0）產(chǎn)生。這一過程的完成只應(yīng)用了降采樣的K空間觀測值y。這種情況描述了當σ→0，或者ν→0時問題（P0）的極限行為，對高信噪比的觀測過程是有用的。當精確值未知時對噪聲水平的估計或觀測到的噪聲水平可以被應(yīng)用。沒有適應(yīng)數(shù)據(jù)保真度權(quán)重的明確噪聲等先前壓縮感知磁共振成像方法[16]權(quán)衡了數(shù)據(jù)一致性和去噪兩個方面。使得它對噪聲的穩(wěn)定性更好。塊稀疏約束項和通用字典學(xué)習(xí)相同。一個可能的公式如下（P0）minx,D,ΓijRijxDαij22+νFuxy22 . αij0≤T0 ?i,j. （4）代價函數(shù)中的第一項捕捉圖像塊關(guān)于字典D稀疏近似的質(zhì)量。偽影的出現(xiàn)主要有兩個原因：K空間降采樣，采樣數(shù)據(jù)中的噪聲干擾。第三章 問題公式化針對基于字典學(xué)習(xí)的CSMRI的問題公式化需要兩個特征。訓(xùn)練圖像塊的數(shù)目和圖像的列數(shù)相同，這對訓(xùn)練是不夠的。同先前結(jié)果對比，顯示該學(xué)習(xí)字典產(chǎn)生了更好地重建效果。這些結(jié)果表明參考圖像的字典學(xué)習(xí)將不能有效稀疏當前掃描的新的特征。該結(jié)果顯示相比小波作為稀疏變換，字典學(xué)習(xí)在壓縮感知磁共振成像的效果改善。然而，所用的K空間降采樣因子很小（大概是2），并且在重建圖像的信噪比相比小波IHT改善很?。ǎ?。在超聲胸部成像的應(yīng)用中，利用比奇異值分解算法早的最大似然字典學(xué)習(xí)[53]從參考磁共振掃描中得到訓(xùn)練字典。醫(yī)學(xué)圖像的字典學(xué)習(xí)逐漸得到關(guān)注。順序更新和K均值算法相似，每次更新一個原子。尤其是KSVD算法[24]，已經(jīng)在許多應(yīng)用領(lǐng)域[26][28]得到了廣泛的應(yīng)用。為解決該字典學(xué)習(xí)問題，提出了許多算法[24]，[25]，[52]，[53]。公式3在滿足稀疏約束的條件下使得關(guān)于字典的所有圖像塊的總裝配誤差最小。T0是要求的稀疏度。字典學(xué)習(xí)的目的在于解決以下的優(yōu)化問題minD,ΓijRijxDαij22 ≤T0 ?i,j. (3)矩陣Rij∈Cnp表示從圖像x提取圖像塊xij的算子，表示為xij=Rijx 。否則，若Kn,字典D是過完備的。因此，我們說αij是xij關(guān)于字典D的稀疏表示。該字典D有K個原子（列），每個原子對應(yīng)nn像素的二維圖像塊的n維矢量。對于給定圖像x∈Cp, xij∈Cn是大小為nn像素的二維圖像塊的向量表示，用該圖像塊左上的像素在圖像中的位置坐標（i,j）標注。自適應(yīng)的字典導(dǎo)致更高的稀疏性因此可有更高的降采樣因子。然而。他們的算法涉及到雙邊濾波和觀測的K空間采樣投影的迭代替換。Chartrand【18】利用更加接近l0擬范數(shù)的lp擬范數(shù)（0p1）,對于一幅子宮圖像，p1表明重建信噪比有小的提升（）。然而，這些工作數(shù)據(jù)質(zhì)量的改進沒有量化，效果不顯著，并且所用欠采樣因子很?。ù蠹s為2）。Qu[49]應(yīng)用曲線波變換和有效軟閾值迭代算法。Ma[22]展示了應(yīng)用快速小波和傅里葉變換快速重建的基于迭代算子分裂框架的算法。Lustig[16]應(yīng)用回溯線搜索的非線性共軛梯度下降算法解決問題（2）。這種方法的有效性在下一章中介紹。小波，曲線波和全變分懲罰的結(jié)合表明相對于僅僅小波和全變分懲罰結(jié)合[48]。其它提出的CSMRI的稀疏變換包括雙樹復(fù)小波變換和過完備曲線波。然而，一般變換例如小波會在重建結(jié)果中導(dǎo)致諸如吉布斯震蕩的偽影。本文我們重點關(guān)注靜態(tài)磁共振成像的CS并進行詳細研究。在實踐中，這些算法相對其他算法通常能取得比預(yù)測好的效果和經(jīng)驗效果[36][40]。當觀測值有噪聲時，CS問題應(yīng)用基追蹤去噪[35]解決。相應(yīng)的優(yōu)化問題變?yōu)椋? minxψx0 . Fux=y. （1）由于對于給定的向量y,利用碼本Fu找到一個稀疏編碼x ，l0 范數(shù)問題也即稀疏編碼問題是一個NP難問題。例如，ψ可能為小波變換。二者關(guān)系（在不存在噪聲的情況下）為Fux=y，