【文章內容簡介】 南京 ,16,2分 )函數 y1=x與 y2=? 的圖象如圖所示 ,下列關于函數 y=y1+y2的結論 :① 函數 的圖象關于原點中心對稱 。② 當 x2時 ,y隨 x的增大而減小 。③ 當 x0時 ,函數的圖象最低點的坐 標是 (2,4).其中所有正確結論的序號是 . ? 4x答案 ①③ 解析 ① ∵ y=y1+y2,∴ y=x+? . 若點 (a,b)在函數 y=x+? 的圖象上 , 則 b=a+? . ∵ 當 x=a時 ,y=a? =? =b. ∴ 點 (a,b)在函數 y=x+? 的圖象上 . ∴ 函數 y=x+? 的圖象關于原點中心對稱 ,故①正確 . ② 當 0x2時 ,隨著 x的增大 ,y1增大 ,y2減小 ,∴ y的變化不能確定 。 當 x0時 ,隨著 x的增大 ,y1增大 ,y2減小 ,∴ y的變化不能確定 。 當 x=0時 ,y無意義 .故②錯誤 . ③ 當 x0時 ,y=x+? =? +2? ? =? +4, 4x4x4a4a 4a a???????4x4x4x24x x???????x 4x24x x???????當 ? =? ,即 x=2時 ,y取得最小值 ,ymin=4. ∴ 函數的圖象最低點的坐標是 (2,4). 故③正確 . x4x解后反思 (1)函數圖象關于某點中心對稱 ,其實質是圖象上的點關于某點中心對稱 ,所以判定 函數圖象關于某點中心對稱時 ,只需在圖象上任取一點 ,證明該點關于對稱中心對稱的點也在 該函數的圖象上即可 。 (2)函數圖象的最低點就是函數取得最小值的點 ,將問題轉化為求函數最值即可 . 5.(2022河南 ,11,3分 )如圖 ,直線 y=kx與雙曲線 y=? (x0)交于點 A(1,a),則 k= . ? 2x答案 2 解析 把點 A(1,a)代入 y=? ,得 a=? =2,∴ 點 A的坐標為 (1,2).把點 A(1,2)代入 y=kx,得 2=1 k,∴ k=2. 2x 216.(2022江西 ,17,6分 )如圖 ,反比例函數 y=? (k≠ 0)的圖象與正比例函數 y=2x的圖象相交于 A (1,a),B兩點 ,點 C在第四象限 ,CA∥ y軸 ,∠ ABC=90176。 . (1)求 k的值及點 B的坐標 。 (2)求 tan C的值 . ? kx解析 (1)∵ y=2x的圖象經過 A(1,a), ∴ a=2 1=2. ∵ 點 A(1,2)在反比例函數 y=? 的圖象上 , ∴ k=1 2=2. 由 ? 得 ? 或 ? ∴ B(1,2). (2)設 AC交 x軸于點 D, ? kx2,2 ,yxy x???? ???1,2xy ??? ??1, ???? ???∵ A(1,2),AC∥ y軸 , ∴ OD=1,AD=2,∠ ADO=90176。 . ∵∠ ABC=90176。 ,∴∠ C=∠ AOD. ∴ tan C=tan∠ AOD=? =? =2. ADOD21思路分析 (1)先把 A(1,a)代入 y=2x得 a的值 ,再利用待定系數法求得反比例函數解析式 ,然后解 方程組 ? 得點 B的坐標 。 (2)利用同角的余角相等推出 ∠ C=∠ AOD,在 Rt△ AOD中利用正切的定義求解即可 . 2,2yxy x???? ???方法指導 在一次函數的圖象與反比例函數的圖象相交求函數解析式的過程中 ,通常是把交 點坐標代入其中一個函數解析式 ,求得字母的值 ,再利用待定系數法求另一個函數的解析式 . 7.(2022湖北武漢 ,22,10分 )如圖 ,直線 y=2x+4與反比例函數 y=? 的圖象相交于 A(3,a)和 B兩點 . (1)求 k的值 。 (2)直線 y=m(m0)與直線 AB相交于點 M,與反比例函數 y=? 的圖象相交于點 N,若 MN=4,求 m的 值 。 (3)直接寫出不等式 ? x的解集 . ? kxkx6 5x ?解析 (1)∵ 點 A(3,a)在直線 y=2x+4上 , ∴ a=2 (3)+4=2. ∵ 點 A(3,2)在 y=? 的圖象上 , ∴ k=6. (2)∵ 點 M是直線 y=m與直線 AB的交點 ,∴ M? . ∵ 點 N是直線 y=m與反比例函數 y=? 的圖象的交點 , ∴ N? . ∴ MN=xNxM=? ? =4或 MN=xMxN=? ? =4. 解得 m=2或 m=6或 m=6177。 4? , ∵ m0,∴ m=2或 m=6+4? . (3)x1或 5x6. kx4 ,2m m???????6x6 , mm??????6m 42m ? 42m ? 6m33思路分析 (1)把 A(3,a)代入 y=2x+4求出 a=2,把 A(3,2)代入 y=? 求得 k的值 。 (2)求出 M、 N的坐標 ,根據 MN=4和 m0求出 m的值 。 (3)求出函數 y=x的圖象和函數 y=? 的圖象的交點橫坐標 ,借助圖象求出 ? x的解集 . kx6 5x ? 6 5x ?8.(2022重慶 ,22,10分 )在平面直角坐標系中 ,一次函數 y=ax+b(a≠ 0)的圖象與反比例函數 y=? (k ≠ 0)的圖象交于第二、第四象限內的 A、 B兩點 ,與 y軸交于 C點 .過點 A作 AH⊥ y軸 ,垂足為 H,OH =3,tan∠ AOH=? ,點 B的坐標為 (m,2). (1)求△ AHO的周長 。 (2)求該反比例函數和一次函數的解析式 . ? kx43解析 (1)∵ AH⊥ y軸于 H,∴∠ AHO=90176。 . ∵ tan∠ AOH=? =? ,OH=3,∴ AH=4.? (2分 ) 在 Rt△ AHO中 ,OA=? =? =5.? (4分 ) ∴ △ AHO的周長為 3+4+5=12.? (5分 ) (2)由 (1)知 ,點 A的坐標為 (4,3), ∵ 點 A在反比例函數 y=? (k≠ 0)的圖象上 , ∴ 3=? .∴ k=12. ∴ 反比例函數的解析式為 y=? .? (7分 ) ∵ 點 B(m,2)在反比例函數 y=? 的圖象上 , ∴ ? =2.∴ m=6.∴ 點 B的坐標為 (6,2).? (8分 ) ∵ 點 A(4,3),B(6,2)在一次函數 y=ax+b(a≠ 0)的圖象上 ,∴ ? AHOH 4322AH OH? 2243?kx4k?12x12x12m4 3,6 ? ? ??? ? ? ??解這個方程組 ,得 ? ∴ 一次函數的解析式為 y=? x+1.? (10分 ) 1 ,21.ab? ???????129.(2022北京 ,23,5分 )在平面直角坐標系 xOy中 ,直線 y=kx+b(k≠ 0)與雙曲線 y=? 的一個交點為 P (2,m),與 x軸、 y軸分別交于點 A,B. (1)求 m的值 。 (2)若 PA =2AB,求 k的值 . 8x解析 (1)∵ 雙曲線 y=? 過點 P(2,m),∴ m=4. (2)由題意可知 ,k0. 當直線經過第一、二、三象限時 ,如圖 1. ? 圖 1 過點 P作 PH⊥ x軸于點 H,可得△ PHA∽ △ BOA, ∵ PA =2AB,∴ ? =? =2. ∵ PH=4,∴ OB=2.∴ 點 B的坐標為 (0,2). 8xPHBO PABA由直線經過點 P,B,可得 k=1. 當直線經過第一、三、四象限時 ,如圖 2. ? 圖 2 同理 ,由 PA =2AB,可得點 B的坐標為 (0,2). 由直線經過點 P,B,可得 k= ,k=1或 k=3. 思路分析 (1)將點 P的坐標代入反比例函數的解析式即可求得 m的值 。(2)作 PH⊥ x軸于點 H,當 直線經過第一、二、三象限時 ,根據 PA =2AB得到 ? =? =2,求得點 B的坐標為 (0,2),把點 B,點 P的坐標代入求得 k=1。當直線經過第一、三、四象限時 ,同理 ,求得點 B的坐標為 (0,2),把點 B, 點 P的坐標代入求得 k=3. PHBO PABA解題關鍵 本題考查了反比例函數與一次函數圖象的交點問題 ,解題的關鍵是表示出 B的坐 標 ,然后利用線段之間的倍數關系確定 k的值 . 10.(2022四川成都 ,19,10分 )如圖 ,一次函數 y=kx+5(k為常數 ,且 k≠ 0)的圖象與反比例函數 y=? 的圖象交于 A(2,b),B兩點 . (1)求一次函數的表達式 。 (2)若將直線 AB向下平移 m(m0)個單位長度后與反比例函數的圖象有且只有一個公共點 ,求 m 的值 . ? 8x解析 (1)∵ 點 A(2,b)在反比例函數 y=? 的圖象上 , ∴ b=? =4,即點 A的坐標為 (2,4).? (2分 ) 將點 A的坐標代入 y=kx+5,得 2k+5=4,解得 k=? . ∴ 一次函數的表達式是 y=? x+5.? (4分 ) (2)直線 AB向下平移 m個單位長度后的表達式為 y=? x+5m.? (5分 ) 聯立 ? 消去 y,整理得 x2+2(5m)x+16=0.? (7分 ) ∵ 平移后的直線與反比例函數的圖象有且只有一個公共點 , ∴ Δ=4(5m)264=0. 解得 m=1或 m=9.? (10分 ) 8x82?1212128 ,1 5.2y xy x m? ?????? ? ? ???思路分析 (1)先利用反比例函數解析式 y=? 求出 b=4,然后把 A點坐標代入 y=kx+5中求出 k,從 而得到一次函數的表達式 。(2)由于將直線 AB向下平移 m(m0)個單位長度后得直線解析式為 y= ? x+5m,因此直線 y=? x+5m與反比例函數有且只有一個公共點 ,即方程組 ? 只有 一組解 ,再根據判別式得到關于 m的方程 ,求出 m值 . 8x12 128 ,1 52y xy x m? ?????? ? ? ???解題關鍵 本題考查了反比例函數與一次函數圖象的交點問題 。求反比例函數與一次函數圖 象的交點坐標 ,把兩個函數關系式聯立成方程組然后變形為一元二次方程求解 ,若 Δ≥ 0,則兩 者有交點 ,若 Δ0,則兩者無交點 . 考點三 反比例函數與幾何知識相結合的綜合應用 1.(2022重慶 ,11,4分 )如圖 ,在平面直角坐標系中 ,菱形 ABCD的頂點 A,B在反比例函數 y=? (k 0,x0)的圖象上 ,橫坐標分別為 1,4,對角線 BD∥ x軸 .若菱形 ABCD的面積為 ? ,則 k的值為 ? ( ) ? A.? B.? kx45254 154答案 D 連接 AC,設 AC與 BD、 x軸分別交于點 E、 F. ? 已知 A、 B的橫坐標分別為 1,4,∴ BE=3,∴ BD=6. ∵ 四邊形 ABCD為菱形 ,∴ S菱形 ABCD=? ACBD=? , ∴ AC=? ,∴ AE=? . 設點 B的坐標為 (4,m),則 A點坐標為 ? . ∵ 點 A、 B都在函數 y=? 的圖象上 , ∴ 4m=1? ,∴ m=? . 12 452152 154151, 4m???????kx154m???????54∴ B點坐標為 ? ,∴ k=5,故選 D. 54,4??????思路分析 根據 A、 B的橫坐標求出 BD的長 ,利用菱形的面積公式求出 AC的長 ,設點 B的坐標 為 (4,m),用 m表示出點 A的坐標 ? .利用反比例函數圖象上點的橫縱坐標乘積為 k構造方 程求出 m,進而求出 k. 151, 4m???????2.(2022新疆烏魯木齊 ,10,4分 )如圖 ,點 A(a,3),B(b,1)都在雙曲線 y=? 上 ,點 C,D分別是 x軸 ,y軸上 的動點 ,則四邊形 ABCD周長的最小值為 ? ( ) ? ? ? ? +2? ? 3x2 2 10 2 2答案 B 把點 A,B的坐標分別代入 y=? ,得 a=1,b=3, ∴ A(1,3),B(3,1). 如圖 ,作點 A關于 y軸的對稱點 A39。,則點 A39。的坐標為 (1,3),作點 B關于 x軸的對稱點 B39。,則點 B39。的坐標 為 (3,1),連接 A39。B39。交 y軸于點 D,交 x軸于點 C,連接 AD,BC,此時四邊形 ABCD的周長最小 . ? 易證 DA=DA39。,CB=CB39。. 又 ∵ A39。B39。=?=4 ? ,AB=?=2 ? ,∴ 四邊形 ABCD周長的最小值為 A39。 B39。+AB=6? .故選 B. 3x22( 1 3) (3 1)?? ? ? 2 22(1 3) (3 1)? ? ? 223.(20