【文章內(nèi)容簡介】 OG,因?yàn)樗倪呅? ABCD為矩形 ,所以 ∠ B=90176。.因?yàn)?AB=8,BC=4,所以 AC=? =4? .易證△ AGE≌ △ CHF, 所以 AG=CH,所以 AO=? AC=2? 。因?yàn)?EO⊥ GH,∠ B=90176。,所以 ∠ AOE=∠ B,又因?yàn)?∠ OAE=∠ BAC,所以△ AOE∽ △ ABC,所以 ? =? =? ,所以 AE=5,故選 C. 22AB BC? 5125AEAC AOAB 544.(2022吉林 ,24,8分 )如圖① ,在△ ABC中 ,AB=AC,過 AB上一點(diǎn) D作 DE∥ AC交 BC于點(diǎn) E,以 E為頂 點(diǎn) ,ED為一邊 ,作 ∠ DEF=∠ A,另一邊 EF交 AC于點(diǎn) F. (1)求證 :四邊形 ADEF為平行四邊形 。 (2)當(dāng)點(diǎn) D為 AB中點(diǎn)時(shí) ,?ADEF的形狀為 。 (3)延長圖①中的 DE到點(diǎn) G,使 EG=DE,連接 AE,AG,FG,得到圖② .若 AD=AG,判斷四邊形 AEGF 的形狀 ,并說明理由 . ? 解析 (1)證明 :∵ DE∥ AC,∴∠ DEF=∠ EFC. ∵∠ DEF=∠ A,∴∠ A=∠ EFC. ∴ EF∥ AB. ∴ 四邊形 ADEF為平行四邊形 .? (2分 ) (2)菱形 .? (4分 ) (3)結(jié)論 :四邊形 AEGF為矩形 .? (5分 ) 理由 :由 (1)知 ,四邊形 ADEF為平行四邊形 .∴ AF?? DE,AD=EF, ∵ EG=ED,∴ AF?? EG. ∴ 四邊形 AEGF是平行四邊形 .? (6分 ) ∵ AD=AG,∴ AG=EF.? (7分 ) ∴ 四邊形 AEGF為矩形 .? (8分 ) 評(píng)分說明 :第 (3)題 ,證明過程正確 ,但前面不先寫出結(jié)論的不扣分 . 思路分析 (1)根據(jù)平行四邊形的定義進(jìn)行判定 。(2)由 D為 AB的中點(diǎn) ,結(jié)合 (1)知 DE=? AC,又 AD =? AB,∴ DE=AD,∴ ?ADEF為菱形 。(3)利用 (1)的結(jié)論先證明四邊形 AEGF為平行四邊形 ,再證 AG=EF即可 . 12125.(2022北京 ,22,5分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,BD為一條對(duì)角線 ,AD∥ BC,AD=2BC,∠ ABD=90176。,E 為 AD的中點(diǎn) ,連接 BE. (1)求證 :四邊形 BCDE為菱形 。 (2)連接 AC,若 AC平分 ∠ BAD,BC=1,求 AC的長 . ? 解析 (1)證明 :∵ E為 AD的中點(diǎn) , ∴ AD=2ED.∵ AD=2BC,∴ ED=BC. ∵ AD∥ BC,∴ 四邊形 BCDE為平行四邊形 . 又 ∵ 在△ ABD中 ,E為 AD的中點(diǎn) ,∠ ABD=90176。, ∴ BE=ED,∴ ?BCDE為菱形 . (2)設(shè) AC與 BE交于點(diǎn) H,如圖 . ∵ AD∥ BC,∴∠ DAC=∠ ACB. ∵ AC平分 ∠ BAD,∴∠ BAC=∠ DAC, ∴∠ BAC=∠ ACB,∴ BA=BC, 由 (1)可知 ,BE=AE=BC, ∴ AB=BE=AE,∴ △ ABE為等邊三角形 , ∴∠ BAC=30176。,AC⊥ BE,∴ AH=CH. 在 Rt△ ABH中 ,AH=ABcos∠ BAH=? , 32∴ AC=2AH=? . 36.(2022青島 ,21,8分 )已知 :如圖 ,在 ?ABCD中 ,E,F分別是邊 AD,BC上的點(diǎn) ,且 AE=CF,直線 EF分 別交 BA的延長線、 DC的延長線于點(diǎn) G,H,交 BD于點(diǎn) O. (1)求證 :△ ABE≌ △ CDF。 (2)連接 DG,若 DG=BG,則四邊形 BEDF是什么特殊四邊形 ?請(qǐng)說明理由 . ? 解析 (1)證明 :∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ AB=CD,∠ BAD=∠ DCB. 又 ∵ AE=CF, ∴ △ ABE≌ △ CDF. (2)菱形 . ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ AD∥ BC,AD=BC, ∵ AE=CF, ∴ ADAE=BCCF, 即 ED=BF, ∴ 四邊形 BEDF是平行四邊形 , ∴ OB=OD. 又 ∵ DG=BG, ∴ OG⊥ BD. ∴ ?BEDF是菱形 . 考點(diǎn) 3 正方形 1.(2022天津 ,11,3分 )如圖 ,在正方形 ABCD中 ,E,F分別為 AD,BC的中點(diǎn) ,P為對(duì)角線 BD上的一個(gè) 動(dòng)點(diǎn) ,則下列線段的長等于 AP+EP最小值的是 ? ( ) ? 答案 D 在正方形 ABCD中 ,連接 CE、 PC. ? ∵ 點(diǎn) A與點(diǎn) C關(guān)于直線 BD對(duì)稱 ,∴ AP=CP,∴ AP+EP的最小值為 EC. ∵ E,F分別為 AD,BC的中點(diǎn) ,∴ DE=BF=? AD. ∵ AB=CD,∠ ABF=∠ ADC=90176。,∴ △ ABF≌ △ CDE.∴ AF=CE. 12故選 D. 思路分析 點(diǎn) A關(guān)于直線 BD的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn) C,連接 CE,AP+EP的最小值就是線段 CE的長度 。通 過證明△ CDE≌ △ ABF,得 CE=AF,即可得到 PA +PE的最小值等于線段 AF的長 . 解后反思 本題考查軸對(duì)稱 ,正方形的性質(zhì) ,主要依據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短” .只要作出點(diǎn) A(或 點(diǎn) E)關(guān)于直線 BD的對(duì)稱點(diǎn) C(或 G),再連接 EC(或 AG),所得的線段長為兩條線段和的最小值 . 2.(2022甘肅蘭州 ,14,4分 )如圖 ,在正方形 ABCD和正方形 DEFG中 ,點(diǎn) G在 CD上 ,DE=2,將正方形 DEFG繞 D點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60176。,得到正方形 DE39。F39。G39。,此時(shí)點(diǎn) G39。在 AC上 ,連接 CE39。,則 CE39。+CG39。=? ( ) ? A.? +? B.? +1 C.? +? D.? +? 2 6 33 2 3 6答案 A 過點(diǎn) G39。作 G39。M⊥ DC于點(diǎn) M,過點(diǎn) E39。作 E39。P⊥ DC于點(diǎn) P. ? 由旋轉(zhuǎn)的知識(shí)可得 ∠ EDE39。=60176。,DE39。=DE=2. ∵ 四邊形 DEFG、 DE39。F39。G39。是正方形 , ∴∠ G39。DE39。=∠ EDG=90176。,DG39。=DE39。=2. ∴∠ E39。DG=30176。,∠ MDG39。=60176。. 在 Rt△ DG39。M中 ,由 DG39。=2,∠ MDG39。=60176。,可得 G39。M=? ,DM=1. ∵ AC是正方形 ABCD的對(duì)角線 , ∴∠ DCG39。=45176。. 又 ∵ G39。M⊥ DC, 3∴ △ CMG39。是等腰直角三角形 ,∴ MG39。=MC=? . ∴ CG39。=? ,CD=DM+CM=1+? . 在 Rt△ DE39。P中 ,由 DE39。=2,∠ E39。DG=30176。,可得 E39。P=1,DP=? . ∴ CP=CDDP=1. 在 Rt△ CE39。P中 ,E39。P=PC=1,由勾股定理可得 CE39。=? . ∴ CE39。+CG39。=? +? ,故選 A. 36 3322 63.(2022山西 ,10,3分 )如圖 ,點(diǎn) E在正方形 ABCD的對(duì)角線 AC上 ,且 EC=2AE,直角三角形 FEG的兩 直角邊 EF,EG分別交 BC,DC于點(diǎn) M,N,若正方形 ABCD的邊長為 a,則重疊部分四邊形 EMCN的面 積為 ? ( ) ? A.? a2 B.? a2 C.? a2 D.? a2 23 14 59 49答案 D 過點(diǎn) E作 EO⊥ CD,EH⊥ BC,顯然四邊形 EHCO為正方形 ,∴ EH=EO,∠ HEO=90176。. ? ∵∠ GEF=∠ HEO=90176。, ∴∠ OEN=∠ MEH. ∵∠ EHM=∠ EON=90176。, ∴ △ EHM≌ △ EON, ∴ S四邊形 EMCN=S正方形 EHCO. ∵ EC=2AE,∴ ? =? . ∵ AB=a,∴ S正方形 ABCD=a2, ∴ S正方形 EHCO=? S正方形 ABCD=? a2, ECAC 2349 49∴ 重疊部分四邊形 EMCN的面積為 ? D. 494.(2022江西 ,12,3分 )在正方形 ABCD中 ,AB=6,連接 AC,BD,P是正方形邊上或?qū)蔷€上一點(diǎn) ,若 PD=2AP,則 AP的長為 . 答案 2,? ? 或 2? 14 2 3解析 ∵ 四邊形 ABCD是正方形 ,AB=6,∴ AC⊥ BD,AC=BD=6? ,OA=OD=3? . 有三種情況 :① 點(diǎn) P在 AD上時(shí) , ? ∵ AD=6,PD=2AP,∴ AP=? AD=2。 ② 點(diǎn) P在 AC上時(shí) ,不妨設(shè) AP=x(x0),則 DP=2x, ? 在 Rt△ DPO中 ,由勾股定理得 DP2=DO2+OP2,即 (2x)2=(3? )2+(3? x)2, 2 2132 2解得 x=? ? (負(fù)值舍去 ),即 AP=? ? 。 ③ 點(diǎn) P在 AB上時(shí) ,∵∠ PAD=90176。,PD=2AP,∴∠ ADP=30176。, ? ∴ AP=ADtan 30176。=6? =2? . 綜上所述 ,AP的長為 2,? ? 或 2? . 14 2 14 233314 2 3思路分析 根據(jù)正方形的性質(zhì)得出 AC⊥ BD,AC=BD,OB=OA=OC=OD,畫出符合題意的三種情 況 ,根據(jù)正方形的性質(zhì)、勾股定理及銳角三角函數(shù)求解即可 . 解題關(guān)鍵 熟記正方形的性質(zhì) ,分析符合題意的情況 ,并準(zhǔn)確畫出圖形是解題的關(guān)鍵 . 易錯(cuò)警示 此題沒有給出圖形 ,需將點(diǎn) P的位置分類討論 ,做題時(shí) ,往往會(huì)因只畫出點(diǎn) P在正方 形邊上而致錯(cuò) . 5.(2022甘肅蘭州 ,19,4分 )在平行四邊形 ABCD中 ,對(duì)角線 AC與 BD相交于點(diǎn) O,要使四邊形 ABCD 是正方形 ,還需添加一組條件 .下面給出了四組條件 :① AB⊥ AD,且 AB=AD。② AB=BD,且 AB⊥ BD。③ OB=OC,且 OB⊥ OC。④ AB=AD,且 AC= (寫出所有正確的 序號(hào) ). 答案 ①③④ 解析 ①有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形 ,有一組鄰邊相等的矩形是正方形 ,即①正確 . ② BD為平行四邊形的對(duì)角線 ,AB為平行四邊形的一條邊 ,所以當(dāng) AB=BD時(shí) ,平行四邊形不可能 是正方形 ,即②錯(cuò)誤 . ③ 對(duì)角線相等且垂直的平行四邊形是正方形 .由 OB=OC,得對(duì)角線相等 ,即 AC=BD,由 OB⊥ OC, 得 AC⊥ BD,即平行四邊形 ABCD為正方形 ,即③正確 . ④ 鄰邊相等的平行四邊形是菱形 ,對(duì)角線相等的菱形是正方形 ,即④正確 . 6.(2022廣東廣州 ,16,3分 )如圖 ,正方形 ABCD的邊長為 1,AC,BD是對(duì)角線 .將△ DCB繞點(diǎn) D順時(shí) 針旋轉(zhuǎn) 45176。得到△ DGH,HG交 AB于點(diǎn) E,連接 DE交 AC于點(diǎn) F,連接 FG,則下列結(jié)論 : ① 四邊形 AEGF是菱形 。②△ AED≌ △ GED。 ③ ∠ DFG=176。④ BC+FG=. 其中正確的結(jié)論是 .(填寫所有正確結(jié)論的序號(hào) ) ? 答案 ①②③ 解析 由題可知△ DGH≌ △ DCB,∴ DH=DB,∠ DHG=∠ DBC=45176。,∠ DGH=∠ DCB=90176。,DG= DC=AD, 又 ∵∠ DAC=45176。, ∴∠ DAC=∠ DHG, ∴ AF∥ EG. 在 Rt△ AED和 Rt△ GED中 ,AD=GD,ED=ED, ∴ Rt△ AED≌ Rt△ GED,∴∠ ADE=∠ GDE,故②正確 。 在△ ADF與△ GDF中 ,AD=GD,∠ ADF=∠ GDF,FD=FD, ∴ △ ADF≌ △ GDF,∴ AF=GF,∠ DGF=∠ DAF=45176。, 又 ∵∠ DBA=45176。,∴ FG∥ AE, ∴ 四邊形 AEGF是平行四邊形 , 又 ∵ AF=GF,∴ 平行四邊形 AEGF是菱形 ,故①正確 。 ∵∠ GDF=? ∠ ADB=176。,∠ DGF=45176。,∴∠ DFG=176。,故③正確 。 ∵ FG=AE=HA=HDAD=BDAD=? 1,∴ BC+FG=1+? 1=? ,故④不正確 . 122 2 2評(píng)析 本題考查了平行四邊形、三角形的知識(shí) ,借助旋轉(zhuǎn)把這些知識(shí)融合在一起 ,考查了學(xué)生 把復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)化為簡單的圖形來解決問題的能力 . 7.(2022天津 ,17,3分 )如圖 ,在正方形 ABCD中 ,點(diǎn) E,N,P,G分別在邊 AB,BC,CD,DA上 ,點(diǎn) M,F,Q都在 對(duì)角線 BD上 ,且四邊形 MNPQ和 AEFG均為正方形 ,則 ? 的值等于 . ? MNPQAEFGSS正 方 形正 方 形答案 ? 89解析 由題意易得 DQ=PQ=QM=MN=MB=? AB,DG=GF=GA=AE=BE=? AB. ∵ S正方形 MNPQ=MN2=? AB2, S正方形 AEFG=AE2=? AB2, ∴ ? =? 247。? =? . 23 122914MNPQAEFGSS正 方 形正 方 形29 14 898.(2022廣西南寧 ,16,3分 )如圖 ,在正方形 ABC