【正文】 案例九. 平衡價格問題 18案例十. 電路設(shè)計問題 20案例十一. 平面圖形的幾何變換 22案例十二. 太空探測器軌道數(shù)據(jù)問題 24案例十三. 應(yīng)用矩陣編制Hill密碼 25案例十四. 顯示器色彩制式轉(zhuǎn)換問題 27案例十五. 人員流動問題 29案例十六. 金融公司支付基金的流動 31案例十七. 選舉問題 33案例十八. 簡單的種群增長問題 34案例十九. 一階常系數(shù)線性齊次微分方程組的求解 36案例二十. 最值問題 38附錄 數(shù)學(xué)實驗報告模板 39這里收集了二十個容易理解的案例. 和各類數(shù)學(xué)建模競賽的題目相比, 這些案例確實顯得過于簡單. 但如果學(xué)生能通過這些案例加深對線性代數(shù)基本概念、理論和方法的理解, 培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的意識, 那么我們初步的目的也就達(dá)到了. 案例一. 交通網(wǎng)絡(luò)流量分析問題城市道路網(wǎng)中每條道路、每個交叉路口的車流量調(diào)查，是分析、評價及改善城市交通狀況的基礎(chǔ)。根據(jù)實際車流量信息可以設(shè)計流量控制方案，必要時設(shè)置單行線，以免大量車輛長時間擁堵。④”應(yīng)該改為“③174。 。 , 。,。 b = [60000。0]。105元的煤, 180。C), 求中間4個點處的溫度T1, T2, T3, T4. T1T2T3T410080908060506050圖9 一塊平板的溫度分布圖【模型假設(shè)】假設(shè)忽略垂直于該截面方向上的熱傳導(dǎo), 并且每個節(jié)點的溫度等于與它相鄰的四個節(jié)點溫度的平均值. 【模型建立】根據(jù)已知條件和上述假設(shè), 有如下線性方程組【模型求解】將上述線性方程組整理得. 在Matlab命令窗口輸入以下命令 A = [4,1,1,0。1,0,4,1。 b = [190。140。 x = A\b。3圖像為例來說明. 表4 消耗與產(chǎn)出情況3180。3圖像中第一行3個點的灰度值依次為x1, x2, x3, 第二行3個點的灰度值依次為x4, x5, x6, 第三行3個點的灰度值依次為x7, x8, x9. , , , 沿水平方向的疊加值依次為1, 1, , 沿右上方到左下方的疊加值依次為1, 0, 1, , 1. 確定x1, x2, …, x9的值. 【模型建立】由已知條件可得(含有11個方程, 9個未知數(shù)的)線性方程組【模型求解】在Matlab命令窗口輸入以下命令 A = [1,1,1,0,0,0,0,0,0。0,0,0,0,0,0,1,1,1。0,1,0,0,1,0,0,1,0。1,0,0,0,0,0,0,0,0。0,0,1,0,1,0,1,0,0。0,0,0,0,0,0,0,0,1]。1。1。1。 x = A\b。3圖像的2個方向上的灰度疊加值: , , , , 。 L1=2。 G2=100。 theta2=pi/4。0,1,0,1,0,0,0,0。0,0,0,0,1,0,1,0。0,0,0,0,0,0,L2*sin(theta2),L2*cos(theta2)。0,0,0,1,0,0,0,1]。G1。0。*L2*cos(theta2)*G2。0]。 x’Matlab執(zhí)行后得ans = 【模型分析】最后的結(jié)果沒有出現(xiàn)負(fù)值, 說明圖16中假設(shè)的各個力的方向與事實一致. 如果結(jié)果中出現(xiàn)負(fù)值, 則說明該力的方向與假設(shè)的方向相反. 參考文獻陳懷琛, 高淑萍, 楊威, 工程線性代數(shù), 北京: 電子工業(yè)出版社, 2007. 頁碼: 157 158. Matlab實驗題有一個平面結(jié)構(gòu)如下所示, 有13條梁(圖中標(biāo)號的線段)和8個鉸接點(圖中標(biāo)號的圈)聯(lián)結(jié)在一起. 其中1號鉸接點完全固定, 8號鉸接點豎直方向固定, 并在2號, 5號和6號鉸接點上, 分別有圖示的10噸, 15噸和20噸的負(fù)載. 在靜平衡的條件下,任何一個鉸接點上水平和豎直方向受力都是平衡的. 已知每條斜梁的角度都是45186。1,1,0,2,0,0,1。1,0,0,0,2,0,0。0,0,2,0,0,1,0]。 format rat, x’Matlab執(zhí)行后得ans = 1 2 3/2 1 1/2 3 1可見上述齊次線性方程組的通解為x = k(1, 2, 3/2, 1, 1/2, 3, 1)T. 取k = 2得x = (2, 4, 3, 2, 1, 6, 2)T. 可見配平后的化學(xué)方程式如下2KOCN + 4KOH + 3Cl2 === 2CO2 + N2 + 6KCl + 2H2O. 【模型分析】利用線性方程組配平化學(xué)方程式是一種待定系數(shù)法. 關(guān)鍵是根據(jù)化學(xué)方程式兩邊所涉及到的各種元素的量相等的原則列出方程. 所得到的齊次線性方程組Ax = q中所含方程的個數(shù)等于化學(xué)方程式中元素的種數(shù)s, 未知數(shù)的個數(shù)就是化學(xué)方程式中的項數(shù)n. 當(dāng)r(A) = n 1時, Ax = q的基礎(chǔ)解系中含有1個(線性無關(guān)的)解向量. 這時在通解中取常數(shù)k為各分量分母的最小公倍數(shù)即可. 例如本例中1, 2, 3/2, 1, 1/2, 3, 1分母的最小公倍數(shù)為2, 故取k = 2. 當(dāng)r(A) 163。4,5,1。 x = null(A,’r’)。k k k 163。 k 163。 k 163。 乙在甲, 乙, 丙三家各干2天活, 丙在甲, 乙, 丙三家干活的天數(shù)依次為: , 2, . 根據(jù)三人干活的種類, 速度和時間, 他們確定三人不必相互支付工資剛好公平. 隨后三人又合作到鄰村幫忙干了2天(各人干活的種類和強度不變), 共獲得工資500元. 問他們應(yīng)該怎樣分配這500元工資才合理? 18案例九. 平衡價格問題為了協(xié)調(diào)多個相互依存的行業(yè)的平衡發(fā)展, 有關(guān)部門需要根據(jù)每個行業(yè)的產(chǎn)出在各個行業(yè)中的分配情況確定每個行業(yè)產(chǎn)品的指導(dǎo)價格, 使得每個行業(yè)的投入與產(chǎn)出都大致相等. 圖21 三個行業(yè)【模型準(zhǔn)備】假設(shè)一個經(jīng)濟系統(tǒng)由煤炭、電力、鋼鐵行業(yè)組成, 每個行業(yè)的產(chǎn)出在各個行業(yè)中的分配如下表所示: 表7 行業(yè)產(chǎn)出分配表產(chǎn)出分配購買者煤炭電力鋼鐵0煤炭電力鋼鐵每一列中的元素表示占該行業(yè)總產(chǎn)出的比例. 求使得每個行業(yè)的投入與產(chǎn)出都相等的平衡價格. 【模型假設(shè)】假設(shè)不考慮這個系統(tǒng)與外界的聯(lián)系. 【模型建立】把煤炭、電力、鋼鐵行業(yè)每年總產(chǎn)出的價格分別用x1, x2, x3表示, 則, 即. 【模型求解】在Matlab命令窗口輸入以下命令 A = [1,。,]。 format short, x’Matlab執(zhí)行后得ans = 可見上述齊次線性方程組的通解為x = k(, , 1)T. 這就是說, 如果煤炭、電力、, , 1億元, 那么每個行業(yè)的投入與產(chǎn)出都相等. 【模型分析】實際上, 一個比較完整的經(jīng)濟系統(tǒng)不可能只涉及三個行業(yè), 因此需要統(tǒng)計更多的行業(yè)間的分配數(shù)據(jù). Matlab實驗題假設(shè)一個經(jīng)濟系統(tǒng)由煤炭、石油、電力、鋼鐵、機械制造、運輸行業(yè)組成, 每個行業(yè)的產(chǎn)出在各個行業(yè)中的分配如下表所示: 表8 行業(yè)產(chǎn)出分配表產(chǎn)出分配購買者煤炭石油電力鋼鐵制造運輸00煤炭00石油電力0鋼鐵00制造00運輸每一列中的元素表示占該行業(yè)總產(chǎn)出的比例. 求使得每個行業(yè)的投入與產(chǎn)出都相等的平衡價格. 參考文獻David C. Lay, 線性代數(shù)及其應(yīng)用, 沈復(fù)興, 傅鶯鶯等譯, 北京: 人民郵電出版社, 2009. 頁碼: 4950. 20案例十. 電路設(shè)計問題電路是電子元件的神經(jīng)系統(tǒng). 參數(shù)的計算是電路設(shè)計的重要環(huán)節(jié). 其依據(jù)來自兩個方面: 一是客觀需要, 二是物理學(xué)定律. 圖22 USB擴展板【模型準(zhǔn)備】假設(shè)圖23中的方框代表某類具有輸入和輸出終端的電路. 用記錄輸入電壓和輸入電流(電壓v以伏特為單位, 電流i以安培為單位), 用記錄輸出電壓和輸入電流. 若= A, 則稱矩陣A為轉(zhuǎn)移矩陣.輸入終端v1輸出終端v2i1i2電路圖23 具有輸入和輸出終端的電子電路圖圖24給出了一個梯形網(wǎng)絡(luò), 左邊的電路稱為串聯(lián)電路, 電阻為R1(單位: 歐姆). 右邊的電路是并聯(lián)電路, 電路R2. 利用歐姆定理和楚列斯基定律, 我們可以得到串聯(lián)電路和并聯(lián)電路的轉(zhuǎn)移矩陣分別是和v1v2i1i2R1v3i2i3R2串聯(lián)電路 并聯(lián)電路圖24 梯形網(wǎng)絡(luò)設(shè)計一個梯形網(wǎng)絡(luò), 其轉(zhuǎn)移矩陣是.【模型假設(shè)】假設(shè)導(dǎo)線的電阻為零. 【模型建立】設(shè)A1和A2分別是串聯(lián)電路和并聯(lián)電路的轉(zhuǎn)移矩陣, 則輸入向量x先變換成A1x, 再變換到A2(A1x). 其中A2A1 == 就是圖22中梯形網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)移矩陣. 于是, 原問題轉(zhuǎn)化為求R1, R2的值使得=. 【模型求解】由=可得. 根據(jù)其中的前兩個方程可得R1 = 8, R2 = 2. 把R1 = 8, R2 = 2代入上面的第三個方程確實能使等式成立. 這就是說在圖22中梯形網(wǎng)絡(luò)中取R1 = 8, R2 = 2即為所求. 【模型分析】若要求的轉(zhuǎn)移矩陣改為, 則上面的梯形網(wǎng)絡(luò)無法實現(xiàn). 因為這時對應(yīng)的方程組是. 根據(jù)前兩個方程依然得到R1 = 8, R2 = 2, 但把R1 = 8, R2 = 2代入上第三個方程卻不能使等式成立. 參考文獻David C. Lay, 線性代數(shù)及其應(yīng)用, 沈復(fù)興, 傅鶯鶯等譯, 北京: 人民郵電出版社, 2009. 頁碼: 129130. 練習(xí)題根據(jù)基爾霍夫回路電路定律(各節(jié)點處流入和流出的電流強度的代數(shù)和為零, 各回路中各支路的電壓降之和為零), 列出下圖所示電路中電流i1, i2, i3所滿足的線性方程組, 并用矩陣形式表示: E1E2R1R2R3R4R5i1i2i3① ② ③ 圖25 簡單的回路案例十一. 平面圖形的幾何變換隨著計算機科學(xué)技術(shù)的發(fā)展, 計算機圖形學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域越來越廣, 如仿真設(shè)計、效果圖制作、動畫片制作、電子游戲開發(fā)等. 圖26 計算機圖形學(xué)的廣泛應(yīng)用圖形的幾何變換, 包括圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、放縮等, 是計算機圖形學(xué)中經(jīng)常遇到的問題. 這里暫時只討論平面圖形的幾何變換. 【模型準(zhǔn)備】平面圖形的旋轉(zhuǎn)和放縮都很容易用矩陣乘法實現(xiàn), 但是圖形的平移并不是線性運算, 不能直接用矩陣乘法表示. 現(xiàn)在要求用一種方法使平移、旋轉(zhuǎn)、放縮能統(tǒng)一用矩陣乘法來實現(xiàn). 【模型假設(shè)】設(shè)平移變換為(x, y) 174。 (xcosq ysinq, xsinq + ycosq)放縮變換(沿x軸方向放大s倍, 沿y軸方向放大t倍)為 (x, y) 174。 (x+a, y+b)可以用齊次坐標(biāo)寫成(x, y, 1) 174。 (xcosq ysinq, xsinq + ycosq)可以用齊次坐標(biāo)寫成(x, y, 1) 174。 (sx, ty)可以用齊次坐標(biāo)寫成(x, y, 1) 174。x = sin(t)。 fill(x,y,39。)。axis([, , 2, 2])運行后得圖25. 圖26 Matlab繪制的圖形(1) 寫出該圖形每個頂點的齊次坐標(biāo)。 再逆時針旋轉(zhuǎn)。k的矩陣,