【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 nd函數(shù)根據(jù)各方案兩兩比較的勝負(fù)次數(shù)的差來(lái)定 f(x) = M{y: y ∈A且 x fy} M{y: y ∈A且y fx} f( .) 值愈大愈優(yōu). ,b ,c的Copeland函數(shù)值均為0, 三者平局. Copeland函數(shù)滿足性質(zhì)1~6.4. Nanson函數(shù)用Borda函數(shù)求解, 每次淘汰Borda函數(shù)值最小的方案: 即: A = A , A = A\{ x∈A。 f (x) ≤f (y),且對(duì)某些y f (x) ＜f (y) }直到 A = A 為止.例12. 6中f (c) 的Borda函數(shù)值最小, ∴A = A \{ c } = { a, b }A = A\{ b } = { a } ∴ a f b f cNanson函數(shù)不滿足性質(zhì)(4).5. Dodgson函數(shù)(, 英，1832— 1898)使某個(gè)候選人成為Condorcet候選人需要N中成員改變偏好的總選票數(shù). N個(gè)成員,m個(gè)候選人 記 n = N (a f a) n為偶數(shù)時(shí) =n/2 n為奇數(shù)時(shí) =(n+1)/2 n = 0 f (a) = j=1,…,m , a,b,c的Dodgson函數(shù)值分別為5, 3, 12, ∴ b f a f c Dodgson函數(shù)不滿足 (4). 使社會(huì)排序與各成員對(duì)方案的偏好序有最大的一致性. 首先定義：①社會(huì)選擇排序矩陣 L = {l} 236。 1 a f a l=237。 0 a～ a 238。 1 a f aA 上的每一線性序都對(duì)應(yīng)一個(gè)L記 = N (a f a) = N (a f a) = N (a～ a)②比例矩陣 M = {m} m = (+/2)/n③投票矩陣 E = MM e = 定義 EL = e l 即, 群中認(rèn)為 a f a 的成員的比例與群的排序l的內(nèi)積, 它反映群的排序與成員排序的一致性. Kemeny函數(shù) f= max EL 。7. CookSeiford函數(shù) 設(shè)成員i 把方案j 排在 r位, 方案j的群體序?yàn)镵 則成員I與群體序的總偏差 : | rK |各成員排序與群體序的總偏差 d= | rK |數(shù)學(xué)規(guī)劃 min d ps. t. p = 1 p = 1 的解中 p = 1 表示方案j的群體序?yàn)镵8. 本征向量函數(shù)Dodgson矩陣 D = [ d]其中: d= n/n, 顯然d = 1/d , 但是d≠djl * dlk ,可由 (D mI) W = 0求得 W .9. Bernardo函數(shù) , 尤其是實(shí)際工程問(wèn)題, 應(yīng)該根據(jù)每個(gè)準(zhǔn)則下各方案的優(yōu)劣次序集結(jié)成群體序.一般的多準(zhǔn)則社會(huì)選擇問(wèn)題可以表述為: 對(duì)有限方案集A={ a, … ,a}, 由委員會(huì) N={ 1, 2,… ,n } 根據(jù)準(zhǔn)則集(即評(píng)價(jià)指標(biāo)體系) C={c1, c1, …,cr} 來(lái)確定各方案的優(yōu)先次序. 在求解問(wèn)題時(shí), 首先要根據(jù)r種不同的準(zhǔn)則中的每一種準(zhǔn)則,分別描述各方案aj的優(yōu)劣. 為了集結(jié)各成員的意見(jiàn),可以用協(xié)商矩陣∏表示委員會(huì)對(duì)各方案優(yōu)劣的總體感覺(jué). ∏是mm方陣, 其元素表示將方案aj排在第k位的成員人數(shù). 為了反映各準(zhǔn)則的重要性, 可以對(duì)各準(zhǔn)則加權(quán). 權(quán)向量W={w1, w2, …, wr}. 設(shè)根據(jù)準(zhǔn)則cl, 有位成員將aj排在第k位, 則=. , Bernardo定義一個(gè)01矩陣P, 其每行、每列只有一個(gè)元素為1,余者均為0. 使 極大, 即 max . =1 k=1,2, …,m =1 j=1,2, …,m ∈ {0,1}P中的非0元素=1表示方案aj應(yīng)該排在k位.167。 社會(huì)福利函數(shù)(Social Welfare Function)一、社會(huì)福利(Social Welfare) 1. 福利經(jīng)濟(jì)學(xué)是經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一個(gè)學(xué)派，主要研究社會(huì)的福利與福利的判斷問(wèn)題； 2. 福利經(jīng)濟(jì)學(xué)家(例Bergson, Samulson等)認(rèn)為： 社會(huì)福利是一種可以測(cè)度的量，人們可據(jù)以判斷一種社會(huì)狀況是優(yōu)于，無(wú)差異于還是劣于另一種社會(huì)狀況。即可以用 Social welfare function來(lái)度量社會(huì)福利。定義： SWF是社會(huì)狀態(tài)x的實(shí)值函數(shù)，是社會(huì)福利的測(cè)度，記作W(x)=G(w (x),…,w (x)) Note: ①社會(huì)福利是社會(huì)中各成員所享受福利的綜合，而非總和。 ②個(gè)人的福利wi(x)與該成員對(duì)社會(huì)的貢獻(xiàn)、地位、個(gè)人的興趣、愛(ài)好等多種因素 有關(guān). 3. 若用u(x)表示社會(huì)狀態(tài)x帶給成員i的福利，則W(x)=G(u (x),…,u(x)),在相互效用獨(dú)立時(shí)G可表示為加性，即W(x)= 但是，由于存在不確定性, 設(shè)導(dǎo)致x的自然狀態(tài)θ的概率為π(θ)故應(yīng)有：max{ E[W(x)] = }, 所以社會(huì)福利的判斷極其復(fù)雜. 即使對(duì)確定性的x a)各成員間的效用并不獨(dú)立：不患寡而患不均。 b)兩個(gè)人的福利相加并無(wú)意義(一個(gè)人享受雙分福利與二人各享受一份絕不等價(jià)), 所以加性社會(huì)福利函數(shù)并無(wú)實(shí)際意義. 而且使用SWF存在如下問(wèn)題:①各成員的福利(效用)函數(shù)如何確定?②人與人間的福利函數(shù)如何校定基準(zhǔn)值與比例尺，即如何進(jìn)行效用的人際比較?③由誰(shuí)評(píng)價(jià)? 怎樣評(píng)價(jià)? 即個(gè)人的誠(chéng)實(shí)性與評(píng)價(jià)的公平性如何檢驗(yàn)? 社會(huì)福利函數(shù)的實(shí)質(zhì)：是一種規(guī)則，是潛在的群決策過(guò)程, 是從個(gè)人對(duì)社會(huì)狀況的排序得出社會(huì)總體排序的方法.二、偏好斷面(profile of preference ordering)(偏好分布)1可能的偏好序(1) 二個(gè)方案 x f y , x p y , x ~y(2) 三個(gè)方案 R: x f y f z , R: x f z f y , … , R: x ~ y ~ z 記各方案間可能的偏好序集合 r = { R, R,…, R},則可能的偏好序種類(lèi)S為:方案數(shù) m 2 3 4 5 7 8 只考慮強(qiáng)序時(shí) m! 2 6 24 120 720 5040 全部 S 3 13 75 541 4386 460332偏好斷面： 記成員i的排序?yàn)镺i , Oi∈r偏好斷面P = ( O1,O2, …,On) P ∈r社會(huì)福利函數(shù)f : P →r3. 可能的社會(huì)福利函數(shù) 2個(gè)成員, 2個(gè)方案成員的偏好序S=3時(shí),f的定義域即偏好分布有3= 9種, f的值域即群的排序?yàn)?, 因此, f的可能形式有3=19683種. 3個(gè)成員, 2個(gè)方案時(shí), f的可能形式有3=10種. 2個(gè)成員, 3 個(gè)方案時(shí), f的可能形式有13=10種. 3個(gè)成員, 3個(gè)方案, 只考慮強(qiáng)序時(shí), f的可能形式有6=10種.在這許多可能形式中,哪些比較合理呢? K. J. Arrow研究了社會(huì)福利函數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足的條件.三、Arrow的條件(即社會(huì)福利函數(shù)應(yīng)當(dāng)具有的性質(zhì)) 條件1. 完全域(廣泛性) Universality a). m ≥3 b). N ≥2 c). 社會(huì)福利函數(shù)定義在所有可能的個(gè)偏好分布上。 條件2. 社會(huì)與個(gè)人價(jià)值的正的聯(lián)系(Positive association of social and individual value) 若對(duì)特定P,①原來(lái)有x fG y，則在P作如下變動(dòng)后仍有有x fG yi. 對(duì)除x以外的方案成對(duì)比較時(shí)偏好不變 ii. x與其他方案比較時(shí)或者偏好不變，或者有利于x。 (有利于x是指 x ~i y →x fi y或者y fi x→ x ~ i y或 x fi y) ②原來(lái)有x ~ G y, 則在P作如上變動(dòng)后仍有x ~ G y或x fG y 條件3 無(wú)關(guān)方案獨(dú)立性(Independence of Irrelevant Alternatives)i. A1204。A , A1∪ = A 對(duì) 中方案的偏好變化不影響A1中方案的排序,換言之 ii. x , y的優(yōu)劣不因z 的加入而改變. 條件4. 非強(qiáng)加性(公民主權(quán)Citizen’ sovereignty) 總要有某些成員認(rèn)為x fi y時(shí)，才能有x fG y. 條件5. 非獨(dú)裁性( NonDictatorship ) 群中任一成員 i都沒(méi)有這樣的權(quán)力: x fi y→x fG y 此外，個(gè)人和群的優(yōu)先序應(yīng)滿足連通性(可比性)，傳遞性.條件2加條件4即Pareto條件.四、Arrow 的可能性定理 定理1(m=2 的可能性定理) 若方案總數(shù)為2,過(guò)半數(shù)決策方法是一種滿足條件1～5的社會(huì)選擇函數(shù)，它能對(duì)每一偏好分布產(chǎn)生一個(gè)社會(huì)排序。 定理2 (一般可能性定理)即Arrow不可能定理 若m≥3，社會(huì)中的成員可以對(duì)方案以任何方式自由排序，則滿足條件2和3且所產(chǎn)生的社會(huì)排序滿足連通性和傳遞性的社會(huì)福利函數(shù)就必定是，要么是獨(dú)裁的，要么是強(qiáng)加的。 Arrow不可能定理的本質(zhì)是Condorcet 效應(yīng)(投票悖論)的公理化描述. 另一種表述法*: 滿足()的防投票策略性選舉都可能產(chǎn)生一個(gè)獨(dú)裁者,即沒(méi)有一種選舉方法是非獨(dú)裁的且是防投票策略的.五、單峰偏Black好與Coombs條件要使Arrow的不可能定理成為某種可能性定理, 必須放松Arrow的條件 2 、3. 首先放松條件1(完全域).1. 單峰偏好背景: 在議會(huì)中,通?？筛鶕?jù)各黨團(tuán)的政治傾向從左到右(或從激進(jìn)到保守)(以及該黨派的議案或候選人)的排序就和這些黨派的政治傾向與議員本人的政治觀點(diǎn)的距離有關(guān), 即滿足單峰偏好約束. 2. Coombs條件背景: 給aj賦值π(aj), 成員i的理想點(diǎn)為Ii, 方案 aj 的優(yōu)劣與 | π(aj) Ii | 的大小成反 比例. Coombs條件與單峰偏好的區(qū)別：Coombs條件要求對(duì)稱于Ii .3. 多樣性程度(不考慮～, 只考慮強(qiáng)序)Fb(m) = 2 Fc (m ) = +1 m 3 4 5 7 10 Fb(m)/m! 2/3 8/24 16/120 .013 10 Fc (m )/m! 2/3 7/24 11/120 .004 104. 使過(guò)程多數(shù)規(guī)則具有傳遞性的偏好斷的規(guī)模 華中理工大學(xué)學(xué)報(bào) 22(8)六、SCF與SWF的比較同異： 均為集結(jié)方法采用數(shù)學(xué)的投表決法(排序)以方案成對(duì)比較作基礎(chǔ) SWC的方案可以無(wú)限，SCF中方案有限性質(zhì)與條件：2 →單調(diào)性 2+4→Pareto最優(yōu)(一致性) (3)，5→匿性性 1b中性 自反連道←明確性167。一、導(dǎo)致Arrow不可能定理的原因①否認(rèn)效用的基數(shù)性；②否認(rèn)效用的人際比較的可能性以咖啡或茶待客問(wèn)題為例： 甲認(rèn)為 咖啡f(wàn)茶 乙認(rèn)為 茶f咖啡 由甲乙構(gòu)成的群不能作結(jié)論但若拋開(kāi)無(wú)關(guān)方案獨(dú)立性條件： 甲認(rèn)為 咖啡f(wàn)茶f牛奶f汽水f可樂(lè)f啤灑 乙認(rèn)為 茶f牛奶f汽水f啤灑f可樂(lè)f咖啡 則似以茶待客為宜. 但是,若甲乙表達(dá)的對(duì)飲料的偏好強(qiáng)度如下則仍以咖啡待客為宜. 即:若各成員的偏好可比強(qiáng)度可測(cè),則集結(jié)成員偏好序就成了集地各成員的基數(shù)效用. 這一效用函數(shù)滿足兩個(gè)公理和五個(gè)條件，阿羅的不可能定理就成為可能