對原函數(shù)存在條件的探討(編輯修改稿)
2025-07-15 12:59 本頁面
【文章內容簡介】 由的任意性可以得到在上處處可導從而變上限積分 也就為的原函數(shù) 在點的左右極限存在且相等但不等于（或在點處無定義）則稱為第類間斷點 函數(shù)在點的左右極限中至少有一個不存在則稱為第類間斷點 (導函數(shù)極限定理)設函數(shù)在點的某領域連續(xù)在內可導如果極限存在則函數(shù)在點處可導且 (達布定理)設是某個區(qū)間內的可微函數(shù)是內任意兩點而是和之間的任意值則必有一點使得(原函數(shù)存在的必要條件1)在某區(qū)間上處處有定義的導函數(shù)如果在內有間斷點那么這個間斷點必為振蕩間斷點證明 肯定不是第一類間斷點（否則必在區(qū)間連連續(xù)）也不是無窮間斷點不妨設故不存在故矛盾 定義在某個區(qū)間內的函數(shù)若有可去間斷點或者在間斷點處 的左右極限中有一個為無窮則在區(qū)間上不存在原函數(shù) （原函數(shù)存在的必要條件2）若函數(shù)在某個區(qū)間內存在原函數(shù)則函數(shù)在區(qū)間內具有介值性 設且有定義在上的可微函數(shù)滿足 則函數(shù) 在上可微且有（看成復合函數(shù)） 設且在開區(qū)間上有原函數(shù).（1） 若在上連續(xù)=（2） 若在點,上有則 原函數(shù)存在與否的實例 計算定積分 解 方法一 利用定積分概念當為各小區(qū)間的右端點時有 此題關鍵利用 方法二 注 比較上面兩個方法可以知道利用函數(shù)可積的概念計算不定積分往往比較困難然而利用原函數(shù)和NL公式計算不定積分相對容易些 狄里克萊函數(shù)（dirichlet 函數(shù)）在內每一點都是的第二類間斷點問是否dirichlet函數(shù)存在原函數(shù)解 在任意閉區(qū)間內不具有介值性且在內不連續(xù)注 dirichlet不連續(xù)也不存在原函數(shù) 若函數(shù) 求的原函數(shù)解 當時由于在時連續(xù) 當時也存在原函數(shù)即 因此原函數(shù)為注 1)此函數(shù)在上不連續(xù)但存在原函數(shù)由上面例子知不能說明原函數(shù)存在的必要條件2)可以斷言如果不存在原函數(shù)那么這個函數(shù)一定不連續(xù) 設函數(shù) 問是否存在一個以為其導數(shù)的一個原函數(shù) 解 注 此例函數(shù)不可積但是其原函數(shù)存在3原函數(shù)存在和函數(shù)的可積性的聯(lián)系由newton
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