【正文】 頻率進(jìn)行了回填。通過對(duì)Fx取傅里葉逆變換得到重建圖像x。算法初始化為一個(gè)零填充的傅里葉重建FuHy。因?yàn)椴蓸狱c(diǎn)落在一個(gè)笛卡爾網(wǎng)格，滿足偽徑向采樣模式的不用網(wǎng)格的簡(jiǎn)單傅里葉變換應(yīng)用在第五節(jié)的數(shù)值實(shí)驗(yàn)。在圖像塊限制在視野區(qū)的情況下執(zhí)行該算法。但是后者方法更慢。迭代解決問題（P1）和（P2）導(dǎo)致代價(jià)函數(shù)（P0）的單調(diào)遞減。因此，更好地稀疏重建[從代價(jià)函數(shù)P0而言]在每一次迭代中被學(xué)習(xí)。另外一個(gè)待解決問題涉及完美重建（零噪聲）條件。算法迭代停止條件可以是目標(biāo)函數(shù)的值。第五章的仿真實(shí)驗(yàn)顯示算法收斂很快，一個(gè)固定數(shù)目的迭代次數(shù)可以滿足實(shí)際需要。在第五節(jié)我們研究算法對(duì)這些參數(shù)的敏感度。問題（P1）的解決涉及從所有N個(gè)圖像塊的部分學(xué)習(xí)字典D。運(yùn)算復(fù)雜度被稀疏編碼主導(dǎo)，其復(fù)雜度為O(δNKnT0J)數(shù)量級(jí)，其中J是學(xué)習(xí)過程中迭代次數(shù)。通過選擇δJ=1使得字典學(xué)習(xí)和最后的稀疏編碼階段達(dá)到平衡。（P2）的其它運(yùn)算也即塊平均和采樣頻率平均通常更快，更低的運(yùn)算復(fù)雜度。這表明問題（P1）主導(dǎo)了運(yùn)算代價(jià)，主要的速度瓶頸是由于（P1）的各種稀疏編碼階段。通過增加重疊步長(zhǎng)γ（N=P/γ2，塊環(huán)繞）來減少重疊塊數(shù)量，可以顯著降低運(yùn)算復(fù)雜度。第五章 實(shí)驗(yàn)A．框架本節(jié)對(duì)不同降采樣因子，有無噪聲的情況表明改進(jìn)算法的性能。實(shí)驗(yàn)中所用采樣模式包括2維隨機(jī)采樣[19]，隨機(jī)相位編碼的笛卡爾采樣（一維隨機(jī)）和偽徑向采樣[57]，采樣模板在一個(gè)512512的笛卡爾網(wǎng)格上，在最靠近徑向線的點(diǎn)上按角度均勻間隔。仿真實(shí)驗(yàn)的參考磁共振圖像（灰度）被規(guī)范化為最大幅度為1。所有的實(shí)現(xiàn)都用Matlab （R2009a）編碼實(shí)現(xiàn)。在我們的對(duì)比試驗(yàn)中LDP的Matlab實(shí)現(xiàn)可以從作者的網(wǎng)站[61]得到，我們應(yīng)用在實(shí)驗(yàn)中表現(xiàn)最佳的固定參數(shù)。最大塊重疊γ=1。KSVD學(xué)習(xí)方案要求字典的初始值[24]。涉及像小波等解析字典的替代初始化也有很好的效果。在仿真實(shí)驗(yàn)中實(shí)值字典([57])應(yīng)用于實(shí)值圖像，復(fù)數(shù)值字典應(yīng)用于實(shí)際磁共振數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)（），在該實(shí)驗(yàn)中重建圖像經(jīng)常是復(fù)數(shù)的。對(duì)仿真實(shí)驗(yàn)該算法運(yùn)行1015次迭代。我們期望將代碼轉(zhuǎn)換為C或C++，代碼優(yōu)化，圖形處理器運(yùn)行時(shí)間可以有實(shí)質(zhì)性的下降。用分貝表示的峰值信噪比通過計(jì)算參考圖像的峰值灰度值和重建圖像和參考圖像的均方根誤差（RMS）的比值得到。高頻誤差規(guī)范（HFEN）被用來度量重建圖像的邊緣和細(xì)節(jié)特征。濾波器核大小為1515的像素點(diǎn)。不用說，這些度量量不必要代表只有通過人類視覺觀測(cè)研究的感知視覺質(zhì)量。B．不加噪情況不加噪情況（ν→∞的問題P0）在我們算法的重建更新階段可以通過執(zhí)行直接的頻率填充/恢復(fù)得到解決。我們先研究不加噪情況以看到我們公式和算法理想的效果。零填充的傅里葉重建因?yàn)榛殳B有顯著地不可取的偽影。零填充重建的一些偽影在CSMRILDP重建結(jié)果中依然存在。作為對(duì)比，應(yīng)用字典學(xué)習(xí)的這一結(jié)果(DLMRI)消除了偽影，接近于完美重建。重建誤差幅度，也就是xReconxRef，對(duì)LDP方法和DLMRI，最大參考圖像灰度的5%作為閾值?？梢钥吹綁嚎s感知磁共振成像結(jié)果[16],[61]在許多區(qū)域有超過5%的誤差幅值（多于圖像的50%），而DLMRI結(jié)果幾乎沒有這么高的幅值誤差（%）。算法10次迭代之后的DLMRI的峰值信噪比比相同迭代次數(shù)的LDP方法[16],[61]有將近18dB的提高。對(duì)于LDP，DLMRI的HFEN也更低，這表明DLMRI在捕捉邊緣和細(xì)節(jié)特征的優(yōu)異性能。重建圖像x，在算法迭代5或6次之后表現(xiàn)很小的視覺變化。，4倍降采樣可變密度笛卡爾采樣應(yīng)用在Circle of Wills的非對(duì)比MRA。特別地，DLMRI重建一半的底部血管比LDP重建的更加不模糊。LDP的誤差圖像有更顯著的結(jié)構(gòu)誤差，表征了特征的丟失。LDP不能移除零填充結(jié)果的大的混疊偽影。峰值信噪比和高頻誤差規(guī)范誤差度量表明DLMRI在這種情況下的良好前景。通過采樣K空間（笛卡爾）。然而，和低分辨率重建相比，由于我們公式的局部稀疏約束一些震蕩減少了。（（C））。自適應(yīng)字典與非自適應(yīng)字典相比產(chǎn)生更加顯著的混疊偽影的減少（也就是說，2維隨機(jī)采樣的非相干混疊偽影，偽徑向采樣的偽影）。不同的采樣方案下有好的重建效果。2維FSE隨機(jī)降采樣相位編碼用來檢測(cè)重建算法的效果。然而，當(dāng)相位編碼被更顯著的降采樣，這兩種方法的重建顯示顯著地視覺誤差。C．加噪情況下的表現(xiàn)有噪的情況涉及在算法重建更新階段中K空間的加權(quán)平均（9）。全采樣加噪圖像和只有噪聲的圖像顯示，和參考圖像相比，加噪效果很顯著。從另一方面我們的算法提供了很好的重建。DLMRI結(jié)果的峰值信噪比（和不加噪?yún)⒖紙D像有關(guān)），也比全采樣加噪圖像和零填充重建結(jié)果的峰值信噪比高，表明了良好的去噪和移除混疊效果。這些結(jié)果表明我們的公式/算法在合理噪聲數(shù)量下重建效果良好的前景。，一個(gè)（256256）的模板應(yīng)用一個(gè)2維的笛卡爾GRE序列掃描。K空間通過降采樣因子為4的隨機(jī)選擇相位編碼線進(jìn)行降采樣。LDP重建保持了在零填充重建的一些偽影。相比LDP，噪聲也更少，這一結(jié)果表明我們框架優(yōu)異的去噪能力。標(biāo)準(zhǔn)差σ=。LDP重建結(jié)果的一些誤差區(qū)域已經(jīng)用箭頭表示。DLMRI重建誤差的幅值圖像表明更小的像素誤差和更少的結(jié)構(gòu)信息。標(biāo)準(zhǔn)差σ=。變量PSNR和HFEN作為降采樣因子的函數(shù)。另一方面。DLMRI重建方法重建即便在10倍降采樣下依然避免了混疊和噪聲。在4或6倍降采樣因子的DLMRI重建幾乎沒有誤差。2維隨機(jī)采樣。重疊步長(zhǎng)（γ），訓(xùn)練百分比（δ）在它們名義值上有很好的效果，不需要分別研究。然而，在更高的稀疏水平例如7時(shí)，效果下降。在高的稀疏水平例如7時(shí)，算法開始允許重建的混疊偽影從而降低效果性能。當(dāng)塊大小從44增加到77時(shí)，PSNR 和HFEN都有提升。塊尺寸大小的增加也增加了計(jì)算量，因此這限制了我們不能將圖像塊取得過大。隨著過完備的增加，PSNR和HFEN的值變化很小，這表明方形字典可以滿足實(shí)際需要。我們用兩種標(biāo)準(zhǔn)差分別為σ==。λ=140在兩種不同水平噪聲下重建效果很好，達(dá)到65dB的范圍，這是因?yàn)槲覀兪褂昧诉m應(yīng)噪聲的權(quán)重（λ/σ）。,這表明了DLMRI對(duì)噪聲合理的魯棒性。各種實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明采樣模式，噪聲水平和降采樣因子等不同，對(duì)于設(shè)定的參數(shù)，圖像都可以達(dá)到一個(gè)良好的重建效果。直接應(yīng)用采樣K空間數(shù)據(jù)得到基于塊的字典，因此適用于特定的圖像實(shí)例。在另一階段執(zhí)行數(shù)據(jù)保真度。用不同采樣軌跡和K空間降采樣因子展示了重建效果。該算法對(duì)參數(shù)魯棒性也好。DLMRI算法的最優(yōu)采樣模板的設(shè)計(jì)是今后研究的一個(gè)課題。這一方向的工作一直在進(jìn)行，并且在不遠(yuǎn)的未來將被展現(xiàn)出