對(duì)原函數(shù)存在條件的探討(編輯修改稿)
2024-07-15 12:59 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 由的任意性可以得到在上處處可導(dǎo)從而變上限積分 也就為的原函數(shù) 在點(diǎn)的左右極限存在且相等但不等于（或在點(diǎn)處無定義）則稱為第類間斷點(diǎn) 函數(shù)在點(diǎn)的左右極限中至少有一個(gè)不存在則稱為第類間斷點(diǎn) (導(dǎo)函數(shù)極限定理)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域連續(xù)在內(nèi)可導(dǎo)如果極限存在則函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)且 (達(dá)布定理)設(shè)是某個(gè)區(qū)間內(nèi)的可微函數(shù)是內(nèi)任意兩點(diǎn)而是和之間的任意值則必有一點(diǎn)使得(原函數(shù)存在的必要條件1)在某區(qū)間上處處有定義的導(dǎo)函數(shù)如果在內(nèi)有間斷點(diǎn)那么這個(gè)間斷點(diǎn)必為振蕩間斷點(diǎn)證明 肯定不是第一類間斷點(diǎn)（否則必在區(qū)間連連續(xù)）也不是無窮間斷點(diǎn)不妨設(shè)故不存在故矛盾 定義在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的函數(shù)若有可去間斷點(diǎn)或者在間斷點(diǎn)處 的左右極限中有一個(gè)為無窮則在區(qū)間上不存在原函數(shù) （原函數(shù)存在的必要條件2）若函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)存在原函數(shù)則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有介值性 設(shè)且有定義在上的可微函數(shù)滿足 則函數(shù) 在上可微且有（看成復(fù)合函數(shù)） 設(shè)且在開區(qū)間上有原函數(shù).（1） 若在上連續(xù)=（2） 若在點(diǎn),上有則 原函數(shù)存在與否的實(shí)例 計(jì)算定積分 解 方法一 利用定積分概念當(dāng)為各小區(qū)間的右端點(diǎn)時(shí)有 此題關(guān)鍵利用 方法二 注 比較上面兩個(gè)方法可以知道利用函數(shù)可積的概念計(jì)算不定積分往往比較困難然而利用原函數(shù)和NL公式計(jì)算不定積分相對(duì)容易些 狄里克萊函數(shù)（dirichlet 函數(shù)）在內(nèi)每一點(diǎn)都是的第二類間斷點(diǎn)問是否dirichlet函數(shù)存在原函數(shù)解 在任意閉區(qū)間內(nèi)不具有介值性且在內(nèi)不連續(xù)注 dirichlet不連續(xù)也不存在原函數(shù) 若函數(shù) 求的原函數(shù)解 當(dāng)時(shí)由于在時(shí)連續(xù) 當(dāng)時(shí)也存在原函數(shù)即 因此原函數(shù)為注 1)此函數(shù)在上不連續(xù)但存在原函數(shù)由上面例子知不能說明原函數(shù)存在的必要條件2)可以斷言如果不存在原函數(shù)那么這個(gè)函數(shù)一定不連續(xù) 設(shè)函數(shù) 問是否存在一個(gè)以為其導(dǎo)數(shù)的一個(gè)原函數(shù) 解 注 此例函數(shù)不可積但是其原函數(shù)存在3原函數(shù)存在和函數(shù)的可積性的聯(lián)系由newton
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