【文章內(nèi)容簡介】 D∥ BC,∴∠ DAC=∠ BCA,又 ∵∠ BAC=∠ DAC,∴∠ BAC=∠ BCA,∴ AB=BC. (2)連接 BD交 AC于 O,∵ AB=BC,且四邊形 ABCD為平行四邊形 , ∴ 四邊形 ABCD為菱形 ,∴ AC⊥ BD,∴ BO2+OA2=AB2, 即 BO2+? =22,∴ BO=1,∴ BD=2BO=2, ∴ S?ABCD=? BDAC=? 22? =2? . 21 232???????12 123 314.(2022遼寧沈陽 ,24,12分 )如圖 ,在 ?ABCD中 ,AB=6,BC=4,∠ B=60176。,點 E是邊 AB上一點 ,點 F是 邊 CD上一點 ,將 ?ABCD沿 EF折疊 ,得到四邊形 EFGH,點 A的對應點為 H,點 D的對應點為點 G. (1)當點 H與點 C重合時 . ① 填空 :點 E到 CD的距離是 。 ② 求證 :△ BCE≌ △ GCF。 ③ 求△ CEF的面積 。 (2)當點 H落在射線 BC上 ,且 CH=1時 ,直線 EH與直線 CD交于點 M,請 直接 寫出△ MEF的面積 . ? 解析 (1)① 2? . ② 證明 :∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ AD=BC,∠ D=∠ B,∠ A=∠ BCD, 由折疊可知 ,AD=CG,∠ D=∠ G,∠ A=∠ ECG, ∴ BC=GC,∠ B=∠ G,∠ BCD=∠ ECG, ∴∠ BCE=∠ GCF,∴ △ BCE≌ △ GCF. ③ 過點 E作 EP⊥ BC于 P, ? ∵∠ B=60176。,∠ EPB=90176。, ∴∠ BEP=30176。,∴ BE=2BP. 3可設 BP=m,則 BE=2m, ∴ EP=BEsin 60176。=2m? =? m. 由折疊可知 ,AE=CE. ∵ AB=6,∴ AE=CE=62m, ∵ BC=4,∴ PC=4m. 在 Rt△ ECP中 , 由勾股定理得 (4m)2+(? m)2=(62m)2, ∴ m=? ,∴ EC=62m=62? =? . ∵ △ BCE≌ △ GCF,∴ CF=EC=? , ∴ S△ CEF=? ? 2? =? . (2)? 或 4? . 323354 54 727212 723 7321 2 4 335 3C組 教師專用題組 考點一 多邊形 1.(2022呼和浩特 ,3,3分 )已知一個多邊形的內(nèi)角和為 1 080176。,則這個多邊形是 ? ( ) 答案 B 設該多邊形的邊數(shù)為 n,則由題意可得 180(n2)=1 080,解得 n= B. 2.(2022北京 ,5,2分 )若正多邊形的一個外角是 60176。,則該正多邊形的內(nèi)角和為 ? ( ) 176。 176。 176。 176。 答案 C 由多邊形外角和為 360176。,可知這個正多邊形的邊數(shù)為 360176。247。60176。=6,由多邊形內(nèi)角和 公式可知內(nèi)角和為 180176。(62)=720176。.故選 C. 3.(2022遼寧沈陽 ,10,2分 )正六邊形 ABCDEF內(nèi)接于☉ O,正六邊形的周長是 12,則☉ O的半徑是 ? ( ) ? A.? ? ? 32 3答案 B 由正六邊形的周長是 12,可得 BC=2,連接 OB、 OC,則 ∠ BOC=? =60176。,所以△ BOC 為等邊三角形 ,所以 OB=BC=2,即☉ O的半徑為 2,故選 B. ? 3606 ?4.(2022江蘇南京 ,5,2分 )已知正六邊形的邊長為 2,則它的內(nèi)切圓的半徑為 ? ( ) B.? ? 33答案 B 正六邊形一條邊的兩個端點與其內(nèi)切圓圓心的連線及這條邊構成一個等邊三角 形 ,正六邊形的內(nèi)切圓半徑即為這個等邊三角形的高 ,所以內(nèi)切圓半徑 =2sin 60176。=? ,故選 B. 35.(2022四川南充 ,10,3分 )如圖 ,正五邊形 ABCDE的邊長為 2,連接對角線 AD,BE,CE,線段 AD分別 與 BE和 CE相交于點 M, : ① ∠ AME=108176。② AN2=AMAD。③ MN=3? 。④ S△ EBC=2? ? ( ) ? 5 5答案 C 如圖 ,∵ 五邊形 ABCDE是正五邊形 ,∴ AB=EA=DE,∠ EAB=∠ DEA=108176。,∴ △ EAB≌ △ DEA,∴∠ AEB=∠ EDA,∵∠ AME=∠ MED+∠ EDA,∴∠ AME=∠ MED+∠ AEB=∠ DEA=108176。, 故①正確 。 ? 易得 ∠ 1=∠ 2=∠ 4=∠ 5=36176。,∴∠ 3=36176。,∴∠ 6=∠ AEN=72176。,∴ AE=AN,∵∠ 1=∠ 1,∠ AED=∠ AME=108176。,∴ △ AEM∽ △ ADE,∴ ? =? ,∴ AE2=AMAD,∴ AN2=AMAD,故②正確 。 設 AM=x,則 AD=AM+MD=x+2,由②得 22=x(x+2),解得 x1=? 1,x2=? 1(不合題意 ,舍去 ),∴ AD= ? 1+2=? +1,∴ MN=ANAM=3? ,故③正確 。 作 EH⊥ BC于點 H,則 BH=? BC=1,EB=AD=? +1,∴ EH=? =? ,∴ S△ EBC=? BCEH =? 2? =? ,故④錯誤 .故選 C. AEAD AMAE5 55 5 5125 22BE BH? 5 2 5?12125 2 5? 5 2 5?評析 本題考查了正五邊形的性質(zhì)、相似多邊形的判定及性質(zhì)、勾股定理等知識 . 6.(2022上海 ,18,4分 )我們規(guī)定 :一個正 n邊形 (n為整數(shù) ,n≥ 4)的最短對角線與最長對角線長度的 比值叫做這個正 n邊形的“特征值” ,記為 λn,那么 λ6= . 答案 ? 32解析 如圖 ,在正六邊形 ABCDEF中 ,AD為最長對角線 ,AE為最短對角線 ,可求得 ∠ EAD=30176。,∠ AED=90176。,∴ ? =cos 30176。=? ,∴ λ6=? . ? AEAD 32 32思路分析 確定最長及最短對角線 ,構造直角三角形 ,利用銳角三角函數(shù)求 ? ,即 λ6. AEAD一題多解 如圖 ,設正六邊形 ABCDEF的邊長為 1,可求得 AE=? ,AD=2,∴ ? =? ,即 λ6=? . ? 3 AEAD 32 327.(2022天津 ,17,3分 )如圖 ,在正六邊形 ABCDEF中 ,連接對角線 AC,BD,CE,DF,EA,FB,可以得到 一個六角星 .記這些對角線的交點分別為 H,I,J,K,L,M,則圖中等邊三角形共有 個 . ? 答案 8 解析 題圖中的等邊三角形可分為兩大類 :第一類 :分別以 B,A,F,E,D,C為頂點的小等邊三角 形 ,有△ BHM,△ AML,△ FLK,△ EKJ,△ DJI,△ CIH,共 6個 。 第二類 :分別以 B,F,D和 A,C,E為頂點的大等邊三角形 ,有△ BFD和△ ACE,共 2個 . 故題圖中等邊三角形共有 6+2=8(個 ). 8.(2022浙江杭州 ,16,4分 )如圖 ,在四邊形紙片 ABCD中 ,AB=BC,AD=CD,∠ A=∠ C=90176。,∠ B=150176。. 將紙片先沿直線 BD對折 ,再將對折后的圖形沿從一個頂點出發(fā)的直線裁剪 ,剪開后的圖形打 開鋪平 .若鋪平后的圖形中有一個是面積為 2的平行四邊形 ,則 CD= . ? 答案 2? +4或 2+? 3 3解析 ∵ 四邊形紙片 ABCD中 ,∠ A=∠ C=90176。,∠ B=150176。,∴∠ D=30176。.根據(jù)題意對折、裁剪、鋪 平后有兩種情況得到平行四邊形 :如圖 1,剪痕 BM、 BN,過點 N作 NH⊥ BM于點 H,易證四邊形 BMDN為菱形 ,且 ∠ MBN=∠ D=30176。.設 BN=DN=x,則 NH=? ,得 x? x=2?x=2(負值舍 去 ),∴ BN=DN=2,NH= BHNC是矩形 ,∴ BC=NH=1.∴ 在 Rt△ BCN中 ,CN=? .∴ CD= 2+? . ? 圖 1 如圖 2,剪痕 AE、 CE,過點 B作 BH⊥ CE于點 H,易證四邊形 BAEC是菱形 ,且 ∠ BCH=30176。.設 BC=CE 12 123312 123 3 CDHBBCEH 223?2 (2 3 )(2 3 )(2 3 )???33 3圖 2 =x,則 BH=? ,得 x? x=2?x=2(負值舍去 ),∴ BC=CE=2,BH=1.∴ 在 Rt△ BCH中 ,CH= ? ,∴ EH=2? .易證△ BCD∽ △ EHB,∴ ? =? ,即 ? =? .∴ CD=? =4+2 ? . 綜上所述 ,CD=2+? 或 4+2? . 1CD評析 本題主要考查剪紙問題 ,多邊形內(nèi)角和定理 ,軸對稱的性質(zhì) ,菱形、矩形的判定和性質(zhì) , 含 30度角的直角三角形的性質(zhì) ,相似三角形的判定和性質(zhì) ,分類思想和方程思想的應用 . 9.(2022江西 ,16,6分 )如圖 ,已知正七邊形 ABCDEFG,請 ? ,分別按下列要求畫圖 . (1)在圖 1中 ,畫出一個以 AB為邊的平行四邊形 。 (2)在圖 2中 ,畫出一個以 AF為邊的菱形 . ? ????????僅 用 無 刻 度 的 直 尺解析 (1)如圖 .(畫法有多種 ,正確畫出一種即可 ,以下幾種畫法僅供參考 ) ? ? (3分 ) (2)如圖 .(畫法有兩種 ,正確畫出其中一種即可 ) ? (6分 ) 10.(2022浙江溫州 ,20,8分 )各頂點都在方格紙格點 (橫豎格子線的交錯點 )上的多邊形稱為格點 多邊形 .如何計算它的面積 ?奧地利數(shù)學家皮克 (,1859— 1942)證明了格點多邊形的面積 公式 :S=a+? b1,其中 a表示多邊形內(nèi)部的格點數(shù) ,b表示多邊形邊界上的格點數(shù) ,S表示多邊形的 面積 .如圖 1,a=4,b=6,S=4+? 61=6. (1)請在圖 2中畫一個格點正方形 ,使它的內(nèi)部只含有 4個格點 ,并寫出它的面積 。 (2)請在圖 3中畫一個格點三角形 ,使它的面積為 ? ,且每條邊上除頂點外 無其他格點 . ? 圖 1 121272? 圖 2 圖 3 解析 (1)畫法不唯一 ,如圖①或圖② . (2)畫法不唯一 ,如圖③ ,圖④等 . ? 考點二 平行四邊形 1.(2022烏魯木齊 ,7,4分 )如圖 ,在 ?ABCD中 ,E是 AB的中點 ,EC交 BD于點 F,則△ BEF與△ DCB的 面積比為 ? ( ) ? A.? B.? C.? D.? 13 14 15 16答案 D ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 ,E是 AB的中點 ,∴ ? =? =? , ∴ ? =? ,? =? ,∴ ? =? . EFCFBEDC12BEFDCFSS 14BEFBCFSS 12BEFDCBSS 162.(2022安徽 ,9,4分 )?ABCD中 ,E,F是對角線 BD上不同的兩點 .下列條件中 ,? 得出四邊形 AECF一定為平行四邊形的是 ? ( )