【文章內(nèi)容簡介】 而使抽取的樣本具有客觀性、公平性和廣泛的代表性 . 變式遷移 3 某工廠中共有職工 3 0 0 0 人，其中，中、青、老職工的比例為 5 ：3 ： 2 ，從所有職工中抽取一個樣本容量為 400 的樣本，應采取哪種抽樣方法較合理？且中、青、老年職工應分別抽取多少人？ 解析 因為總體由三類差異明顯的個體構成，所以應采用分層抽樣的方法進行抽?。? 中、青、老年職工所占比例為 5 ： 3 ： 2 ，所以應抽取中年職工為 4 0 0 510＝ 2 0 0 ( 人 ) ； 應抽取青年職工為 4 0 0 310＝ 1 2 0 ( 人 ) ； 應抽取老年職工為 4 0 0 210＝ 8 0 ( 人 ). 題型四 三種抽樣方法的應用 例 4. 舉例說明三種常用的抽樣方法中，無論使用哪一種抽 樣方法，總體中的每個個體被抽到的概率都相同． 解析 先舉一個例子后，再借助簡單隨機抽樣法、系統(tǒng)抽樣法、分層抽樣法的意義，通過具體計算進行說明． 舉例：在 120 個零件中，一級品 24 個，二級品 36 個，三級品60 個，從中抽取容量為 20 的一個樣本． 下面分別用三種抽樣方 法來計算總體中每 個個體被抽取的概率． ( 1 ) 簡單隨機抽樣法 ( 采用抽簽法 ) ：顯然每個個體被抽取的概率為20120＝16； ( 2 ) 系統(tǒng)抽樣法：將 120 個零件分為 20 組，每組 6 個零件，每組取 1 個，顯然每個個體被抽取的 概率為16； ( 3 ) 分層抽樣法：一、二、三級品之比為 2 : 3 : 5 ， ∴ 20 210＝ 4 , 2 0 310＝ 6 , 2 0 510＝ 10 ，故分別從一、二、三級品中抽取 4 個、 6 個、 10個，每個個體被抽取到的概率分別為42631060，即都是16. 所以，無論采用哪一種抽樣方法，總體的每一個個體被抽到的概率都是16. 點評 ( 1 ) 解答本題必須 理解簡單隨機抽樣法、系統(tǒng)抽樣法、分層抽樣法；這三種抽樣方法是相互聯(lián)系的但相互之間又有所差異，不可混淆． ( 2 ) 可以看到，簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種方法的共同點是：在抽樣過程中，每一個個體被抽取的概率是相等的，體現(xiàn)了三種抽樣方法的公平性 . 變式遷移 4 要完成下列兩項調(diào)查： ① 從某社區(qū) 1 2 5 戶高收入家庭、 280 戶中等收入家庭、 95 戶低收入家庭中選出 1 0 0 戶調(diào)查社會購買力的某項指標； ② 從某中學高一年級的 12 名體育特長生中選出 3 人調(diào)查學習負擔的情況，應采用的抽樣方法是 ( ) A ． ① 用簡單隨機抽樣法 ② 用 系統(tǒng)抽樣法 B ． ① 用分層抽樣法 ② 用簡單隨機抽樣法 C ． ① 用系統(tǒng)抽樣法 ② 用分層抽樣法 D ． ①② 都用分層抽樣法 答案 B 解析 ① 中各部分差異明顯，用分層抽樣法； ② 中總體的個體數(shù)較少，用簡單隨機抽樣法．故選 B. 題型五 有關頻率、頻數(shù)問題 例 5. 張老師為了分析一次數(shù)學考試情況，全班抽了 50 人，將分數(shù)分為 5 組．第一組到第三組的頻數(shù)分別是 1 0 , 2 3 , 1 1 ，第四組的頻率是 0 . 0 8 ，那么落在第五組 8 9 . 5 ～ 9 9 . 5 的頻數(shù)是多少？頻率是多少？全校 300 人中分數(shù)在 8 9 . 5 ～ 9 9 . 5 中的約有多少人？ 分析 頻率是每一小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值．第四組的頻率是 0 . 0 8 ，則第四組的頻數(shù)是 4. 從而可求出第五組的頻數(shù)、頻率，并由樣本估計出全校 3 0 0 人中分數(shù)在 8 9 . 5 ～ 9 9 . 5 之間的人數(shù)． 解析 第四組的頻數(shù)為 0 . 0 8 50 ＝ 4 ；則第五組的頻數(shù)為 50 －10 － 23 － 11 － 4 ＝ 2 ，頻率為250＝ 0 . 0 4 .全校 300 人中分數(shù)在 8 9 . 5 ～ 9 9 . 5之間的約有 0 . 0 4 300 ＝ 1 2 ( 人 ) ． 點評 ( 1 ) 頻率＝頻數(shù)樣本容量，已知其中任意兩個量就可以求出第三個量； ( 2 ) 各小組的頻數(shù)和等于樣本容量 ，頻率和等于 1 ； ( 3 ) 由樣本的頻率可估計總體的頻率，從而估計出總體的頻數(shù) . 變式遷移 5 從一群學生中抽取一個一定容量的樣本對他們的學習成績進行分析，已知不超過 70 分的人數(shù)為 8 人，其累計頻率為 0 . 4 ，則此樣本的容量是 ( ) A ． 2 0 B ． 40 C ． 7 0 D ． 80 答案 A 解析 頻數(shù)為 8 ，頻率為 0 . 4 ，所以樣本容量＝頻數(shù)頻率＝80 . 4＝ 20. 題型六 頻率分布直方圖的畫法 例 6. 有一個容量為 1 0 0 的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下： [ 1 2 . 5 , 1 5 . 5 ) ， 6 ； [ 1 5 . 5 , 1 8 . 5 ) ， 16 ； [ 1 8 . 5 , 2 1 . 5 ) ， 18 ； [ 2 1 . 5 , 2 4 . 5 ) ，22 ； [ 2 4 . 5 , 2 7 . 5 ) ， 20 ； [ 2 7 . 5 , 3 0 . 5 ) ， 10 ； [ 3 0 . 5 , 3 3 . 5 ] ， 8. ( 1 ) 列出樣本的頻率分布表； ( 2 ) 畫出頻率分布直方圖． 解析 ( 1 ) 樣本的頻率分布表如下： 分組 頻數(shù) 頻率 [ 1 2 . 5 , 1 5 . 5 ) 6 0 . 0 6 [ 1 5 . 5 , 1 8 . 5 ) 16 0 . 1 6 [ 1 8 . 5 , 2 1 . 5 ) 18 0 . 1 8 [ 2 1 . 5 , 2 4 . 5 ) 22 0 . 2 2 [ 2 4 . 5 , 2 7 . 5 ) 20 0 . 2 0 [ 2 7 . 5 , 3 0 . 5 ) 10 0 . 1 0 [ 3 0 . 5 , 3 3 . 5 ] 8 0 . 0 8 合計 100 1 . 0 0 ( 2 ) 頻率分布直方圖如圖所示： 點評 ( 1 ) 組數(shù)的決定方法是：設數(shù)據(jù)總數(shù)目為 n ，一般地，當n ≤ 50 ，則分為 5 ～ 8 組；當 50 ≤ n ≤ 1 0 0 ，則分為 8 ～ 12 組較為合適；( 2 ) 分點的決定方法是：若數(shù)據(jù)為整數(shù)，則分點數(shù)據(jù)減去 0 . 5 ；若數(shù)據(jù)是小數(shù)點后一位的數(shù)，則分點減去 0 . 0 5 ，以此類推； ( 3 ) 畫頻率分布直方圖小長方形的高的方法是：假設頻數(shù)為 1 的小長方形的高為 h ，則 頻數(shù)為 k 的小長方形的高為 kh . 變式遷移 6 某班英語考試得分情況如下： ( 1 ) 試列出頻率分布表； ( 2 ) 畫出頻率分布直方圖． 解析 ( 1 ) 頻率分布表如下： ( 2 ) 頻率分布直方圖如圖： 題型七 頻率分布直方圖的應用 例 7. 公交車的數(shù)量太多容易造成資源的浪費，太少又難以滿足乘客的需求．為此，公交公司在某站臺隨機調(diào)查了 80 名乘客，他們的候車時間如下所示 ( 單位：分 ) ： 1 7 1 4 2 0 1 2 1 0 2 4 1 8 1 7 1 2 2 1 3 1 9 2 8 5 3 4 7 2 5 1 8 2 8 1 1 5 3 1 1 2 1 1 1 0 1 6 1 2 9 1 0 1 3 1 9 1 0 1 2 1 2 1 6 2 2 1 7 2 3 1 6 1 5 1 6 1 1 9 3 1 3 2 1 8 2 2 1 9 9 2 3 2 8 1 5 2 1 2 8 1 2 1 1 1 4 1 5 3 1 1 6 2 1 8 2 5 5 1 2 1 5 2 0 1 6 1 2 2 8 2 0 1 2 2 8 1 5 8 3 2 1 8 3 3 ( 1 ) 將數(shù)據(jù)進行適當?shù)姆纸M，并畫出相應的頻率分布直方圖和頻率分布折線圖； ( 2 ) 候車時間 15 分鐘以上的比例是多少？你能為公交公司 提出什么建議？ 解析 ( 1 ) 該組數(shù)據(jù)中最大值為 34 ，最小值為 1 ，兩者之差為 33 ，故取組距為 5 ，分為 7 組 . 時間分組 頻數(shù) 頻率 頻率