【正文】 ? (5分 ) ∵ MN+DN=MN+CN=MC, ∴ △ DNM周長的最小值為 9.? (6分 ) (2)∵ BF∥ CE,∴ △ QFB∽ △ QEC. ∴ ? =? =? , ∴ QF=2, 12 32 12 32 15232 52252??????1324QFQF? BFCE 13∴ PK=PK39。=CD=6,連接 BM, ? AHDH HMFH24 3HM32S四邊形 BHMM39。 ②直線 EF上有一動點 N,求△ DNM周長的最小值 . (2)如圖 3,延長 CB交 EF于點 Q,過點 Q作 QK∥ AB,過 CD邊上的動點 P作 PK∥ EF,并與 QK交于 點 K,將△ PKQ沿直線 PQ翻折 ,使點 K的對應點 K39。B. ①求四邊形 BHMM39。M39。 ③ ∵ EF=FM,∴ S△ ECM=2S△ EFC, ∵ MCBE,∴ S△ ECMS△ BEC,∴ S△ BEC2S△ EFC,故③錯誤 。, ∴∠ ECD=∠ AEC=90176。 ④ ∠ DFE=3∠ AEF. 12解析 ① ∵ F是 AD的中點 ,∴ AF=FD, ∵ 在 ?ABCD中 ,AD=2AB, ∴ AF=FD=CD, ∴∠ DFC=∠ DCF, ∵ AD∥ BC, ∴∠ DFC=∠ FCB, ∴∠ DCF=∠ BCF, ∴∠ DCF=? ∠ BCD,故①正確 。 ② EF=CF。②分別以 M,N為圓心 ,以大于 ? MN的長為半徑作弧 ,兩弧相 交于點 P。OC=? x2. ∵ AB=AC=2OC=2? x, ∴ 在 Rt△ ABQ中 ,BQ=3x,∴ BC=6x. 312 323答案 3∶ 4 ∴ BF=4x. ∵ 點 M是邊 AB的一個三等分點 , ∴ MB=? x. ∴ 在 Rt△ BMP中 ,MP=? MB=? x, ∴ S△ BMF=? BF,AB=AC, ∴∠ ACB=∠ B=30176。,AB=AC,O是兩條對角線的交點 ,過 點 O作 AC的垂線分別交邊 AD,BC于點 E,F。=30176。, ∴∠ EBC=∠ ABC∠ ABE=100176。40176。.又 ∵∠ DAB的平分線交 DC于點 E, ∴∠ EAD=∠ EAB=40176。, ∴∠ DAB=80176。 解析 ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ BC∥ AD,AB∥ DC,∠ ABC=∠ D,∴∠ DAB+∠ D=180176。BC=64= D. 22BE BC?125.(2022河南 ,7,3分 )如圖 ,?ABCD的對角線 AC與 BD相交于點 O,AB⊥ AB=4,AC=6,則 BD的 長是 ( ) ? 答案 C 在 ?ABCD中 ,AO=CO,BO=DO, ∵ AC=6,∴ AO=3, ∵ AB⊥ AC,∴ 在 Rt△ ABO中 ,BO=? =? =5, ∴ BD=2BO=10,故選 C. 22AB AO? 2243?6.(2022山東濟南 ,10,3分 )如圖 ,在 ?ABCD中 ,延長 AB到點 E,使 BE=AB,連接 DE交 BC于點 F,則下 列結(jié)論 ? 的是 ? ( ) ? A.∠ E=∠ CDF =DF =2BF =2CF ?????不 一 定 成 立答案 D ∵ CD∥ BE,∴∠ E=∠ CDF,又 BE=AB=CD,∠ BFE=∠ CFD,∴ △ BEF≌ △ CDF,∴ EF= DF.∵ BE=AB,AD∥ BF,∴ AD=2BF,故 A、 B、 C選項均正確 ,只有 D選項不一定正確 .故選 D. 7.(2022湖南懷化 ,13,3分 )如圖 ,在平行四邊形 ABCD中 ,對角線 AC,BD相交于點 O,點 E是 AB的中 點 ,OE=5 cm,則 AD的長為 cm. ? 答案 10 解析 ∵ 四邊形 ABCD為平行四邊形 , ∴ BO=DO,∵ 點 E是 AB的中點 ,∴ OE為△ ABD的中位線 , ∴ AD=2OE,∵ OE=5 cm, ∴ AD=10 10. 8.(2022湖北武漢 ,13,3分 )如圖 ,在 ?ABCD中 ,∠ D=100176。,BC=4, BE=ED=3,AC=10,則四邊形 ABCD的面積為 ? ( ) ? 答案 D 在 Rt△ CBE中 ,CE=? =5,∴ AE=ACCE=5, ∴ AE=CE=5,又 BE=DE=3,∴ 四邊形 ABCD為平行四邊形 . ∴ S?ABCD=2S△ CBD=2? 若添加 AE=CF,則為 SSA,不可判定△ ABE≌ △ CDF。, ∴ △ DEC為直角三角形 . 易知 CE2=S1+S3=12, ∴ CE=2? , 123∴ BC=4? ,∴ S2=BC2=48,故選 D. 3解題關(guān)鍵 解決本題的關(guān)鍵在于通過作輔助線把四邊形的問題轉(zhuǎn)換為平行四邊形和直角三 角形問題 . 3.(2022浙江寧波 ,7,4分 )如圖 ,?ABCD中 ,E,F是對角線 BD上的兩點 ,如果添加一個條件 ,使△ ABE≌ △ CDF,則添加的條件不能為 ? ( ) ? =DF =DE =CF D.∠ 1=∠ 2 答案 C ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 ,∴ AB∥ CD,AB=CD, ∴∠ ABE=∠ CDF. 若添加 BE=DF,則根據(jù) SAS可判定△ ABE≌ △ CDF。,且 BC= AB, BC,DC為邊向外作正方形 ,其面積分別為 S1,S2,S3,若 S1=3,S3=9,則 S2的值為 ? ( ) ? 答案 D 過點 D作 DE∥ AB交 BC于點 E, ? ∵ AD∥ BC,∴ 四邊形 ABED為平行四邊形 , ∴ AD=BE. ∵ BC=2AD,∴ CE=? BC. ∵ DE∥ AB,∴∠ ABC=∠ DEC, ∵∠ ABC+∠ DCB=90176。 當 ∠ BAE=∠ DCF時 ,如圖 1,易證△ ABE≌ △ CDF, 可得 ∠ AEB=∠ CFD,AE=CF, 所以 ∠ AEF=∠ CFE,所以 AE∥ CF, 則四邊形 AECF一定是平行四邊形 ,故 D不符合題意 。. 考點二 平行四邊形 1.(2022安徽 ,9,4分 )?ABCD中 ,E,F是對角線 BD上不同的兩點 .下列條件中 ,? 得出四邊形 AECF一定為平行四邊形的是 ? ( ) =DF =CF ∥ CE D.∠ BAE=∠ DCF ??不 能答案 B 當 BE=DF時 ,如圖 1, 易證△ AFD≌ △ CEB,△ ABE≌ △ CDF, 從而 AF=CE,AE=CF, 所以四邊形 AECF一定是平行四邊形 ,故 A不符合題意 。,可得四邊形內(nèi)角和為 (42)180176。. 10.(2022湖南湘潭 ,11,3分 )四邊形內(nèi)角和為 度 . 答案 360 解析 由 n邊形內(nèi)角和為 (n2) 解析 ∵ 多邊形的外角和為 360176。. 8.(2022吉林 ,13,3分 )如圖 ,分別以正五邊形 ABCDE的頂點 A,D為圓心 ,以 AB長為半徑畫 ? ,?. 若 AB=1,則陰影部分圖形的周長和為 (結(jié)果保留 π). ? BE︵ CE︵答案 ? π+1 65解析 正五邊形的每個內(nèi)角都為 108176。115176。.因為五邊形內(nèi)角和是 540176。. ? 答案 425 解析 因為 ∠ 1=65176。,以 ∠ APB,∠ APC為內(nèi)角的兩個正多邊形均為正十二邊形 ,會標的外 輪廓周長為 10+10+1=21. 7.(2022江蘇南京 ,14,2分 )如圖 ,∠ 1是五邊形 ABCDE的一個外角 .若 ∠ 1=65176。 在所有符合要求的圖案中選一個外輪廓周長最大的定為會標 ,則會標的外輪廓周長是 . ? 圖 1 902 ?18 ? 圖 2 答案 14。是 360176。. 故選 C. 5.(2022天津 ,6,3分 )正六邊形的邊心距為 ? ,則該正六邊形的邊長是 ? ( ) A.? ? 33 3答案 B 如圖 ,由題意可知 ,△ OAB是等邊三角形 ,OG⊥ AB于 G,在 Rt△ OAG中 ,sin∠ OAG= ? ,所以 OA=? =? =2,所以 AB=OA=2,故選 B. ? OGOA sin OGOAG? 3s i n 6 0 ?6.(2022河北 ,19,6分 )如圖 1,作 ∠ BPC平分線的反向延長線 PA ,現(xiàn)要分別以 ∠ APB,∠ APC,∠ BPC 為內(nèi)角作正多邊形 ,且邊長均為 1,將作出的三個正多邊形填充不同花紋后成為一個圖案 . 例如 :若以 ∠ BPC為內(nèi)角 ,可作出一個邊長為 1的正方形 ,此時 ∠ BPC=90176。,且 ∠ A+∠ B+∠ C=260176。 176。 176。. ( 2) 180n n? ? ?4.(2022廣西柳州 ,4,3分 )在四邊形 ABCD中 ,若 ∠ A+∠ B+∠ C=260176。 答案 B 根據(jù)正 n邊形的內(nèi)角 =? 求得正五邊形的每一個內(nèi)角的度數(shù)是 108176。 176。,∴∠ 3∠ 2,∴∠ 3∠ 1=∠ 2. 故選 D. 3.(2022江蘇蘇州 ,7,3分 )如圖 ,在正五邊形 ABCDE中 ,連接 BE,則 ∠ ABE的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。= 185176。85176。,∴∠ 1=∠ 2,∵ (180176。90176?！?1)+∠ 2=360176。,∠ C=90176。,∴ ①③剪開后的兩個圖形的內(nèi)角和相等 ,故選 B. 2.(2022臺灣 ,19,3分 )如圖為互相垂直的兩直線將四邊形 ABCD分成四個區(qū)域的情形 ,若 ∠ A=10 0176。 (2)若點 E為 BC的中點 ,連接 BD,交 AE于 F,求 EF∶ FA的值 .