【文章內(nèi)容簡介】 2FCEF=12? x+33=12? x. ∵ BE=ABAE=x3? , ∴ EC=? , ∴ ? =12? x,解得 x=? . ∴ EC=12? ? =5. 2 22 2222( 3 2)xx??22( 3 2)xx?? 27222 7227.(2022陜西 ,19,7分 )如圖 ,在正方形 ABCD中 ,E、 F分別為邊 AD和 CD上的點(diǎn) ,且 AE=CF,連接 AF、 CE交于點(diǎn) :AG=CG. ? 證明 ∵ 四邊形 ABCD是正方形 , ∴∠ ADF=∠ CDE=90176。,AD=CD. ∵ AE=CF, ∴ DE=DF.? (2分 ) ∴ △ ADF≌ △ CDE. ∴∠ DAF=∠ DCE.? (4分 ) 又 ∵∠ AGE=∠ CGF,AE=CF, ∴ △ AGE≌ △ CGF, ∴ AG=CG.? (7分 ) 8.(2022山東臨沂 ,25,11分 )如圖 1,在正方形 ABCD的外側(cè) ,作兩個等邊三角形 ADE和 DCF,連接 AF,BE. (1)請判斷 :AF與 BE的數(shù)量關(guān)系是 ,位置關(guān)系是 。 (2)如圖 2,若將條件“兩個等邊三角形 ADE和 DCF”變?yōu)椤皟蓚€等腰三角形 ADE和 DCF,且 EA =ED=FD=FC” ,第 (1)問中的結(jié)論是否仍然成立 ?請作出判斷并給予證明 。 (3)若三角形 ADE和 DCF為一般三角形 ,且 AE=DF,ED=FC,第 (1)問中的結(jié)論都能成立嗎 ?請直 接寫出你的判斷 . ? 解析 (1)AF=BE,AF⊥ BE.? (2分 ) (2)結(jié)論成立 .? (3分 ) 證明 :∵ 四邊形 ABCD是正方形 , ∴ BA=AD=DC,∠ BAD=∠ ADC=90176。. 在△ EAD和△ FDC中 ,? ∴ △ EAD≌ △ FDC. ∴∠ EAD=∠ FDC. ∴∠ EAD+∠ DAB=∠ FDC+∠ CDA, 即 ∠ BAE=∠ ADF.? (4分 ) 在△ BAE和△ ADF中 ,? ∴ △ BAE≌ △ ADF. ∴ BE=AF,∠ ABE=∠ DAF.? (6分 ) ,E A F DE D F CA D D C?????? ??,B A A DB A E A D FA E D F???? ? ??? ??∵∠ DAF+∠ BAF=90176。, ∴∠ ABE+∠ BAF=90176。, ∴ AF⊥ BE.? (9分 ) (3)結(jié)論都能成立 .? (11分 ) 考點(diǎn)一 矩形 C組 教師專用題組 1.(2022甘肅蘭州 ,8,4分 )如圖 ,矩形 ABCD的對角線 AC與 BD相交于點(diǎn) O,∠ ADB=30176。,AB=4,則 OC =? ( ) ? 答案 B 因?yàn)樗倪呅?ABCD為矩形 ,所以 AC=BD,OC=? ∠ ADB=30176。,故在直角三角形 ABD中 ,BD=2AB=8,所以 AC=8,所以 OC=? AC=4,故選 B. 12122.(2022新疆烏魯木齊 ,9,4分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,點(diǎn) F在 AD上 ,點(diǎn) E在 BC上 ,把這個矩形沿 EF折 疊后 ,使點(diǎn) D恰好落在 BC邊上的 G點(diǎn)處 ,若矩形面積為 4? 且 ∠ AFG=60176。,GE=2BG,則折痕 EF的 長為 ? ( ) B.? ? 33 3答案 C ∵ 四邊形 ABCD是矩形 , ∴ AD∥ BC,∠ H=∠ D=∠ FGH=∠ C=90176。. 由折疊知 ∠ GFE=∠ DFE,FD=FG. ∵∠ GFD=180176?！?AFG=120176。, ∴∠ GFE=∠ DFE=60176。. ∵ AD∥ BC, ∴∠ FGE=∠ AFG=60176。,∠ FEG=∠ DFE=60176。, ∴ △ GEF是等邊三角形 ,∴ FG=GE=FE. ? 設(shè) BG=x,則 GF=GE=EF=FD=2x. 作 GM⊥ AD,交 AD于點(diǎn) M,則四邊形 ABGM是矩形 ,GM=GFsin 60176。=? x,MF=GFcos 60176。=x, 3∴ AD=AM+MF+FD=BG+MF+FD=4x, ∵ ADGM=4? ,∴ 4x? x=4? , 解得 x=1或 x=1(不符合題意 ,舍去 ), ∴ EF=2x=2,故選 C. 3 3 33.(2022四川南充 ,8,3分 )如圖 ,對折矩形紙片 ABCD,使 AB與 DC重合得到折痕 EF,將紙片展平 。再 一次折疊 ,使點(diǎn) D落到 EF上點(diǎn) G處 ,并使折痕經(jīng)過點(diǎn) A,展平紙片后 ∠ DAG的大小為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 C 如圖 ,根據(jù)第二次折疊可知 ,∠ 1=∠ 2,∠ MGA=90176。,由第一次折疊可知 ,MN=AN,即 NG 是 Rt△ AMG的中線 ,故 AN=GN,所以 ∠ 2=∠ EF∥ AB,所以 ∠ 3=∠ 4,故 ∠ 1=∠ 2=∠ 4,又因?yàn)? ∠ 1+∠ 2+∠ 4=90176。,所以 ∠ 1=∠ 2=∠ 4=30176。,所以 ∠ 1+∠ 2=∠ DAG=60176。,故選 C. ? 4.(2022江西南昌 ,5,3分 )如圖 ,小賢為了體驗(yàn)四邊形的不穩(wěn)定性 ,將四根木條用釘子釘成一個矩 形框架 ABCD,B與 D兩點(diǎn)之間用一根 ? 拉直固定 ,然后向右扭動框架 ,觀察所得四邊形的變 化 .下列判斷 ? 的是 ? ( ) ? ABCD由矩形變?yōu)槠叫兴倪呅? ABCD的面積不變 ABCD的周長不變 ???橡 皮 筋??錯 誤答案 C 向右扭動框架 ABCD的過程中 ,AD與 BC的距離逐漸減小 ,即 ?ABCD的高發(fā)生變化 , 所以面積改變 ,選項(xiàng) C錯誤 ,故選 C. 5.(2022安徽 ,9,4分 )如圖 ,矩形 ABCD中 ,AB=8,BC=4,點(diǎn) E在 AB上 ,點(diǎn) F在 CD上 ,點(diǎn) G、 H在對角線 AC上 ,若四邊形 EGFH是菱形 ,則 AE的長是 ? ( ) ? ? ? 5 5答案 C 連接 EF交 GH于點(diǎn) O,由四邊形 EGFH為菱形 ,可得 EF⊥ GH,OH=OG,因?yàn)樗倪呅? ABCD為矩形 ,所以 ∠ B=90176。.因?yàn)?AB=8,BC=4,所以 AC=? =4? .易證△ AGE≌ △ CHF, 所以 AG=CH,所以 AO=? AC=2? 。因?yàn)?EO⊥ GH,∠ B=90176。,所以 ∠ AOE=∠ B,又因?yàn)?∠ OAE=∠ BAC,所以△ AOE∽ △ ABC,所以 ? =? =? ,所以 AE=5,故選 C. 22AB BC? 5125AEAC AOAB 546.(2022江蘇南京 ,6,2分 )如圖 ,在矩形 AOBC中 ,點(diǎn) A的坐標(biāo)是 (2,1),點(diǎn) C的縱坐標(biāo)是 4,則 B、 C兩 點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 ? ( ) ? A.? 、 ? B.? 、 ? C.? 、 ? D.? 、 ? 3 ,32??????2 ,43???????3 ,32??????1 ,42???????77,42??????2 ,43???????77,42??????1 ,42???????答案 B 過點(diǎn) A作 AA1⊥ x軸于點(diǎn) A1,過點(diǎn) B作 BB1⊥ x軸于點(diǎn) B1,過點(diǎn) C作 B1B的垂線 ,交 B1B的延長 線于點(diǎn) D,如圖所示 ,易知△ AOA1≌ △ BCD,故點(diǎn) B的縱坐標(biāo)是 41=3,從而由△ AOA1∽ △ OBB1得 ? =? ,解得 OB1=? ,所以 B? ,故點(diǎn) C的橫坐標(biāo)為 ? 2=? ,即 C? ,故選 B. ? 11OABB 11AAOB 32 3 ,32?????? 32 12 1 ,42???????7.(2022北京 ,13,2分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,E是邊 AB的中點(diǎn) ,連接 DE交對角線 AC于點(diǎn) F,若 AB=4, AD=3,則 CF的長為 . ? 答案 ? 103解析 ∵ 四邊形 ABCD是矩形 ,∴ AB∥ CD,CD=AB=4,BC=AD=3,∴∠ DCA=∠ CAB,又 ∠ DFC= ∠ AFE,∴ △ CDF∽ △ AEF,∴ ? =? .∵ E是邊 AB的中點(diǎn) ,AB=4,∴ AE=2.∵ BC=3,AB=4,∠ ABC =90176。,∴ AC=5. ∴ ? =? ,∴ CF=? . CFAF CDAE5 CFCF? 42 1038.(2022安徽 ,14,5分 )如圖 ,在矩形紙片 ABCD中 ,AB=6,BC= E在 CD上 ,將△ BCE沿 BE折疊 ,點(diǎn) C恰落在邊 AD上的點(diǎn) F處 。點(diǎn) G在 AF上 ,將△ ABG沿 BG折疊 ,點(diǎn) A恰落在線段 BF上的點(diǎn) H處 .有下 列結(jié)論 : ① ∠ EBG=45176。②△ DEF∽ △ ABG。 ③ S△ ABG=? S△ FGH。④ AG+DF=FG. 其中正確的是 .(把所有正確結(jié)論的序號都選上 ) ? 32答案 ①③④ 解析 ∵∠ ABG=∠ HBG,∠ FBE=∠ CBE,∠ ABC=90176。, ∴∠ EBG=45176。,①正確 。 ∵ AB=6,BF=BC=10,∴ AF=8, ∴ FD=ADAF=108=2, 設(shè) DE=x,則 EF=CE=6x,在 Rt△ DEF中 , ∵ DF2+DE2=EF2,∴ 22+x2=(6x)2,∴ x=? , 即 DE=? ,∴ EF=? , ∵ BH=AB=6,∴ HF=BFBH=106=4, 又易知 Rt△ DEF∽ Rt△ HFG,∴ ? =? , 即 ? =? ,∴ GF=5,∴ AG=3, 若△ DEF∽ △ ABG,則 ? =? ,但 ? ≠ ? ,故②不正確 。 8383 103EDHF EFGF834103GFDEAB DFAG 836 23∵ BH=6,HF=4,∴ S△ BGH=? S△ FGH, ∵ △ ABG≌ △ HBG, ∴ S△ ABG=? S△ FGH,③正確 。 ∵ △ FHG∽ △ EDF,∴ ? =? , ∴ ? =? ,∴ FG=5, ∴ AG+DF=5,∴ AG+DF=FG,④正確 . 3232FGEF HFDE103FG4839.(2022江蘇蘇州 ,18,3分 )如圖 ,四邊形 ABCD為矩形 ,過點(diǎn) D作對角線 BD的垂線 ,交 BC的延長線 于點(diǎn) E,取 BE的中點(diǎn) F,連接 DF,DF= AB=x,AD=y,則 x2+(y4)2的值為 . ? 答案 16 解析 由題意知 DF是 Rt△ BDE的中線 ,所以 DF=BF=FE= ABCD中 ,AB=DC=x,BC=AD=y, 在 Rt△ CDF中 ,CF=BFBC=4y,CD=x,DF=4,由勾股定理得 CF2+CD2=DF2,即 x2+(y4)2=42=16. 評析 本題考查勾股定理的應(yīng)用 ,直角三角形的性質(zhì) ,綜合性較強(qiáng) ,對學(xué)生能力要求較高 ,屬難 題 . 10.(2022重慶 ,18,4分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,AB=4? ,AD=10,連接 BD,∠ DBC的角平分線 BE交 DC于點(diǎn) E,現(xiàn)把△ BCE繞點(diǎn) B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) ,記旋轉(zhuǎn)后的△ BCE為△ BC39。E39。.當(dāng)射線 BE39。和射線 BC39。都 與線段 AD相交時(shí) ,設(shè)交點(diǎn)分別為 F,△ BFD為等腰三角形 ,則線段 DG長為 . ? 6答案 ? 9817解析 過點(diǎn) F作 FH∥ BD交 BG的延長線于點(diǎn) H,在矩形 ABCD中 ,BD=? =14, ∵ AD∥ BC,∴∠ ADB=∠ DBC, ∵ BE平分 ∠ DBC, ∴∠ FBG=∠ EBC=? ∠ DBC, ∴∠ FBG=? ∠ FDB,由題意可得 BF=FD, ∴∠ FBD=∠ FDB,∴∠ FBG=? ∠ FBD,∴∠ FBG=∠ GBD, ∵ FH∥ BD,∴∠ H=∠ GBD,∴∠ H=∠ FBG, ∴ FB=FH=FD,設(shè) FD=x(x0),在 Rt△ ABF中 ,由勾股定理得 BF2=AF2+AB2,即 x2=(10x)2+(4? )2,解 得 x=? , ∴ FB=FH=FD=? . ∵ FH∥ BD,∴ △ FHG∽ △ DBG, ∴ ? =? ,設(shè) GD=y(y0), 22(4 6) 10?1212126495495FHBD FGGD∴ ? =? ,解得 y=? ,∴ GD=? . ? 49514495 yy?9817 9817評析 本題重點(diǎn)考查勾股定理 ,矩形的性質(zhì) ,相似三角形的性質(zhì)與判定 ,方程思想等 ,綜合性較 強(qiáng) ,屬于難題 . 11.(2022福建 ,24,12分 )如圖 ,矩形 ABCD中 ,AB=6,AD=8,P,E分別是線段 AC,BC上的點(diǎn) ,且四邊形 PEFD為矩形 . (1)若△ PCD是等腰三角形 ,求 AP的長 。 (2)若 AP=? ,求 CF的長 . ? 2解析 (1)在矩形 ABCD中 ,AB=6,AD=8,∠ ADC=9017