【文章內容簡介】 2思路分析 先作出 CD邊上的高線 ,構造出直角三角形 ,應用三角函數(shù) ,再利用平行四邊形的面 積公式求得結果 . 5.(2022寧夏 ,13,3分 )在平行四邊形 ABCD中 ,∠ BAD的平分線 AE交 BC于點 E,且 BE=3,若平行四 邊形 ABCD的周長是 16,則 EC等于 . ? 答案 2 解析 在 ?ABCD中 ,AD∥ BC,∴∠ DAE=∠ AEB.∵ AE平分 ∠ BAD,∴∠ BAE=∠ DAE,∴∠ BAE =∠ AEB,∴ AB=BE=3,∴ BC=? (162AB)=5.∴ EC=BCBE=2. 126.(2022山東臨沂 ,17,3分 )如圖 ,在 ?ABCD中 ,連接 BD,AD⊥ BD,AB=4,sin A=? ,則 ?ABCD的面 積是 . ? 34答案 3? 7解析 ∵ 四邊形 ABCD為平行四邊形 ,且 AD⊥ BD,∴ Rt△ ABD≌ Rt△ Rt△ ABD中 ,AB=4, sin A=? =? ,∴ BD=3,∴ AD=? =? =? ,∴ SRt△ ABD=? ADBD=? ,于是 S?ABCD=2 SRt△ ABD=2? =3? . BDAB 3422AB BD? 16 9? 712 372372 77.(2022江蘇鎮(zhèn)江 ,8,2分 )如圖 ,在 ?ABCD中 ,E為 AD的中點 ,BE、 CD的延長線相交于點 △ DEF的面積為 1,則 ?ABCD的面積等于 . ? 答案 4 解析 在 ?ABCD中 ,AB∥ DC,AE=DE,AD∥ BC,易證△ AEB≌ △ DEF,△ FED∽ △ FBC,所以 S△ AEB=S△ DEF=1,FD=? FC,? =? =? ,所以 S△ CBF=4,所以 S?ABCD=4. 12 DEFCBFSS 212??????148.(2022江蘇無錫 ,16,2分 )如圖 ,?ABCD中 ,AE⊥ BD于 E,∠ EAC=30176。,AE=3,則 AC的長等于 . ? 答案 4? 3解析 設 ?ABCD的對角線 AC與 BD交于點 O, ∵ AE⊥ BD,∠ EAC=30176。,AE=3, ∴ 在 Rt△ EAO中 ,cos∠ EAO=? , ∴ AO=? =? =2? ,∴ AC=2AO=4? . AEAOcos 30AE?3323 39.(2022安徽 ,14,5分 )如圖 ,在 ?ABCD中 ,AD=2AB,F是 AD的中點 ,作 CE⊥ AB,垂足 E在線段 AB上 , 連接 EF、 .(把所有正確結論的序號都填在橫線上 ) ? ① ∠ DCF=? ∠ BCD。 ② EF=CF。 ③ S△ BEC=2S△ CEF。 ④ ∠ DFE=3∠ AEF. 12答案 ①②④ 解析 ① ∵ F是 AD的中點 ,∴ AF=FD, ∵ 在 ?ABCD中 ,AD=2AB, ∴ AF=FD=CD,∴∠ DFC=∠ DCF, ∵ AD∥ BC,∴∠ DFC=∠ FCB, ∴∠ DCF=∠ BCF,∴∠ DCF=? ∠ BCD,故①正確 。 ②延長 EF,交 CD的延長線于 M, ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ AB∥ CD,∴∠ A=∠ MDF, 在△ AEF和△ DMF中 ,? ∴ △ AEF≌ △ DMF(ASA),∴ EF=MF, 12,A F D MA F D FA F E D F M? ? ?????? ? ? ??? ∵ CE⊥ AB,∴∠ AEC=90176。,∴∠ ECD=∠ AEC=90176。, ∴ EF=CF,故②正確 。 ③ ∵ EF=FM,∴ S△ ECM=2S△ EFC, ∵ MCBE,∴ S△ ECMS△ BEC,∴ S△ BEC2S△ EFC,故③錯誤 。 ④由①得 ∠ A=∠ BCD=2∠ MCF,又易證 ∠ AEF=∠ M=∠ MCF,∴∠ DFE=∠ A+∠ AEF=3∠ AEF, 故④正確 . 評析 本題主要考查了平行四邊形、等腰三角形、直角三角形的性質 ,利用點 F是 AD的中點 構造全等三角形是解答本題的關鍵 ,屬難題 . 10.(2022重慶 ,24,10分 )如圖 ,在平行四邊形 ABCD中 ,點 O是對角線 AC的中點 ,點 E是 BC上一點 , 且 AB=AE,連接 EO并延長交 AD于點 B作 AE的垂線 ,垂足為 H,交 AC于點 G. (1)若 AH=3,HE=1,求△ ABE的面積 。 (2)若 ∠ ACB=45176。,求證 :DF=? CG. ? 2解析 (1)∵ AH=3,HE=1,AB=AE, ∴ AB=AE=AH+HE=4. ∵ BG⊥ AE, ∴∠ AHB=90176。. ∴ AB2=AH2+BH2. ∴ BH=? =? =? . ∴ S△ ABE=? AEBH=? 4? =2? .? (4分 ) (2)證明 :∵ 四邊形 ABCD為平行四邊形 , ∴ AD∥ BC,AD=BC,∴∠ FAO=∠ ECO. ∵ 點 O為 AC的中點 ,∴ AO=CO. 在△ AOF和△ COE中 , ∵∠ FAO=∠ ECO,AO=CO,∠ AOF=∠ COE, ∴ △ AOF≌ △ COE, ∴ AF=CE. 22AB AH? 2243? 712 127 7∴ DF=BE.? (6分 ) 如圖 ,過點 A作 AM⊥ BC交 BC于點 M,交 BG于點 Q,過點 G作 GN⊥ BC交 BC于點 N. ? ∴∠ AMB=∠ AME=∠ GNC=∠ GNB=90176。. ∴∠ AHB=∠ AMB. ∵∠ AQH=∠ BQM,∴∠ QAH=∠ GBN. ∵ AB=AE,AM⊥ BE, ∴∠ BAM=∠ QAH,BM=ME. ∴∠ BAM=∠ QAH=∠ GBN. ∵∠ ACB=45176。,AM⊥ BE,∴∠ CAM=∠ ACB=45176。. ∵∠ BAG=45176。+∠ BAM,∠ BGA=45176。+∠ GBN, ∴∠ BAG=∠ BGA. ∴ AB=GB. ∵ AB=AE,∴ AE=BG. 在△ AME和△ BNG中 , ∠ AME=∠ BNG,∠ EAM=∠ GBN,AE=BG, ∴ △ AME≌ △ BNG. ∴ ME=NG. ∴ BE=2ME=2NG. 在 Rt△ GNC中 ,∵∠ GCN=45176。,∴ CG=? NG. ∴ ? CG=2NG,即 BE=2NG=? CG. ∴ DF=BE=? CG.? (10分 ) 22 22思路分析 (1)根據(jù)勾股定理求出 BH的長 ,進而利用三角形的面積公式求得△ ABE的面積 。(2) 根據(jù)平行四邊形的性質和全等三角形可得 BE= A作 AM⊥ BC,過點 G作 GN⊥ BC,根據(jù)等 腰三角形的性質得 ∠ BAM=∠ QAH,BM=ME=? BE,通過求證 ∠ BAM=∠ GBN,可得 ∠ BAG=∠ BGA,進而可得 AB=AE=BG,利用△ AME≌ △ BNG,得出 NG=ME=? BE,最后利用 CG=? NG得出 DF=BE=? CG. 121222方法指導 對于以特殊四邊形為背景的全等三角形的判定 ,一般都是通過特殊四邊形的性質 找出證全等所需要的邊或角的相等關系 ,從而進行證明 . 11.(2022江蘇南京 ,19,7分 )如圖 ,在 ?ABCD中 ,點 E、 F分別在 AD、 BC上 ,且 AE=CF,EF、 BD相 交于點 :OE=OF. ? 證明 ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ AD∥ BC,AD=BC, ∴∠ EDO=∠ FBO,∠ DEO=∠ BFO. ∵ AE=CF, ∴ ADAE=CBCF,即 DE=BF, ∴ △ DOE≌ △ BOF, ∴ OE=OF. 12.(2022江蘇揚州 ,23,10分 )如圖 ,AC為矩形 ABCD的對角線 ,將邊 AB沿 AE折疊 ,使點 B落在 AC上 的點 M處 ,將邊 CD沿 CF折疊 ,使點 D落在 AC上的點 N處 . (1)求證 :四邊形 AECF是平行四邊形 。 (2)若 AB=6,AC=10,求四邊形 AECF的面積 . ? 解析 (1)證明 :由折疊知 ∠ BAE=∠ MAE=? ∠ BAC,∠ DCF=∠ NCF=? ∠ ACD, ∵ 四邊形 ABCD是矩形 ,∴ AD∥ BC,AB∥ CD, ∴∠ BAC=∠ ACD,∴∠ MAE=∠ NCF, ∴ AE∥ CF,又 ∵ AD∥ BC, ∴ 四邊形 AECF是平行四邊形 . (2)∵∠ B=90176。,∴ AC2=AB2+BC2, ∵ AB=6,AC=10,∴ BC=? =8, ∵ AM=AB=6,AC=10,∴ CM=4, ∵ BE=EM,∴ EM=8CE. 在 Rt△ CEM中 ,CE2=EM2+CM2, ∴ CE2=(8CE)2+42,解得 CE=5, ∴ S四邊形 AECF=CEAB=56=30. 12 122210 6?13.(2022江蘇連云港 ,22,10分 )如圖 ,將平行四邊形 ABCD沿對角線 BD進行折疊 ,折疊后點 C落在 點 F處 ,DF交 AB于點 E. (1)求證 :∠ EDB=∠ EBD。 (2)判斷 AF與 DB是否平行 ,并說明理由 . ? 解析 (1)證明 :由折疊可知 :∠ CDB=∠ EDB.? (1分 ) ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ DC∥ AB,∴∠ CDB=∠ EBD,? (2分 ) ∴∠ EDB=∠ EBD.? (4分 ) (2)AF∥ DB.∵∠ EDB=∠ EBD,∴ DE=BE.? (5分 ) 由折疊可知 :DC=DF. ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ DC=AB,∴ DF=AB.∴ AE=EF.? (6分 ) ∴∠ EAF=∠ EFA. 在△ BED中 ,∠ EDB+∠ EBD+∠ DEB=180176。, 即 2∠ EDB+∠ DEB=180176。. 同理在△ AEF中 ,2∠ EFA+∠ AEF=180176。. ∵∠ DEB=∠ AEF,∴∠ EDB=∠ EFA,? (8分 ) ∴ AF∥ DB.? (10分 ) 14.(2022廣東深圳 ,20,7分 )已知 BD垂直平分 AC,∠ BCD=∠ ADF,AF⊥ AC. ? (1)證明 :ABDF是平行四邊形 。 (2)若 AF=DF=5,AD=6,求 AC的長 . 解析 (1)證明 :∵ BD垂直平分 AC, ∴ BA=BC,DA=DC,∴∠ BAC=∠ BCA,∠ DAC=∠ DCA, ∴∠ BAC+∠ DAC=∠ BCA+∠ DCA, ∴∠ BAD=∠ BCD, 又 ∵∠ BCD=∠ ADF,∴∠ BAD=∠ ADF, ∴ AB∥ FD. 又 AF⊥ AC,BD⊥ AC,∴ AF∥ BD, ∴ 四邊形 ABDF是平行四邊形 . (2)由 (1)知四邊形 ABDF是平行四邊形 , ∴ BD=AF=5,AB=FD=5. 設 BE=x,則 DE=5x,∵ AB2BE2=AD2DE2, ∴ 52x2=62(5x)2,∴ x=? , ∴ AC2=(2AE)2=4? =? , 7522 755?????????????4 57625?∴ AC=? . 485考點一 多邊形的概念及其性質 三年模擬 A組 2022— 2022年模擬 基礎題組 1.(2022石家莊長安質檢 ,9)一個多邊形的邊數(shù)由原來的 3增加到 n時 (n3,且 n為正整數(shù) ),它的外 角和為 ? ( ) (n2)180176。 (n2)180176。 (n1)180176。 答案 D n邊形的外角和為 360176。,n邊形的外角和與邊數(shù) n無關 ,故選 D. 2.(2022石家莊十八縣摸底 ,13)有公共頂點 A,B的正五邊形和正六邊形按如圖所示位置擺放 ,連 接 AC交正六邊形于點 D,則 ∠ ADE的度數(shù)為 ? ( ) ?