【文章內(nèi)容簡介】 (3) 日工資數(shù)應(yīng)使每人的總收入和總支出相等. 表5 工作天數(shù)在誰家 工人木工電工油漆工木工家216電工家451油漆工家443求每人的日工資. 【模型假設(shè)】假設(shè)每人每天工作時間長度相同. 無論誰在誰家干活都按正常情況工作, 既不偷懶, 也不加班. 【模型建立】設(shè)木工, 電工, 油漆工的日工資分別為x, y, z元, 則由下表表6 各家應(yīng)付工資和各人應(yīng)得收入在誰家 工人木工電工油漆工各家應(yīng)付工資木工家2x1y6z2x + y + 6z 電工家4x5y1z4x + 5y + z油漆工家4x4y3z4x + 4y + 3z各人應(yīng)得收入10x10y10z可得, 即【模型求解】在Matlab命令窗口輸入以下命令 A = [8,1,6。4,5,1。4,4,7]。 x = null(A,’r’)。 format rat, x’Matlab執(zhí)行后得ans = 31/36 8/9 1可見上述齊次線性方程組的通解為x = k(31/36, 8/9, 1)T. 因而根據(jù)“每人的日工資一般的市價在60~80元之間”可知60 163。k k k 163。 80, 即 163。 k 163。 80. 也就是說, 木工, 電工, 油漆工的日工資分別為k元, k元, k元, 其中163。 k 163。 80. 為了簡便起見, 可取k = 72, 于是木工, 電工, 油漆工的日工資分別為62元, 64元, 72元. 【模型分析】事實上各人都不必付自己工資, 這時各家應(yīng)付工資和各人應(yīng)得收入如下表7 各家應(yīng)付工資和各人應(yīng)得收入在誰家 工人木工電工油漆工各家應(yīng)付工資木工家01y6zy + 6z 電工家4x01z4x + z油漆工家4x4y04x + 4y 個人應(yīng)得收入8x5y7z由此可得, 即可見這樣得到的方程組與前面得到的方程組是一樣的. Matlab實驗題甲, 乙, 丙三個農(nóng)民組成互助組, 每人工作6天(包括為自己家干活的天數(shù)), 剛好完成他們?nèi)思业霓r(nóng)活, 其中甲在甲, 乙, 丙三家干活的天數(shù)依次為: 2, , 。 乙在甲, 乙, 丙三家各干2天活, 丙在甲, 乙, 丙三家干活的天數(shù)依次為: , 2, . 根據(jù)三人干活的種類, 速度和時間, 他們確定三人不必相互支付工資剛好公平. 隨后三人又合作到鄰村幫忙干了2天(各人干活的種類和強度不變), 共獲得工資500元. 問他們應(yīng)該怎樣分配這500元工資才合理? 18案例九. 平衡價格問題為了協(xié)調(diào)多個相互依存的行業(yè)的平衡發(fā)展, 有關(guān)部門需要根據(jù)每個行業(yè)的產(chǎn)出在各個行業(yè)中的分配情況確定每個行業(yè)產(chǎn)品的指導(dǎo)價格, 使得每個行業(yè)的投入與產(chǎn)出都大致相等. 圖21 三個行業(yè)【模型準(zhǔn)備】假設(shè)一個經(jīng)濟系統(tǒng)由煤炭、電力、鋼鐵行業(yè)組成, 每個行業(yè)的產(chǎn)出在各個行業(yè)中的分配如下表所示: 表7 行業(yè)產(chǎn)出分配表產(chǎn)出分配購買者煤炭電力鋼鐵0煤炭電力鋼鐵每一列中的元素表示占該行業(yè)總產(chǎn)出的比例. 求使得每個行業(yè)的投入與產(chǎn)出都相等的平衡價格. 【模型假設(shè)】假設(shè)不考慮這個系統(tǒng)與外界的聯(lián)系. 【模型建立】把煤炭、電力、鋼鐵行業(yè)每年總產(chǎn)出的價格分別用x1, x2, x3表示, 則, 即. 【模型求解】在Matlab命令窗口輸入以下命令 A = [1,。,。,]。 x = null(A,’r’)。 format short, x’Matlab執(zhí)行后得ans = 可見上述齊次線性方程組的通解為x = k(, , 1)T. 這就是說, 如果煤炭、電力、, , 1億元, 那么每個行業(yè)的投入與產(chǎn)出都相等. 【模型分析】實際上, 一個比較完整的經(jīng)濟系統(tǒng)不可能只涉及三個行業(yè), 因此需要統(tǒng)計更多的行業(yè)間的分配數(shù)據(jù). Matlab實驗題假設(shè)一個經(jīng)濟系統(tǒng)由煤炭、石油、電力、鋼鐵、機械制造、運輸行業(yè)組成, 每個行業(yè)的產(chǎn)出在各個行業(yè)中的分配如下表所示: 表8 行業(yè)產(chǎn)出分配表產(chǎn)出分配購買者煤炭石油電力鋼鐵制造運輸00煤炭00石油電力0鋼鐵00制造00運輸每一列中的元素表示占該行業(yè)總產(chǎn)出的比例. 求使得每個行業(yè)的投入與產(chǎn)出都相等的平衡價格. 參考文獻David C. Lay, 線性代數(shù)及其應(yīng)用, 沈復(fù)興, 傅鶯鶯等譯, 北京: 人民郵電出版社, 2009. 頁碼: 4950. 20案例十. 電路設(shè)計問題電路是電子元件的神經(jīng)系統(tǒng). 參數(shù)的計算是電路設(shè)計的重要環(huán)節(jié). 其依據(jù)來自兩個方面: 一是客觀需要, 二是物理學(xué)定律. 圖22 USB擴展板【模型準(zhǔn)備】假設(shè)圖23中的方框代表某類具有輸入和輸出終端的電路. 用記錄輸入電壓和輸入電流(電壓v以伏特為單位, 電流i以安培為單位), 用記錄輸出電壓和輸入電流. 若= A, 則稱矩陣A為轉(zhuǎn)移矩陣.輸入終端v1輸出終端v2i1i2電路圖23 具有輸入和輸出終端的電子電路圖圖24給出了一個梯形網(wǎng)絡(luò), 左邊的電路稱為串聯(lián)電路, 電阻為R1(單位: 歐姆). 右邊的電路是并聯(lián)電路, 電路R2. 利用歐姆定理和楚列斯基定律, 我們可以得到串聯(lián)電路和并聯(lián)電路的轉(zhuǎn)移矩陣分別是和v1v2i1i2R1v3i2i3R2串聯(lián)電路 并聯(lián)電路圖24 梯形網(wǎng)絡(luò)設(shè)計一個梯形網(wǎng)絡(luò), 其轉(zhuǎn)移矩陣是.【模型假設(shè)】假設(shè)導(dǎo)線的電阻為零. 【模型建立】設(shè)A1和A2分別是串聯(lián)電路和并聯(lián)電路的轉(zhuǎn)移矩陣, 則輸入向量x先變換成A1x, 再變換到A2(A1x). 其中A2A1 == 就是圖22中梯形網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)移矩陣. 于是, 原問題轉(zhuǎn)化為求R1, R2的值使得=. 【模型求解】由=可得. 根據(jù)其中的前兩個方程可得R1 = 8, R2 = 2. 把R1 = 8, R2 = 2代入上面的第三個方程確實能使等式成立. 這就是說在圖22中梯形網(wǎng)絡(luò)中取R1 = 8, R2 = 2即為所求. 【模型分析】若要求的轉(zhuǎn)移矩陣改為, 則上面的梯形網(wǎng)絡(luò)無法實現(xiàn). 因為這時對應(yīng)的方程組是. 根據(jù)前兩個方程依然得到R1 = 8, R2 = 2, 但把R1 = 8, R2 = 2代入上第三個方程卻不能使等式成立. 參考文獻David C. Lay, 線性代數(shù)及其應(yīng)用, 沈復(fù)興, 傅鶯鶯等譯, 北京: 人民郵電出版社, 2009. 頁碼: 129130. 練習(xí)題根據(jù)基爾霍夫回路電路定律(各節(jié)點處流入和流出的電流強度的代數(shù)和為零, 各回路中各支路的電壓降之和為零), 列出下圖所示電路中電流i1, i2, i3所滿足的線性方程組, 并用矩陣形式表示: E1E2R1R2R3R4R5i1i2i3① ② ③ 圖25 簡單的回路案例十一. 平面圖形的幾何變換隨著計算機科學(xué)技術(shù)的發(fā)展, 計算機圖形學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域越來越廣, 如仿真設(shè)計、效果圖制作、動畫片制作、電子游戲開發(fā)等. 圖26 計算機圖形學(xué)的廣泛應(yīng)用圖形的幾何變換, 包括圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、放縮等, 是計算機圖形學(xué)中經(jīng)常遇到的問題. 這里暫時只討論平面圖形的幾何變換. 【模型準(zhǔn)備】平面圖形的旋轉(zhuǎn)和放縮都很容易用矩陣乘法實現(xiàn), 但是圖形的平移并不是線性運算, 不能直接用矩陣乘法表示. 現(xiàn)在要求用一種方法使平移、旋轉(zhuǎn)、放縮能統(tǒng)一用矩陣乘法來實現(xiàn). 【模型假設(shè)】設(shè)平移變換為(x, y) 174。 (x+a, y+b)旋轉(zhuǎn)變換(繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)q角度)為(x, y) 174。 (xcosq ysinq, xsinq + ycosq)放縮變換(沿x軸方向放大s倍, 沿y軸方向放大t倍)為 (x, y) 174。 (sx, ty)【模型求解】R2中的每個點(x, y)可以對應(yīng)于R3中的(x, y, 1). 它在xOy平面上方1單位的平面上. 我們稱(x, y, 1)是(x, y)的齊次坐標(biāo). 在齊次坐標(biāo)下, 平移變換(x, y) 174。 (x+a, y+b)可以用齊次坐標(biāo)寫成(x, y, 1) 174。 (x+a, y+b, 1).于是可以用矩陣乘積=實現(xiàn). 旋轉(zhuǎn)變換(x, y) 174。 (xcosq ysinq, xsinq + ycosq)可以用齊次坐標(biāo)寫成(x, y, 1) 174。 (xcosq ysinq, xsinq + ycosq, 1).于是可以用矩陣乘積=實現(xiàn). 放縮變換 (x, y) 174。 (sx, ty)可以用齊次坐標(biāo)寫成(x, y, 1) 174。 (sx, ty, 1). 于是可以用矩陣乘積=實現(xiàn). 【模型分析】由上述求解可以看出, R2中的任何線性變換都可以用分塊矩陣乘以齊次坐標(biāo)實現(xiàn), 其中A是2階方陣. 這樣, 只要把平面圖形上點的齊次坐標(biāo)寫成列向量, 平面圖形的每一次幾何變換, 都可通過左乘一個3階變換矩陣來實現(xiàn). 參考文獻David C. Lay, 線性代數(shù)及其應(yīng)用, 沈復(fù)興, 傅鶯鶯等譯, 北京: 人民郵電出版社, 2009. 頁碼: 139141. Matlab實驗題在Matlab命令窗口輸入以下命令clear all, clc,t = [1,3,5,11,13,15]*pi/8。x = sin(t)。 y=cos(t)。 fill(x,y,39。r39。)。grid on。axis([, , 2, 2])運行后得圖25. 圖26 Matlab繪制的圖形(1) 寫出該圖形每個頂點的齊次坐標(biāo)。 (2) 編寫Matlab程序, 。 再逆時針旋轉(zhuǎn)。 , 縱坐標(biāo)減1的圖形平移. 分別繪制上述變換后的圖形. 33案例十二. 太空探測器軌道數(shù)據(jù)問題太空航天探測器發(fā)射以后, 可能需要調(diào)整以使探測器處在精確計算的軌道里. 雷達監(jiān)測到一組列向量x1, …, xk, 它們給出了不同時刻探測器的實際位置與預(yù)定軌道之間的偏差的信息.圖28 火星探測器【模型準(zhǔn)備】令Xk = [x1, …, xk]. 在雷達進行數(shù)據(jù)分析時需要計算出矩陣Gk = XkXkT. 一旦接收到數(shù)據(jù)向量xk+1, 必須計算出新矩陣Gk+1. 因為數(shù)據(jù)向量到達的速度非?？? 隨著k的增加, 直接計算的負(fù)擔(dān)會越來越重. 現(xiàn)需要給出一個算法, 使得計算Gk的負(fù)擔(dān)不會因為k的增加而加重. 【模型求解】因為Gk = XkXkT = [x1, …, xk]=, Gk+1 = Xk+1= [Xk, xk+1]= XkXkT + xk+1= Gk + xk+1, 所以一旦接收到數(shù)據(jù)向量xk+1, 只要計算xk+1, 然后把它與上一步計算得到的Gk 相加即可. 這樣計算Gk的負(fù)擔(dān)不會因為k的增加而加重. 【模型分析】計算機計算加法的時間與計算乘法的時間相比可以忽略不計. 因此在考慮計算矩陣乘積的負(fù)擔(dān)時, 只要考察乘法的次數(shù)就可以了. 設(shè)xk的維數(shù)是n, 則Xk = [x1, …, xk]是n180。k的矩陣, Gk = XkXkT是