【正文】 一個(gè)六角星 .記這些對(duì)角線的交點(diǎn)分別為 H,I,J,K,L,M,則圖中等邊三角形共有 個(gè) . ? 答案 8 解析 題圖中的等邊三角形可分為兩大類 :第一類 :分別以 B,A,F,E,D,C為頂點(diǎn)的小等邊三角 形 ,有△ BHM,△ AML,△ FLK,△ EKJ,△ DJI,△ CIH,共 6個(gè) 。108176。 解析 ∵ 五邊形 ABCDE是正五邊形 , ∴∠ EAB=∠ ABC=? =108176。,則一定有 ? ( ) A.∠ ADE=20176。,可知這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為 360176。 證明 : (3)用文字?jǐn)⑹鏊C命題的逆命題為 . 解析 (1)CD.? (1分 ) 平行 .? (2分 ) (2)證明 :連接 BD.? (3分 ) 在△ ABD和△ CDB中 ,∵ AB=CD,AD=CB,BD=DB, ∴ △ ABD≌ △ CDB.? (5分 ) ∴∠ 1=∠ 2,∠ 3=∠ 4,∴ AB∥ CD,AD∥ CB.? (7分 ) ∴ 四邊形 ABCD是平行四邊形 .? (8分 ) (3)平行四邊形的對(duì)邊相等 .? (10分 ) 思路分析 (1)根據(jù)題設(shè)可正確添加 。若不對(duì) , 說明理由 。18176。,∠ 1=120176。,以 ∠ APB,∠ APC為內(nèi)角的兩個(gè)正多邊形均為正十二邊形 ,會(huì)標(biāo)的外 輪廓周長為 10+10+1=21. 3.(2022河北 ,19,3分 )平面上 ,將邊長相等的正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形的一邊重 合并疊在一起 ,如圖 ,則 ∠ 3+∠ 1∠ 2= 176。167。. ? 答案 24 解析 正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為 60176。108176。=24176。 (2)若 n邊形變?yōu)?(n+x)邊形 ,發(fā)現(xiàn)內(nèi)角和增加了 360176。(2)連接 BD,利用 SSS定理證明△ ABD≌ △ CDB可得 ∠ ADB =∠ DBC,∠ ABD=∠ CDB,進(jìn)而可得 AD∥ CB,AB∥ CD,所以四邊形 ABCD是平行四邊形 。247。 B.∠ ADE=30176。, ∵ BA=BC,∴∠ BAC=∠ BCA=36176。=72176。 第二類 :分別以 B,F,D和 A,C,E為頂點(diǎn)的大等邊三角形 ,有△ BFD和△ ACE,共 2個(gè) .故題圖中等邊 三角形共有 6+2=8(個(gè) ). 考點(diǎn)二 平行四邊形的性質(zhì)與判定 1.(2022山東青島 ,7,3分 )如圖 ,?ABCD的對(duì)角線 AC與 BD相交于點(diǎn) O,AE⊥ BC,垂足為 E,AB=? , AC=2,BD=4,則 AE的長為 ? ( ) ? A.? B.? C.? D.? 332 32217 2 2 17答案 D ∵ 四邊形 ABCD為平行四邊形 ,∴ OA=? AC=1,OB=? BD=△ AOB中 ,∵ 12+(? )2= 22,即 OA2+AB2=OB2,∴∠ OAB=90176。 G、 H是 BC邊上的點(diǎn) ,且 GH=? S1,S2分別表示△ EOF和△ GOH的面積 ,則 S1與 S2之間的等 量關(guān)系是 . ? 1213答案 2S1=3S2? 1 2 2 13223S S S S????????或 均 正 確解析 如圖 ,連接 AC,BD,交點(diǎn)為 O,∵ 四邊形 ABCD為平行四邊形 ,∴ AO=OC,∴ S△ ABO=S△ OBC,∵ EF =? AB,∴ S1=? S△ ABO,∵ GH=? BC,∴ S2=? S△ OBC,所以 2S1=3S2. ? 12 12 13 134.(2022湖北武漢 ,13,3分 )如圖 ,在 ?ABCD中 ,∠ D=100176。40176。,∴ BF⊥ BC. 7.(2022山西 ,17,6分 )已知 :如圖 ,在 ?ABCD中 ,延長 AB至點(diǎn) E,延長 CD至點(diǎn) F,使得 BE= EF,與對(duì)角線 AC交于點(diǎn) O. 求證 :OE=OF. ? 證明 證法一 :∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ AB∥ CD,AB=CD.? (2分 ) ∵ BE=DF,∴ AB+BE=CD+DF,即 AE=CF.? (3分 ) ∵ AB∥ CD,∴ AE∥ CF,∴∠ E=∠ F,∠ 1=∠ 2,? (4分 ) ∴ △ AOE≌ △ COF,? (5分 ) ∴ OE=OF.? (6分 ) 證法二 :連接 AF,CE.∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ AB∥ CD,AB=CD.? (2分 ) ∵ BE=DF,∴ AB+BE=CD+DF,即 AE=CF.? (3分 ) ∵ AB∥ CD,∴ AE∥ CF,? (4分 ) ∴ 四邊形 AECF是平行四邊形 ,? (5分 ) ∴ OE=OF.? (6分 ) C組 教師專用題組 考點(diǎn)一 多邊形的概念及其性質(zhì) 1.(2022新疆烏魯木齊 ,5,4分 )一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是 720176。,解得 n=7,即這個(gè) 多邊形為七邊形 .故選 C. 3.(2022江蘇蘇州 ,7,3分 )如圖 ,在正五邊形 ABCDE中 ,連接 BE,則 ∠ ABE的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。=? ,故選 B. 35.(2022山西 ,12,3分 )圖 1是我國古代建筑中的一種窗格 ,其中冰裂紋圖案象征著堅(jiān)冰出現(xiàn)裂紋 并開始消溶 ,形狀無一定規(guī)則 ,代表一種自然和諧美 .圖 2是從圖 1冰裂紋窗格圖案中提取的由五 條線段組成的圖形 ,則 ∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4+∠ 5= 度 . 圖 1 圖 2 答案 360 解析 ∵ 任意 n(n≥ 3)邊形的外角和為 360176。,則 ∠ A+∠ B+∠ C+ ∠ D= 176。,AB=3? ,AD=3,點(diǎn) M,N分別為線段 BC, AB上的動(dòng)點(diǎn) (含端點(diǎn) ,但點(diǎn) M不與點(diǎn) B重合 ),點(diǎn) E,F分別為 DM,MN的中點(diǎn) ,則 EF長度的最大值為 . ? 3答案 3 解析 連接 DN,因?yàn)辄c(diǎn) E,F分別為 DM,MN的中點(diǎn) ,所以 EF是△ DMN的中位線 ,EF=? 點(diǎn) B、 N重合時(shí) ,DN有最大值 ? =6,所以 EF長度的最大值為 3. ? 1222(3 3) 3?9.(2022浙江溫州 ,20,8分 )各頂點(diǎn)都在方格紙格點(diǎn) (橫豎格子線的交錯(cuò)點(diǎn) )上的多邊形稱為格點(diǎn) 多邊形 .如何計(jì)算它的面積 ?奧地利數(shù)學(xué)家皮克 (,1859— 1942)證明了格點(diǎn)多邊形的面積 公式 :S=a+? b1,其中 a表示多邊形內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù) ,b表示多邊形邊界上的格點(diǎn)數(shù) ,S表示多邊形的 面積 .如圖 1,a=4,b=6,S=4+? 61=6. (1)請(qǐng)?jiān)趫D 2中畫一個(gè)格點(diǎn)正方形 ,使它的內(nèi)部只含有 4個(gè)格點(diǎn) ,并寫出它的面積 。,AE=3, ∴ 在 Rt△ EAO中 ,cos∠ EAO=? , ∴ AO=? =? =2? ,∴ AC=2AO=4? . AEAOcos 30AE?3323 39.(2022安徽 ,14,5分 )如圖 ,在 ?ABCD中 ,AD=2AB,F是 AD的中點(diǎn) ,作 CE⊥ AB,垂足 E在線段 AB上 , 連接 EF、 .(把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填在橫線上 ) ? ① ∠ DCF=? ∠ BCD。 ④由①得 ∠ A=∠ BCD=2∠ MCF,又易證 ∠ AEF=∠ M=∠ MCF,∴∠ DFE=∠ A+∠ AEF=3∠ AEF, 故④正確 . 評(píng)析 本題主要考查了平行四邊形、等腰三角形、直角三角形的性質(zhì) ,利用點(diǎn) F是 AD的中點(diǎn) 構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵 ,屬難題 . 10.(2022重慶 ,24,10分 )如圖 ,在平行四邊形 ABCD中 ,點(diǎn) O是對(duì)角線 AC的中點(diǎn) ,點(diǎn) E是 BC上一點(diǎn) , 且 AB=AE,連接 EO并延長交 AD于點(diǎn) B作 AE的垂線 ,垂足為 H,交 AC于點(diǎn) G. (1)若 AH=3,HE=1,求△ ABE的面積 。+∠ BAM,∠ BGA=45176。, 即 2∠ EDB+∠ DEB=180176。,n邊形的外角和與邊數(shù) n無關(guān) ,故選 D. 2.(2022石家莊十八縣摸底 ,13)有公共頂點(diǎn) A,B的正五邊形和正六邊形按如圖所示位置擺放 ,連 接 AC交正六邊形于點(diǎn) D,則 ∠ ADE的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。, ∴∠ ADE=360176。后 ,與原正多邊形第一次重合 ,360176。30176。③ ∠ 1=∠ 2。 (3)在 (2)的條件下 ,若四邊形 CGFH是平行四邊形 ,請(qǐng)直接寫出 ∠ ACB的度數(shù) : . 解析 (1)證明 :∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ AB∥ CF,∴∠ ABF=∠ CFB, ∵∠ ABC的平分線交 AD于 E,∴∠ ABF=∠ CBF, ∴∠ CBF=∠ CFB,∴ BC=FC. (2)①不在 . ②證明 :∵ CB和 CF繞點(diǎn) C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)相同的角度 ,且點(diǎn) B恰好落在點(diǎn) A處 ,點(diǎn) F落在點(diǎn) G處 , ∴ CB=CA,CF=CG,∠ BCA=∠ FCG. ∴∠ BAC=? ,∠ CFG=? , ∴∠ BAC=∠ CFG, ∵ AB∥ CF,∴∠ BAC=∠ ACF, ∴∠ CFG=∠ ACF,∴ FG∥ AC. (3)36176。, ∴ △ OBM≌ △ OCN,∴ BM=CN=1,∴ AB=AM+BM=3. 過點(diǎn) O作 OG⊥ AB,垂足為 G,易知 OB=3, ∴ OG=OB, 又 ∵ 正五邊形的每個(gè)內(nèi)角為 108176。② S?ABCD=AB,∴∠ CAD=30176。,故①正確 。 ∵ AF=CF≠ AC, ∴ △ ACF不是等邊三角形 ,故選 A. 二、填空題 (每小題 2分 ,共 6分 ) 7.(2022邢臺(tái)一模 ,19)如圖 ,在△ ABC中 ,AC=5,∠ B=30176。.∴∠ AFE=(62)180176。, 12 1222 112??? ???? 3212 52 327可求得 AE=2? 米 . 易知 ∠ BAE=90176。 (2)若 AE=BD,求 ∠ CFG的度數(shù) 。 ②當(dāng)點(diǎn) M恰為 AE的中點(diǎn)時(shí) ,sin∠ ABM= . ? 解析 (1)證明 :∵ 點(diǎn) D是線段 AC的中點(diǎn) ,BE=2BD, ∴ AD=CD,DE=BD,∴ 四邊形 ABCE是平行四邊形 . (2)①證明 :∵ 四邊形 ABCE是平行四邊形 , ∴ CE=AB,∵∠ MEC=∠ EMC,∴ CE=CM,∴ CM=AB, ∵∠ CMB=∠ CAB=90176。 (2)當(dāng)點(diǎn) H落在射線 BC上 ,且 CH=1時(shí) ,直線 EH與直線 CD交于點(diǎn) M,請(qǐng) 直接 寫出△ MEF的面積 . ? 解析 (1)① 2? . ②證明 :∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ AD=BC,∠ D=∠ B,∠ A=∠ BCD, 由折疊可知 ,AD=CG,∠ D=∠ G,∠ A=∠ ECG, ∴ BC=GC,∠ B=∠ G,∠ BCD=∠ ECG, ∴∠ BCE=∠ GCF,∴ △ BCE≌ △ GCF. ③過點(diǎn) E作 EP⊥ BC于 P, ? ∵∠ B=60176。,∴∠ BEP=30176。(2)①先證明 CM=CE=BA,然后由 “角角邊”定理直接得出結(jié)論 。,∵ DF=CF=FG, ∴∠ FDG=∠ DGF=∠ A=30176。,∴∠ M=60176。5=120176。,PD⊥ BC,∴ BP=2PD, ∵ BP=2AQ,∴ PD=AQ,∵ PD⊥ BC,AC⊥ BC,∴ PD∥ AC, ∴ 四邊形 APDQ為平行四邊形 ,∴ DQ∥ AB, 當(dāng) PQ⊥ DQ時(shí) ,PQ⊥ AB, ∵∠ A=60176。,得 S