【正文】 BD.? (4分 ) (2)AF∥ DB.∵∠ EDB=∠ EBD,∴ DE=BE.? (5分 ) 由折疊可知 :DC=DF. ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ DC=AB,∴ DF=AB.∴ AE=EF.? (6分 ) ∴∠ EAF=∠ EFA. 在△ BED中 ,∠ EDB+∠ EBD+∠ DEB=180176。,∴∠ BAC=36176。,∠ FAN=∠ EAN∠ EAF=60176。(填“在”或“不在” ) ②連接 FG,求證 :FG∥ AC。,∠ OBC=30176。, ∴ △ ABE為等邊三角形 ,∴ AB=BE=AE,∵ AB=? BC,∴ AE=BE=CE,∴∠ BAC=90176。 四邊形 AFGH與四邊形 CFED全等 ,故面積相等 ,選項 D正確 。, ∴ AN=? AB=? 米 ,∴ BN=? =? 米 . 在 Rt△ BFN中 ,∵ FN=AN+AF=? +2=? 米 ,BN=? 米 ,∴ BF=? 米 .在等腰三角形 AFE中 ,AF=EF= 2米 ,∠ AFE=120176。 (2)如圖 2所示 ,將三角板頂點 M放在 AE邊上 ,兩條直角邊分別過點 B和點 C,若 ∠ MEC=∠ EMC, BM交 AC于點 N. ①求證 :△ ABN≌ △ MCN。,∴ BE=2BP. 3可設(shè) BP=m,則 BE=2m,∴ EP=BE, ∴∠ CFG=∠ FDG+∠ DGF=60176。. FAFB FEFD 23AEBD FEFD 2383 83? 在以上條件下 ,通過判定三角形全等 ,可得到六邊形中三組相等的對角線 :AC=BF=DF=EC,BD= AE,BE=AD(六邊形的對角線 CF與其他對角線都不相等 ). 作 BN⊥ FA交 FA的延長線于 N,延長 AB、 DC交于點 M. 以下求 BF、 AE、 BE、 CF的長 :∵∠ FAB=120176。AC,故②正確 。④ OE=? ? ( ) ? 12 14答案 C 在 ?ABCD中 ,∠ ADC=60176。 176。 ∵ AB=CD,∠ 1=∠ 2,∠ B=∠ D, ∴ △ ABE≌ △ CDF,∴ BE=FD,則由②可知 ,③正確 。=8,∴ 這個正多邊形是正八邊形 . 正八邊形既是軸對稱圖形 ,又是中心對稱圖形 ,故選 C. 4.(2022邢臺二模改編 ,15)如圖 ,多邊形 ABCDEF與 AGHEMN都是正六邊形 ,則 ∠ FAN的度數(shù)為 . ? 答案 30176。 176。(2) 根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形可得 BE= A作 AM⊥ BC,過點 G作 GN⊥ BC,根據(jù)等 腰三角形的性質(zhì)得 ∠ BAM=∠ QAH,BM=ME=? BE,通過求證 ∠ BAM=∠ GBN,可得 ∠ BAG=∠ BGA,進而可得 AB=AE=BG,利用△ AME≌ △ BNG,得出 NG=ME=? BE,最后利用 CG=? NG得出 DF=BE=? CG. 121222方法指導(dǎo) 對于以特殊四邊形為背景的全等三角形的判定 ,一般都是通過特殊四邊形的性質(zhì) 找出證全等所需要的邊或角的相等關(guān)系 ,從而進行證明 . 11.(2022江蘇南京 ,19,7分 )如圖 ,在 ?ABCD中 ,點 E、 F分別在 AD、 BC上 ,且 AE=CF,EF、 BD相 交于點 :OE=OF. ? 證明 ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ AD∥ BC,AD=BC, ∴∠ EDO=∠ FBO,∠ DEO=∠ BFO. ∵ AE=CF, ∴ ADAE=CBCF,即 DE=BF, ∴ △ DOE≌ △ BOF, ∴ OE=OF. 12.(2022江蘇揚州 ,23,10分 )如圖 ,AC為矩形 ABCD的對角線 ,將邊 AB沿 AE折疊 ,使點 B落在 AC上 的點 M處 ,將邊 CD沿 CF折疊 ,使點 D落在 AC上的點 N處 . (1)求證 :四邊形 AECF是平行四邊形 。 ④ ∠ DFE=3∠ AEF. 12答案 ①②④ 解析 ① ∵ F是 AD的中點 ,∴ AF=FD, ∵ 在 ?ABCD中 ,AD=2AB, ∴ AF=FD=CD,∴∠ DFC=∠ DCF, ∵ AD∥ BC,∴∠ DFC=∠ FCB, ∴∠ DCF=∠ BCF,∴∠ DCF=? ∠ BCD,故①正確 。. 因為五邊形內(nèi)角和是 540176。 176。70176。AC=? BC+36176。(62)=720176。,∴ (n2)180=630, 解得 n=? . ∵ n為整數(shù) ,∴ θ不能取 630176。90176。是 360176。,由題圖可知 ∠ 3=90176。. (1)甲同學(xué)說 ,θ能取 360176。 176?！?A,由四邊形內(nèi)角和為 36 0176。108176。, ∴∠ DAB=80176。,解得 n=6. 2.(2022云南 ,10,4分 )若一個多邊形的內(nèi)角和為 900176?！?B=72176。 如圖 2,其中 AE=CF, 但顯然四邊形 AECF不是平行四邊形 .故 B符合題意 . 圖 1 圖 2 思路分析 依據(jù)平行四邊形的定義或判定定理進行判斷 . 2.(2022江蘇連云港 ,5,3分 )已知四邊形 ABCD,下列說法正確的是 ? ( ) AD=BC,AB∥ DC時 ,四邊形 ABCD是平行四邊形 AD=BC,AB=DC時 ,四邊形 ABCD是平行四邊形 AC=BD,AC平分 BD時 ,四邊形 ABCD是矩形 AC=BD,AC⊥ BD時 ,四邊形 ABCD是正方形 答案 B 判斷四個說法的對錯時 ,可畫出圖形 ,根據(jù)圖形作出判斷 .兩組對邊分別相等的四邊 形是平行四邊形 ,選項 B正確 ,故選 B. 3.(2022河南 ,7,3分 )如圖 ,?ABCD的對角線 AC與 BD相交于點 O,AB⊥ AB=4,AC=6,則 BD的 長是 ( ) ? 答案 C 在 ?ABCD中 ,AO=CO,BO=DO, ∵ AC=6,∴ AO=3, ∵ AB⊥ AC,∴ 在 Rt△ ABO中 ,BO=? =? =5, ∴ BD=2BO=10,故選 C. 22AB AO? 2243?4.(2022山東臨沂 ,18,3分 )在平行四邊形 ABCD中 ,對角線 AC,BD相交于點 AB=4,BD=10,sin ∠ BDC=? ,則平行四邊形 ABCD的面積是 . ? 35答案 24 解析 作 CE⊥ BD于 E,在 Rt△ BDE中 ,∵ sin∠ BDC=? =? =? ,AB=4,∴ CE=? ,S?ABCD=2? BDCE=24. ? 35 CECDCEAB 125 12思路分析 先作出 CD邊上的高線 ,構(gòu)造出直角三角形 ,應(yīng)用三角函數(shù) ,再利用平行四邊形的面 積公式求得結(jié)果 . 5.(2022寧夏 ,13,3分 )在平行四邊形 ABCD中 ,∠ BAD的平分線 AE交 BC于點 E,且 BE=3,若平行四 邊形 ABCD的周長是 16,則 EC等于 . ? 答案 2 解析 在 ?ABCD中 ,AD∥ BC,∴∠ DAE=∠ AEB.∵ AE平分 ∠ BAD,∴∠ BAE=∠ DAE,∴∠ BAE =∠ AEB,∴ AB=BE=3,∴ BC=? (162AB)=5.∴ EC=BCBE=2. 126.(2022山東臨沂 ,17,3分 )如圖 ,在 ?ABCD中 ,連接 BD,AD⊥ BD,AB=4,sin A=? ,則 ?ABCD的面 積是 . ? 34答案 3? 7解析 ∵ 四邊形 ABCD為平行四邊形 ,且 AD⊥ BD,∴ Rt△ ABD≌ Rt△ Rt△ ABD中 ,AB=4, sin A=? =? ,∴ BD=3,∴ AD=? =? =? ,∴ SRt△ ABD=? BH=? 4? =2? .? (4分 ) (2)證明 :∵ 四邊形 ABCD為平行四邊形 , ∴ AD∥ BC,AD=BC,∴∠ FAO=∠ ECO. ∵ 點 O為 AC的中點 ,∴ AO=CO. 在△ AOF和△ COE中 , ∵∠ FAO=∠ ECO,AO=CO,∠ AOF=∠ COE, ∴ △ AOF≌ △ COE, ∴ AF=CE. 22AB AH? 2243? 712 127 7∴ DF=BE.? (6分 ) 如圖 ,過點 A作 AM⊥ BC交 BC于點 M,交 BG于點 Q,過點 G作 GN⊥ BC交 BC于點 N. ? ∴∠ AMB=∠ AME=∠ GNC=∠ GNB=90176。 基礎(chǔ)題組 1.(2022石家莊長安質(zhì)檢 ,9)一個多邊形的邊數(shù)由原來的 3增加到 n時 (n3,且 n為正整數(shù) ),它的外 角和為 ? ( ) (n2)180176。120176。 (3)若 n邊形的邊數(shù)增加 1,對角線總數(shù)增加 9,求邊數(shù) n. ( 3)2nn?解析 (1)5. (2)由題意得 ? =35,整理得 n23n70=0. 解得 n1=10,n2=7(舍去 ),所以邊數(shù) n=10. (3)由題意得 ? ? =9, 解得 n=10. ( 3)2nn?( 1)( 1 3)2nn? ? ? ( 3)2nn?考點二 平行四邊形的性質(zhì)與判定 1.(2022石家莊長安質(zhì)檢 ,6)下列命題是真命題的是 ? ( ) ,另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形 ,又是軸對稱圖形 答案 C 一組對邊平行 ,另一組對邊相等的四邊形可能是等腰梯形 ,選項 A錯誤 。,∠ B=120176。,故選 D. 4.(2022石家莊十八縣摸底改編 ,19)如圖 ,?ABCD的對角線 AC與 BD相交于點 O,AB⊥ AC,AB=4, AC=6,點 M是 BD上一動點 ,連接 AM,若△ AOM是等腰三角形 ,則 BM=? ( ) ? 8 B.? 或 ? C.? 或 2或 ? D.? 或 2或 ? 或 8 75 5275 52 75 52答案 D ∵ 四邊形 ABCD為平行四邊形 , ∴ OA=OC=3,OB=OD. ∵ AB⊥ AC,AB=4,∴ OB=? =5. 當(dāng)點 M在 OB上時 ,若 OA=OM,則 BM=OBOM=53=2。AC,②正確 。,∴ AP=? AQ, ∵ BP=2AQ,∴ AB=2AQ+? AQ=? AQ, ∵ AC=5,∠ B=30176。,∴ AF∥ MC, 又 ∵ MC=BC=AF,∴ 四邊形 AMCF是平行四邊形 . ∴ CF=AM=3米 . ∵ ? 32? ? ,∴ 要用三根鋼條連接頂點 ,使該鋼架不能活動 ,且使三根鋼條之和最短 ,只 需三根鋼條位于 AC、 BF、 CE、 DF中的任意三條線段處即可 ,∴ 所用三根鋼條總長度的最小 值為 3? 米 . 33137 3 1379.(2022張家口一模改編 ,7)如圖 ,在一張正六邊形紙片中剪下兩個全等的直角三角形 (陰影部 分 ),拼成一個四邊形 ,若拼成的四邊形的面積為 2,則紙片的剩余部分拼成的五邊形的面積為 . ? 答案 10 解析 由陰影部分在正六邊形中的位置可知 ,直角三角形各內(nèi)角分別為 30176。進而得解 . 解題關(guān)鍵 本題為四邊形綜合題 ,熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵 . 12.(2022唐山路南一模 ,26)如圖 ,在 ?ABCD中 ,AB=6,BC=4,∠ B=60176。 ②求證 :△ BCE≌ △ GCF。,90176。 (2)轉(zhuǎn)動鋼管得到如圖 2所示的六邊形鋼架 ,有 ∠ A=∠ B=∠ C=∠ D=120176。,∠ AOB為銳角 ,∴ OBAB,③錯誤 。 若 AM=OM,易得點 M為 OB的中點 , ∴ BM=? OB=? . 當(dāng)點 M在 OD上時 ,∵∠ AOD為鈍角 , ∴ 只可能出現(xiàn) OA=OM.∴ BM=OB+OM=5+3= D.