【正文】 確解。壓縮感知已經(jīng)被應(yīng)用于各種磁共振形態(tài)，例如靜態(tài)磁共振成像[16]，[19]，[20]，動態(tài)磁共振成像[17]，[21]，[41]，[42]，灌注成像和彌散張量成像（DTI）[45]。CSMRI重建問題的典型公式利用l1松弛而非l0擬范數(shù)，并且對K空間觀測值的噪聲用如下的拉格朗日形式[16]說明 minxFuxy22+λψx1 （2）這個公式包含一個全局稀疏觀測矩陣和解析的快速稀疏變換ψ。因此，對應(yīng)于近似梯度稀疏變換的有限差分的全變分懲罰通常添加到公式中以增加空間同質(zhì)性。小波可以恢復(fù)點(diǎn)狀特征，曲線波可以恢復(fù)曲線狀圖像特征。一種更為完美的小波稀疏變換應(yīng)用高斯尺度混合模型[20]研究小波系數(shù)之間的相關(guān)性。解決CSMRI重建問題（2）有許多算法。該文的重點(diǎn)主要是利用笛卡爾采樣方案，顯示了腦部成像和血管造影術(shù)結(jié)果。然而，結(jié)果顯示當(dāng)欠采樣因子大于3倍時重建圖像中會出現(xiàn)許多偽影。Kim[20]結(jié)合高斯混合尺度模型和迭代硬閾值重建。為相對于應(yīng)用l1松弛或貪婪算法顯著提升CSMRI的質(zhì)量，一些作者轉(zhuǎn)向非凸松弛或近似值。Trzasko[50],[51]提出了一種基于l0擬范數(shù)同態(tài)近似的替代重建。同一作者聲稱相比l1范數(shù)方法同態(tài)l0最小化可以提供更高的降采樣因子。非自適應(yīng)CSMRI技術(shù)被降采樣程度所限制。適應(yīng)數(shù)據(jù)的字典的關(guān)鍵是字典學(xué)習(xí)。我們用D∈Cnk表示基于圖像塊的字典。假定每一圖像塊xij可以被字典原子的線性組合Dαij近似表示，其中αij∈Ck是稀疏的。當(dāng)K=n時，字典原子個數(shù)和每個圖像塊的維數(shù)相等，字典D被稱為一個基。98的過完備字典，其中每個原子（幅值）顯示為77的元素塊。約束項中的l0擬范數(shù)用來對圖像塊的稀疏性進(jìn)行編碼。,Γ用來表示所有圖像塊的稀疏表示的集合αijij。由于對固定的字典D和圖像x，字典學(xué)習(xí)問題(3)歸結(jié)于稀疏編碼問題，故解決該問題是一NP難問題，然而，與后者問題不同（或者說，壓縮感知問題(1)），即使應(yīng)用l0擬范數(shù)的凸松弛，學(xué)習(xí)的優(yōu)化問題在未知變數(shù)的情況下是非凸的，這使得問題的解決更加困難。這些算法的典型思想是在找到一個稀疏字典和稀疏表示Γ之間交替進(jìn)行。KSVD依序進(jìn)行字典更新，其中字典D的每一列原子和相應(yīng)的稀疏表示同時更新。因此稱之為KSVD。該字典的典型學(xué)習(xí)過程應(yīng)用參考圖像。Bilgin[56]通過一個全采樣參考圖像切片學(xué)習(xí)得到一個奇異值分解塊字典并且將其應(yīng)用在IHT以恢復(fù)降采樣測試圖像切片。Chen[57]從一個全采樣參考圖像學(xué)習(xí)基于塊的KSVD字典，并在重建中應(yīng)用l1范數(shù)進(jìn)行稀疏。然而，改善效果很?。ǎ?，并且誤差圖有相當(dāng)重要的結(jié)構(gòu)信息表明重建圖像特征的丟失。Otazo和Sodickson[58]針對MRI應(yīng)用KSVD算法學(xué)習(xí)一維的字典，直接從一維小波的CSMRI得到的初始重建的列中得到一維字典。然而，一個一維字典具有很嚴(yán)格的局限性，不能利用圖像的局部結(jié)構(gòu)。因此，不出所料。首先在自適應(yīng)字典下必須可以執(zhí)行重建圖像塊的稀疏，并且產(chǎn)生和有效K空間數(shù)據(jù)一致的重建；其次，必須可以避免在零填充傅里葉重建中的典型偽影。降采樣引起圖像域的混疊，觀測K空間采樣的獨(dú)立同分布的零均值復(fù)高斯噪聲，在圖像域轉(zhuǎn)化成有色高斯噪聲。第二項執(zhí)行K空間數(shù)據(jù)保真度。公式中的權(quán)重ν取決于觀測噪聲的標(biāo)準(zhǔn)偏差σ，表示為ν=（λ/σ）,其中λ是一個正常數(shù)。這種形式的權(quán)重應(yīng)用觀測過程的先驗知識，并在圖像去噪中[30]表現(xiàn)了良好的效果。本文提出的公式考慮了已知噪聲水平的觀測情形。 更加簡單的不加噪觀測問題公式可以通過從代價函數(shù)中去掉數(shù)據(jù)保真度項，反而將數(shù)據(jù)保真度項作為約束條件Fux=y來得到。我們的公式因而能夠設(shè)計一個自適應(yīng)字典，并且應(yīng)用該字典去重建底層圖像。然而，正如通用的字典學(xué)習(xí)問題（3），同時重建和字典學(xué)習(xí)的問題（P0）是NP難問題，并且即便當(dāng)l0擬范數(shù)降低限制條件變?yōu)閘10范數(shù)時問題依然是非凸的。例如，稀疏約束可以作為應(yīng)用拉格朗日乘子的懲罰項結(jié)合在代價函數(shù)中。在公式中我們應(yīng)用定期定位，重疊的2維圖像塊。當(dāng)γ=1時圖像塊有最大重疊。假設(shè)圖像塊在圖像邊緣處做”環(huán)繞式處理”，那么靠近圖像右下邊緣的像素點(diǎn)也可以構(gòu)成某些圖像塊的左上角像素。當(dāng)圖像假設(shè)”環(huán)繞處理”并且重疊步長為γ=1時，圖像的每個像素點(diǎn)分別屬于n個不同的圖像塊，其中n表示一個圖像塊的像素個數(shù)。重疊塊對于去除偽影創(chuàng)建一個額外的平均效應(yīng)。第四章 算法和算法性能A．算法問題（P0）應(yīng)用交替最小過程解決。在另一階段，字典和稀疏表示是固定的，x被更新以滿足數(shù)據(jù)一致性。1）字典學(xué)習(xí)階段：在這一階段，在x固定下解決問題（P0）。另外，類似于字典學(xué)習(xí)在去噪[30]中的應(yīng)用，我們只使用所有塊的一部分，取百分比δ的圖像塊來訓(xùn)練字典。應(yīng)用KSVD算法[24]學(xué)習(xí)字典D。2）更新重建：在這一階段，在固定字典和稀疏表示下解決問題（P0）。 （6）問題（P2）是一個有解析解的簡單的最小二乘問題。因為公式要求轉(zhuǎn)置PP矩陣自左乘X，直接解決問題（7）是冗長復(fù)雜的。幸運(yùn)的是，通過使用不同量的結(jié)構(gòu)對解決方案進(jìn)行簡化。在假設(shè)圖像塊環(huán)繞在圖像邊界的情況下，對角元素全部相等，ijRijTRij=βIp（其中Ip∈CPP為單位陣）。當(dāng)圖像塊被限制在視野區(qū)（沒有環(huán)繞），貢獻(xiàn)給靠近圖像邊界的像素點(diǎn)的圖像塊的數(shù)目將會比圖像其它區(qū)域的像素點(diǎn)的數(shù)目要少，用ijRijTRij≈βIp來表示。 有額外尺度因子（1/β）的ijRijTDαij表示塊平均結(jié)果。通過對覆蓋每一像素點(diǎn)的不同的圖像塊取平均得到每一像素點(diǎn)的灰度值。令F∈CPP表示標(biāo)準(zhǔn)化的全傅里葉編碼矩陣?yán)鏔HF=Ip。代入公式（7）產(chǎn)生 FijRijTRijFH+νFuHFuFHFx=FijRijTDαij+νFFuHy. （8）算法1輸入：yK空間觀測值輸出：x重建磁共振圖像初始化：x=x0=FuHy迭代： 1）對圖像x的每一圖像塊學(xué)習(xí)字典和稀疏表示 2）更新x：通過對所有包含某一像素點(diǎn)的圖像塊取平均得到該像素的值 3）S←FFT(x) 4）通過公式（9）恢復(fù)采樣頻率以更新S 5）x←IFFT(S)矩陣FFuHFuFH是一個由1和0構(gòu)成的對角矩陣，元素1是對應(yīng)K空間中采樣位置的對角線元素。在環(huán)繞的假設(shè)下，F(xiàn)ijRijTRijFH=βIp，公式（8）中矩陣自左乘Fx成為對角和非常可逆的。=(λ/β)）。盡管存在噪聲，等式（9）對于未采樣的傅里葉頻率用了字典內(nèi)插值，對于采樣的傅里葉