【正文】 (2 3 )(2 3 )(2 3 )???33 3圖 2 =x,則 BH=? ,得 x (2)在圖 2中 ,畫出一個(gè)以 AF為邊的菱形 . ? ????????僅 用 無 刻 度 的 直 尺解析 (1)如圖 .(畫法有多種 ,正確畫出一種即可 ,以下幾種畫法僅供參考 ) ? ? (3分 ) (2)如圖 .(畫法有兩種 ,正確畫出其中一種即可 ) ? (6分 ) 10.(2022浙江溫州 ,20,8分 )各頂點(diǎn)都在方格紙格點(diǎn) (橫豎格子線的交錯(cuò)點(diǎn) )上的多邊形稱為格點(diǎn) 多邊形 .如何計(jì)算它的面積 ?奧地利數(shù)學(xué)家皮克 (,1859— 1942)證明了格點(diǎn)多邊形的面積 公式 :S=a+? b1,其中 a表示多邊形內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù) ,b表示多邊形邊界上的格點(diǎn)數(shù) ,S表示多邊形的 面積 .如圖 1,a=4,b=6,S=4+? 61=6. (1)請?jiān)趫D 2中畫一個(gè)格點(diǎn)正方形 ,使它的內(nèi)部只含有 4個(gè)格點(diǎn) ,并寫出它的面積 。 當(dāng) AF∥ CE時(shí) ,如圖 1, 則 ∠ AFE=∠ CEF,從而 ∠ AFD=∠ CEB, 又因?yàn)?∠ ADF=∠ CBE,AD=BC, 所以△ AFD≌ △ CEB,則 AF=CE, 所以四邊形 AECF一定是平行四邊形 ,故 C不符合題意 。 當(dāng) ∠ BAE=∠ DCF時(shí) ,如圖 1,易證△ ABE≌ △ CDF, 可得 ∠ AEB=∠ CFD,AE=CF, 所以 ∠ AEF=∠ CFE,所以 AE∥ CF, 則四邊形 AECF一定是平行四邊形 ,故 D不符合題意 。,AB=AC,O是兩條對角線的交點(diǎn) ,過 點(diǎn) O作 AC的垂線分別交邊 AD,BC于點(diǎn) E,F。,AB=AC, ∴∠ ACB=∠ B=30176。OC=? x2. ∵ AB=AC=2OC=2? x, ∴ 在 Rt△ ABQ中 ,BQ=3x, 312 323∴ BC=6x. ∴ BF=4x. ∵ 點(diǎn) M是邊 AB的一個(gè)三等分點(diǎn) , ∴ MB=? x. ∴ 在 Rt△ BMP中 ,MP=? MB=? x, ∴ S△ BMF=? BFAD (2)求證 :AE平分 ∠ DAF。, ∴∠ CBA=90176。,再利用勾股定理求得 FC,AF的長 ,最后確定 AF為△ AEF外接圓的直徑 ,進(jìn)而 求解 . 12解后反思 利用“倍長中線”構(gòu)造全等三角形是我們常用的方法 ,而求圓的周長需求其半徑 或直徑 ,利用直角三角形的斜邊為其外接圓直徑即可求解 . 7.(2022重慶 ,24,10分 )如圖 ,在平行四邊形 ABCD中 ,點(diǎn) O是對角線 AC的中點(diǎn) ,點(diǎn) E是 BC上一點(diǎn) ,且 AB=AE,連接 EO并延長交 AD于點(diǎn) B作 AE的垂線 ,垂足為 H,交 AC于點(diǎn) G. (1)若 AH=3,HE=1,求△ ABE的面積 。,求證 :DF=? CG. ? 2解析 (1)∵ AH=3,HE=1,AB=AE, ∴ AB=AE=AH+HE=4. ∵ BG⊥ AE, ∴∠ AHB=90176。BH=? 4? =2? .? (4分 ) (2)證明 :∵ 四邊形 ABCD為平行四邊形 , ∴ AD∥ BC,AD=BC,∴∠ FAO=∠ ECO. ∵ 點(diǎn) O為 AC的中點(diǎn) ,∴ AO=CO. 在△ AOF和△ COE中 , ∵∠ FAO=∠ ECO,AO=CO,∠ AOF=∠ COE, ∴ △ AOF≌ △ COE, ∴ AF=CE. 22AB AH? 2243? 712 127 7∴ DF=BE.? (6分 ) 如圖 ,過點(diǎn) A作 AM⊥ BC交 BC于點(diǎn) M,交 BG于點(diǎn) Q,過點(diǎn) G作 GN⊥ BC交 BC于點(diǎn) N. ? ∴∠ AMB=∠ AME=∠ GNC=∠ GNB=90176。,AM⊥ BE,∴∠ CAM=∠ ACB=45176。+∠ BAM,∠ BGA=45176。,∴ CG=? NG. ∴ ? CG=2NG,即 BE=2NG=? CG. ∴ DF=BE=? CG.? (10分 ) 22 22思路分析 (1)根據(jù)勾股定理求出 BH的長 ,進(jìn)而利用三角形的面積公式求得△ ABE的面積 。 (2)連接 DG,若 DG=BG,則四邊形 BEDF是什么特殊四邊形 ?請說明理由 . ? 解析 (1)證明 :∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ AB=CD,∠ BAD=∠ DCB. 又 ∵ AE=CF, ∴ △ ABE≌ △ CDF. (2)菱形 . ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ AD∥ BC,AD=BC, ∵ AE=CF, ∴ ADAE=BCCF,即 ED=BF, ∴ 四邊形 BEDF是平行四邊形 , ∴ OB=OD. 又 ∵ DG=BG,∴ OG⊥ BD. ∴ ?BEDF是菱形 . 10.(2022江蘇南京 ,24,7分 )如圖 ,在 ?ABCD中 ,E是 AD上一點(diǎn) ,延長 CE到點(diǎn) F,使 ∠ FBC=∠ DCE. (1)求證 :∠ D=∠ F。,∠ BCF+∠ FBC+∠ F=180176。∠ CED∠ DCE,∠ F=180176。 (2)圖①中所畫的平行四邊形的面積為 . ? 解析 (1)本題答案不唯一 ,以下答案供參考 . ? (3分 ) ? (5分 ) 友情提示 :圖②中所畫的平行四邊形與圖①中所畫的平行四邊形全等 ,圖②不給分 . (2)6.? (7分 ) 13.(2022河北 ,22,10分 )嘉淇同學(xué)要證明命題“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”是 正確的 ,她先用尺規(guī)作出了如圖的四邊形 ABCD,并寫出了如下不完整的已知和求證 . 已知 :如圖 ,在四邊形 ABCD中 , BC=AD, AB= . 求證 :四邊形 ABCD是 四邊形 . (1)在方框中填空 ,以補(bǔ)全已知和求證 。 證明 : ? (3)用文字?jǐn)⑹鏊C命題的逆命題為 . 解析 (1)CD.? (1分 ) 平行 .? (2分 ) (2)證明 :連接 BD.? (3分 ) ? 在△ ABD和△ CDB中 , ∵ AB=CD,AD=CB,BD=DB, ∴ △ ABD≌ △ CDB.? (5分 ) ∴∠ 1=∠ 2,∠ 3=∠ 4, ∴ AB∥ CD,AD∥ CB.? (7分 ) ∴ 四邊形 ABCD是平行四邊形 .? (8分 ) (3)平行四邊形的對邊相等 .? (10分 ) A組 2022— 2022年模擬 ,則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是 ? ( ) 答案 D ∵ 每個(gè)內(nèi)角為 140176。,又外角和為 360176。247。= 為九邊形 . 三年模擬 2.(2022莆田質(zhì)檢 ,9)如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,∠ A=120176。,將△ BMN沿著 MN翻折 ,得到△ MF∥ AD,FN∥ DC,則 ∠ NFM的度數(shù)為 ? ( ) 176。 176。 答案 B 由題意得 ∠ NFM=∠ B,延長 MF交 CD于 E, ∵ FN∥ DC,∴∠ MFN=∠ MEC.∵ MF∥ AD,∴∠ MEC=∠ D, ∴∠ NFM=∠ B=∠ D.∵∠ B+∠ D+∠ A+∠ C=360176。,∠ C=80176。. 3.(2022三明質(zhì)檢 ,9)如圖 ,在正八邊形 ABCDEFGH中 ,連接 AC、 AE,則 ? 的值是 ? ( ) ? A.? B.? C.? AEAC22 23答案 B 連接 CE,正八邊形內(nèi)角和為 1 080176。,易得 ∠ ACB=∠ DCE=22. 5176。,故△ ACE是等腰直角三角形 ,故 ? =? . AEAC 24.(2022福州質(zhì)檢 ,4)兩個(gè)全等的正六邊形如圖擺放 ,與△ ABC面積不同的一個(gè)三角形是 ? ( ) ? A.△ ABD B.△ ABE C.△ ABF D.△ ABG 答案 B 根據(jù)正六邊形中 AB∥ CD∥ FG,可知△ ABD、△ ABF、△ ABG都與△ ABC同底等高 , 則面積相等 ,△ ABE與△ ABC同底不等高 ,故選 B. 5.(2022莆田質(zhì)檢 ,4)下列圖形中 ,內(nèi)角和為 540176。,則 (n2)=540176。5+812,B正確 。4+612,D錯(cuò)誤 . 二、填空題 (每小題 3分 ,共 9分 ) 7.(2022泉州質(zhì)檢 ,11)n邊形的內(nèi)角和等于 900176。180176。,解得 n=7. 8.(2022泉州質(zhì)檢 ,15)如圖 ,在 ?ABCD中 ,BC=10,則 AD的長為 . 答案 10 解析 根據(jù)平行四邊形對邊相等可知 AD=10. 9.(2022南平質(zhì)檢 ,14)如圖 ,已知 AD∥ BC,要使四邊形 ABCD為平行四邊形 ,需要增加的一個(gè)條件 是 : . 答案 AD=BC(答案不唯一 ) 解析 由平行四邊形的判定方法知 ,需要增加的條件是 AD=BC或 AB∥ CD或 ∠ A=∠ C或 ∠ B= ∠ D. 三、解答題 (共 33分 ) 10.(2022龍巖質(zhì)檢 ,18)如圖 ,在 ?ABCD中 ,E,F是對角線上的兩點(diǎn) ,且 AE=CF,求證 :DF=BE. ? 證明 ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ CD=AB,CD∥ AB. ∴∠ DCF=∠ BAE,又 ∵ AE=CF, ∴ △ DCF≌ △ BAE(SAS), ∴ DF=BE. 11.(2022南平質(zhì)檢 ,19)如圖 ,A,B,D三點(diǎn)在同一直線上 ,△ ABC≌ △ BDE,其中點(diǎn) A,B,C的對應(yīng)點(diǎn)分 別是 B,D,E,連接 :四邊形 ABEC是平行四邊形 . ? 證明 ∵ △ ABC≌ △ BDE,∴∠ DBE=∠ A,BE=AC, ∴ BE∥ AC, ∴ 四邊形 ABEC是平行四邊形 . 12.(2022寧德質(zhì)檢 ,19)如圖 ,E,F為平行四邊形 ABCD的對角線 BD上的兩點(diǎn) ,AE⊥ BD于點(diǎn) E,CF⊥ BD于點(diǎn) F. 求證 :AE=CF. ? 證明 ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ AB=CD,AB∥ CD. ∴∠ ABE=∠ CDF. ∵ AE⊥ BD,CF⊥ BD, ∴∠ AEB=∠ CFD=90176。 提升題組 (時(shí)間 :20分鐘 分值 :25分 ) 一、選擇題 (共 3分 ) 1.(2022惠安質(zhì)檢 ,9)如圖 ,☉ O的外切正六邊形 ABCDEF的邊長為 2,則圖中陰影部分的面積為 ? ( ) ? A.? ? B.? ? π ? D.? ? 32?332 3?33?答案 A 由正六邊形的性質(zhì)可得 ,△ AOB是邊長為 2的等邊三角形 ,陰影部分面積為△ AOB的 面積減去半徑為 ? ,圓心角為 60176。,則少算的這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為 . 答案 100176。(n2)980176。800176。. 49 49三、解答題 (共 19分 ) 3.(2022石獅質(zhì)檢 ,21)如圖 ,四邊形 ABCD是平行四邊形 ,E是 BC邊上一點(diǎn) ,只用一把無刻度的直 尺在 AD邊上作點(diǎn) F,使得 DF=BE. (1)作出滿足題意的點(diǎn) F,簡要說明你的作圖過程 。,AD=4時(shí) ,連接 AF,求 AF的長 。 (3)求證 :∠ BEF=? ∠ BCD. ? 1412解析 (1)如圖 , ∵ 四邊形 ABCD為平行四邊形 , ∴ AB=CD,AD=BC,AD∥ BC. ∴∠ BAD+∠ ABC=180176?！?ABC=180176。=90176。. 12514CECDCDBC 12CECD12∵ F為 BD中點(diǎn) ,∴ EF=? BD=BF, ∴∠ BEF=∠ DBE=301