【正文】 理得 n23n70=0. 解得 n1=10,n2=7(舍去 ),所以邊數(shù) n=10. (3)由題意得 ? ? =9, 解得 n=10. ( 3)2nn?( 1)( 1 3)2nn? ? ? ( 3)2nn?考點(diǎn)二 平行四邊形的性質(zhì)與判定 1.(2022石家莊長(zhǎng)安質(zhì)檢 ,6)下列命題是真命題的是 ? ( ) ,另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形 ,又是軸對(duì)稱圖形 答案 C 一組對(duì)邊平行 ,另一組對(duì)邊相等的四邊形可能是等腰梯形 ,選項(xiàng) A錯(cuò)誤 。. 5.(2022邯鄲一模 ,22)已知 n邊形的對(duì)角線共有 ? 條 (n是不小于 3的整數(shù) ). (1)五邊形的對(duì)角線共有 條 。30176。, 在正六邊形 AGHEMN中 ,AE平分 ∠ GAN, ∴∠ EAN=60176。 解析 連接 AE,∵ AF=EF,∠ AFE=120176。45176。后 ,與原正多邊形第一次重合 ,360176。,故選 B. (5 2) 1805? ? ? (6 2) 1806? ? ?3.(2022石家莊長(zhǎng)安一模 ,6)一個(gè)正多邊形繞著它的中心旋轉(zhuǎn) 45176。120176。36176。, ∴∠ ADE=360176。, ∵ AB=BC,∠ ABC=108176。 答案 B 由題意知 ,∠ ABC=? =108176。 176。,n邊形的外角和與邊數(shù) n無(wú)關(guān) ,故選 D. 2.(2022石家莊十八縣摸底 ,13)有公共頂點(diǎn) A,B的正五邊形和正六邊形按如圖所示位置擺放 ,連 接 AC交正六邊形于點(diǎn) D,則 ∠ ADE的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。 (n1)180176。 基礎(chǔ)題組 1.(2022石家莊長(zhǎng)安質(zhì)檢 ,9)一個(gè)多邊形的邊數(shù)由原來(lái)的 3增加到 n時(shí) (n3,且 n為正整數(shù) ),它的外 角和為 ? ( ) (n2)180176。. ∵∠ DEB=∠ AEF,∴∠ EDB=∠ EFA,? (8分 ) ∴ AF∥ DB.? (10分 ) 14.(2022廣東深圳 ,20,7分 )已知 BD垂直平分 AC,∠ BCD=∠ ADF,AF⊥ AC. ? (1)證明 :ABDF是平行四邊形 。, 即 2∠ EDB+∠ DEB=180176。AB=56=30. 12 122210 6?13.(2022江蘇連云港 ,22,10分 )如圖 ,將平行四邊形 ABCD沿對(duì)角線 BD進(jìn)行折疊 ,折疊后點(diǎn) C落在 點(diǎn) F處 ,DF交 AB于點(diǎn) E. (1)求證 :∠ EDB=∠ EBD。 (2)若 AB=6,AC=10,求四邊形 AECF的面積 . ? 解析 (1)證明 :由折疊知 ∠ BAE=∠ MAE=? ∠ BAC,∠ DCF=∠ NCF=? ∠ ACD, ∵ 四邊形 ABCD是矩形 ,∴ AD∥ BC,AB∥ CD, ∴∠ BAC=∠ ACD,∴∠ MAE=∠ NCF, ∴ AE∥ CF,又 ∵ AD∥ BC, ∴ 四邊形 AECF是平行四邊形 . (2)∵∠ B=90176。,∴ CG=? NG. ∴ ? CG=2NG,即 BE=2NG=? CG. ∴ DF=BE=? CG.? (10分 ) 22 22思路分析 (1)根據(jù)勾股定理求出 BH的長(zhǎng) ,進(jìn)而利用三角形的面積公式求得△ ABE的面積 。+∠ BAM,∠ BGA=45176。,AM⊥ BE,∴∠ CAM=∠ ACB=45176。BH=? 4? =2? .? (4分 ) (2)證明 :∵ 四邊形 ABCD為平行四邊形 , ∴ AD∥ BC,AD=BC,∴∠ FAO=∠ ECO. ∵ 點(diǎn) O為 AC的中點(diǎn) ,∴ AO=CO. 在△ AOF和△ COE中 , ∵∠ FAO=∠ ECO,AO=CO,∠ AOF=∠ COE, ∴ △ AOF≌ △ COE, ∴ AF=CE. 22AB AH? 2243? 712 127 7∴ DF=BE.? (6分 ) 如圖 ,過(guò)點(diǎn) A作 AM⊥ BC交 BC于點(diǎn) M,交 BG于點(diǎn) Q,過(guò)點(diǎn) G作 GN⊥ BC交 BC于點(diǎn) N. ? ∴∠ AMB=∠ AME=∠ GNC=∠ GNB=90176。,求證 :DF=? CG. ? 2解析 (1)∵ AH=3,HE=1,AB=AE, ∴ AB=AE=AH+HE=4. ∵ BG⊥ AE, ∴∠ AHB=90176。 ④由①得 ∠ A=∠ BCD=2∠ MCF,又易證 ∠ AEF=∠ M=∠ MCF,∴∠ DFE=∠ A+∠ AEF=3∠ AEF, 故④正確 . 評(píng)析 本題主要考查了平行四邊形、等腰三角形、直角三角形的性質(zhì) ,利用點(diǎn) F是 AD的中點(diǎn) 構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵 ,屬難題 . 10.(2022重慶 ,24,10分 )如圖 ,在平行四邊形 ABCD中 ,點(diǎn) O是對(duì)角線 AC的中點(diǎn) ,點(diǎn) E是 BC上一點(diǎn) , 且 AB=AE,連接 EO并延長(zhǎng)交 AD于點(diǎn) B作 AE的垂線 ,垂足為 H,交 AC于點(diǎn) G. (1)若 AH=3,HE=1,求△ ABE的面積 。, ∴ EF=CF,故②正確 。 ②延長(zhǎng) EF,交 CD的延長(zhǎng)線于 M, ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ AB∥ CD,∴∠ A=∠ MDF, 在△ AEF和△ DMF中 ,? ∴ △ AEF≌ △ DMF(ASA),∴ EF=MF, 12,A F D MA F D FA F E D F M? ? ?????? ? ? ??? ∵ CE⊥ AB,∴∠ AEC=90176。 ③ S△ BEC=2S△ CEF。,AE=3, ∴ 在 Rt△ EAO中 ,cos∠ EAO=? , ∴ AO=? =? =2? ,∴ AC=2AO=4? . AEAOcos 30AE?3323 39.(2022安徽 ,14,5分 )如圖 ,在 ?ABCD中 ,AD=2AB,F是 AD的中點(diǎn) ,作 CE⊥ AB,垂足 E在線段 AB上 , 連接 EF、 .(把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填在橫線上 ) ? ① ∠ DCF=? ∠ BCD。BD=? ,于是 S?ABCD=2 SRt△ ABD=2? =3? . BDAB 3422AB BD? 16 9? 712 372372 77.(2022江蘇鎮(zhèn)江 ,8,2分 )如圖 ,在 ?ABCD中 ,E為 AD的中點(diǎn) ,BE、 CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) △ DEF的面積為 1,則 ?ABCD的面積等于 . ? 答案 4 解析 在 ?ABCD中 ,AB∥ DC,AE=DE,AD∥ BC,易證△ AEB≌ △ DEF,△ FED∽ △ FBC,所以 S△ AEB=S△ DEF=1,FD=? FC,? =? =? ,所以 S△ CBF=4,所以 S?ABCD=4. 12 DEFCBFSS 212??????148.(2022江蘇無(wú)錫 ,16,2分 )如圖 ,?ABCD中 ,AE⊥ BD于 E,∠ EAC=30176。 如圖 2,其中 AE=CF, 但顯然四邊形 AECF不是平行四邊形 .故 B符合題意 . 圖 1 圖 2 思路分析 依據(jù)平行四邊形的定義或判定定理進(jìn)行判斷 . 2.(2022江蘇連云港 ,5,3分 )已知四邊形 ABCD,下列說(shuō)法正確的是 ? ( ) AD=BC,AB∥ DC時(shí) ,四邊形 ABCD是平行四邊形 AD=BC,AB=DC時(shí) ,四邊形 ABCD是平行四邊形 AC=BD,AC平分 BD時(shí) ,四邊形 ABCD是矩形 AC=BD,AC⊥ BD時(shí) ,四邊形 ABCD是正方形 答案 B 判斷四個(gè)說(shuō)法的對(duì)錯(cuò)時(shí) ,可畫出圖形 ,根據(jù)圖形作出判斷 .兩組對(duì)邊分別相等的四邊 形是平行四邊形 ,選項(xiàng) B正確 ,故選 B. 3.(2022河南 ,7,3分 )如圖 ,?ABCD的對(duì)角線 AC與 BD相交于點(diǎn) O,AB⊥ AB=4,AC=6,則 BD的 長(zhǎng)是 ( ) ? 答案 C 在 ?ABCD中 ,AO=CO,BO=DO, ∵ AC=6,∴ AO=3, ∵ AB⊥ AC,∴ 在 Rt△ ABO中 ,BO=? =? =5, ∴ BD=2BO=10,故選 C. 22AB AO? 2243?4.(2022山東臨沂 ,18,3分 )在平行四邊形 ABCD中 ,對(duì)角線 AC,BD相交于點(diǎn) AB=4,BD=10,sin ∠ BDC=? ,則平行四邊形 ABCD的面積是 . ? 35答案 24 解析 作 CE⊥ BD于 E,在 Rt△ BDE中 ,∵ sin∠ BDC=? =? =? ,AB=4,∴ CE=? ,S?ABCD=2? BDCE=24. ? 35 CECDCEAB 125 12思路分析 先作出 CD邊上的高線 ,構(gòu)造出直角三角形 ,應(yīng)用三角函數(shù) ,再利用平行四邊形的面 積公式求得結(jié)果 . 5.(2022寧夏 ,13,3分 )在平行四邊形 ABCD中 ,∠ BAD的平分線 AE交 BC于點(diǎn) E,且 BE=3,若平行四 邊形 ABCD的周長(zhǎng)是 16,則 EC等于 . ? 答案 2 解析 在 ?ABCD中 ,AD∥ BC,∴∠ DAE=∠ AEB.∵ AE平分 ∠ BAD,∴∠ BAE=∠ DAE,∴∠ BAE =∠ AEB,∴ AB=BE=3,∴ BC=? (162AB)=5.∴ EC=BCBE=2. 126.(2022山東臨沂 ,17,3分 )如圖 ,在 ?ABCD中 ,連接 BD,AD⊥ BD,AB=4,sin A=? ,則 ?ABCD的面 積是 . ? 34答案 3? 7解析 ∵ 四邊形 ABCD為平行四邊形 ,且 AD⊥ BD,∴ Rt△ ABD≌ Rt△ Rt△ ABD中 ,AB=4, sin A=? =? ,∴ BD=3,∴ AD=? =? =? ,∴ SRt△ ABD=? 當(dāng) AF∥ CE時(shí) ,如圖 1, 則 ∠ AFE=∠ CEF,從而 ∠ AFD=∠ CEB, 又因?yàn)?∠ ADF=∠ CBE,AD=BC, 所以△ AFD≌ △ CEB,則 AF=CE, 所以四邊形 AECF一定是平行四邊形 ,故 C不符合題意 。,AB=3? ,AD=3,點(diǎn) M,N分別為線段 BC, AB上的動(dòng)點(diǎn) (含端點(diǎn) ,但點(diǎn) M不與點(diǎn) B重合 ),點(diǎn) E,F分別為 DM,MN的中點(diǎn) ,則 EF長(zhǎng)度的最大值為 . ? 3答案 3 解析 連接 DN,因?yàn)辄c(diǎn) E,F分別為 DM,MN的中點(diǎn) ,所以 EF是△ DMN的中位線 ,EF=? 點(diǎn) B、 N重合時(shí) ,DN有最大值 ? =6,所以 EF長(zhǎng)度的最大值為 3. ? 1222(3 3) 3?9.(2022浙江溫州 ,20,8分 )各頂點(diǎn)都在方格紙格點(diǎn) (橫豎格子線的交錯(cuò)點(diǎn) )上的多邊形稱為格點(diǎn) 多邊形 .如何計(jì)算它的面積 ?奧地利數(shù)學(xué)家皮克 (,1859— 1942)證明了格點(diǎn)多邊形的面積 公式 :S=a+? b1,其中 a表示多邊形內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù) ,b表示多邊形邊界上的格點(diǎn)數(shù) ,S表示多邊形的 面積 .如圖 1,a=4,b=6,S=4+? 61=6. (1)請(qǐng)?jiān)趫D 2中畫一個(gè)格點(diǎn)正方形 ,使它的內(nèi)部只含有 4個(gè)格點(diǎn) ,并寫出它的面積 。=425176。, 所以 ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=540176。,所以 ∠ AED=115176。,則 ∠ A+∠ B+∠ C+ ∠ D= 176?！?B=72176。∠ B=72176。. 6.(2022貴州貴陽(yáng) ,13,4分 )如圖 ,點(diǎn) M,N分別是正五邊形 ABCDE的兩邊 AB,BC上的點(diǎn) ,且 AM=BN, 點(diǎn) O是正五邊形的中心 ,則 ∠ MON的度數(shù)是 度 . ? 答案 72 解析 解法一 :連接 OA,OB,∵ O為正五邊形 ABCDE的中心 , ∴∠ OAM=∠ OBN,又 ∵ OA=OB,AM=BN,∴ △ OAM≌ △ OBN,∴∠ AOM=∠ BON,∴∠ MON=∠ AOB=?=72