【正文】 x9 = 每個(gè)網(wǎng)格中的數(shù)字xi代表其灰度值, 范圍在[0, 1]內(nèi). 0表示白色, 1表示黑色, . 如果我們不知道網(wǎng)格中的數(shù)值, 只知道沿豎直方向和水平方向的疊加值, 為了確定網(wǎng)格中的灰度值, 可以建立線性方程組(含有6個(gè)方程, 9個(gè)未知數(shù)) 顯然該方程組的解是不唯一的, 為了重建圖像, 必須增加疊加值. 如我們增加從右上方到左下方的疊加值, 則方程組將增加5個(gè)方程x1 = 1,x2 + x4 = 0, x3 + x5 + x7 = 1, x6 + x8 = , x9 = 1, 和上面的6個(gè)方程放在一起構(gòu)成一個(gè)含有11個(gè)方程, 9個(gè)未知數(shù)的線性方程組. 【模型準(zhǔn)備】設(shè)3180。 x’Matlab執(zhí)行后得ans = 可見T1 = , T2 = , T3 = , T4 = . 參考文獻(xiàn)陳懷琛, 高淑萍, 楊威, 工程線性代數(shù), 北京: 電子工業(yè)出版社, 2007. 頁碼: 1516. Matlab實(shí)驗(yàn)題假定下圖中的平板代表一條金屬梁的截面, 并忽略垂直于該截面方向上的熱傳導(dǎo). 已知平板內(nèi)部有30個(gè)節(jié)點(diǎn), 每個(gè)節(jié)點(diǎn)的溫度近似等于與它相鄰的四個(gè)節(jié)點(diǎn)溫度的平均值. 設(shè)4條邊界上的溫度分別等于每位同學(xué)學(xué)號的后四位的5倍, 例如學(xué)號為16308209的同學(xué)計(jì)算本題時(shí), 選擇Tl = 40, Tu = 10, Tr = 0, Td = 45. TuT1T5TlTlTdT2T6T7T10TrTrTuT26T30TdT27TuTrTdTl圖10 一塊平板的溫度分布圖(1) 建立可以確定平板內(nèi)節(jié)點(diǎn)溫度的線性方程組. (2) 用Matlab軟件求解該線性方程組. (3) 用Matlab中的函數(shù)mesh繪制三維平板溫度分布圖. 案例五. CT圖像的代數(shù)重建問題X射線透視可以得到3維對象在2維平面上的投影, CT則通過不同角度的X射線得到3維對象的多個(gè)2維投影, 并以此重建對象內(nèi)部的3維圖像. 代數(shù)重建方法就是從這些2維投影出發(fā), 通過求解超定線性方程組, 獲得對象內(nèi)部3維圖像的方法. 圖11雙層螺旋CT 圖12 CT圖像這里我們考慮一個(gè)更簡單的模型, 從2維圖像的1維投影重建原先的2維圖像. 一個(gè)長方形圖像可以用一個(gè)橫豎均勻劃分的離散網(wǎng)格來覆蓋, 每個(gè)網(wǎng)格對應(yīng)一個(gè)像素, 它是該網(wǎng)格上各點(diǎn)像素的均值. 這樣一個(gè)圖像就可以用一個(gè)矩陣表示,其元素就是圖像在一點(diǎn)的灰度值(黑白圖像). 下面我們以3180。100]。140。0,1,1,4]。1,4,0,1。105元的電恰好滿足需求. 【模型分析】令x =, A =, b =, 其中x稱為總產(chǎn)值列向量, A稱為消耗系數(shù)矩陣, b稱為最終產(chǎn)品向量, 則Ax ==根據(jù)需求, 應(yīng)該有x Ax = b, 即(E A)x = b. 故x = (E A)1b. Matlab實(shí)驗(yàn)題某鄉(xiāng)鎮(zhèn)有甲、乙、丙三個(gè)企業(yè). . , . . 在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi), 甲、乙、丙三個(gè)企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品價(jià)值分別為100萬元, 120萬元, 60萬元, 同時(shí)各自的固定資產(chǎn)折舊分別為20萬元, 5萬元和5萬元. (1) 求一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)這三個(gè)企業(yè)扣除消耗和折舊后的新創(chuàng)價(jià)值. (2) 如果這三個(gè)企業(yè)接到外來訂單分別為50萬元, 60萬元, 40萬元, 那么他們各生產(chǎn)多少才能滿足需求? 案例四. 平板的穩(wěn)態(tài)溫度分布問題在熱傳導(dǎo)的研究中, 一個(gè)重要的問題是確定一塊平板的穩(wěn)態(tài)溫度分布. 根據(jù)…定律, 只要測定一塊矩形平板四周的溫度就可以確定平板上各點(diǎn)的溫度. 圖8 一塊平板的溫度分布圖【模型準(zhǔn)備】如圖9所示的平板代表一條金屬梁的截面. 已知四周8個(gè)節(jié)點(diǎn)處的溫度(單位176。 x = A\b Matlab執(zhí)行后得x = +005 * 180。100000。,1]。 作為鐵路局, , . 現(xiàn)煤礦接到外地6萬元煤的訂貨, 電廠有10萬元電的外地需求, 問: 煤礦和電廠各生產(chǎn)多少才能滿足需求? 【模型假設(shè)】假設(shè)不考慮價(jià)格變動(dòng)等其他因素. 【模型建立】設(shè)煤礦, 電廠, 鐵路分別產(chǎn)出x元, y元, z元?jiǎng)偤脻M足需求. 則有下表表3 消耗與產(chǎn)出情況產(chǎn)出(1元)產(chǎn)出消耗訂單煤電運(yùn)消耗煤0x + 60000電y + + 100000運(yùn)0z + 0根據(jù)需求, 應(yīng)該有, 即【模型求解】在Matlab命令窗口輸入以下命令 A = [1,。 。④”才合理. 【模型分析】(1) 由(A, b)的行最簡形可見, 上述方程組中的最后一個(gè)方程是多余的. 這意味著最后一個(gè)方程中的數(shù)據(jù)“300”可以不用統(tǒng)計(jì). (2) 由可得, , , 這就是說x1, x2, x3, x4這四個(gè)未知量中, 任意一個(gè)未知量的值統(tǒng)計(jì)出來之后都可以確定出其他三個(gè)未知量的值. 參考文獻(xiàn)陳懷琛, 高淑萍, 楊威, 工程線性代數(shù), 北京: 電子工業(yè)出版社, 2007. 頁碼: 1617. Matlab實(shí)驗(yàn)題某城市有下圖所示的交通圖, 每條道路都是單行線, 需要調(diào)查每條道路每小時(shí)的車流量. 圖中的數(shù)字表示該條路段的車流數(shù). 如果每個(gè)交叉路口進(jìn)入和離開的車數(shù)相等, 整個(gè)圖中進(jìn)入和離開的車數(shù)相等. 300500150180350160220300100290400150x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12圖4 某城市單行線車流量(1)建立確定每條道路流量的線性方程組. (2)分析哪些流量數(shù)據(jù)是多余的. (3)為了唯一確定未知流量, 需要增添哪幾條道路的流量統(tǒng)計(jì). 案例二. 配方問題在化工、醫(yī)藥、日常膳食等方面都經(jīng)常涉及到配方問題. 在不考慮各種成分之間可能發(fā)生某些化學(xué)反應(yīng)時(shí), 配方問題可以用向量和線性方程組來建模. 圖5 日常膳食搭配 圖6 幾種常見的作料【模型準(zhǔn)備】一種佐料由四種原料A、B、C、D混合而成. 這種佐料現(xiàn)有兩種規(guī)格, 這兩種規(guī)格的佐料中, 四種原料的比例分別為2:3:1:1和1:2:1:2. 現(xiàn)在需要四種原料的比例為4:7:3:5的第三種規(guī)格的佐料. 問: 第三種規(guī)格的佐料能否由前兩種規(guī)格的佐料按一定比例配制而成? 【模型假設(shè)】 (1) 假設(shè)四種原料混合在一起時(shí)不發(fā)生化學(xué)變化. (2) 假設(shè)四種原料的比例是按重量計(jì)算的. (3) 假設(shè)前兩種規(guī)格的佐料分裝成袋, 比如說第一種規(guī)格的佐料每袋凈重7克(其中A、B、C、D四種原料分別為2克, 3克, 1克, 1克), 第二種規(guī)格的佐料每袋凈重6克(其中A、B、C、D四種原料分別為1克, 2克, 1克, 2克).【模型建立】 根據(jù)已知數(shù)據(jù)和上述假設(shè), 可以進(jìn)一步假設(shè)將x袋第一種規(guī)格的佐料與y袋第二種規(guī)格的佐料混合在一起, 得到的混合物中A、B、C、D四種原料分別為4克, 7克, 3克, 5克, 則有以下線性方程組 【模型求解】上述線性方程組的增廣矩陣(A, b) =, 可見 又因?yàn)榈谝环N規(guī)格的佐料每袋凈重7克, 第二種規(guī)格的佐料每袋凈重6克, 所以第三種規(guī)格的佐料能由前兩種規(guī)格的佐料按7:12的比例配制而成. 【模型分析】(1) 若令a1 = (2, 3, 1, 1)T, a2 = (1, 2, 1, 1)T, b = (4, 7, 5, 3)T, 則原問題等價(jià)于“線性方程組Ax = b是否有解”, 也等價(jià)于“b能否由a1, a2線性表示”. (2) 若四種原料的比例是按體積計(jì)算的, 則還要考慮混合前后體積的關(guān)系(未必是簡單的疊加), 因而最好還是先根據(jù)具體情況將體積比轉(zhuǎn)換為重量比, 然后再按上述方法處理. (3) 上面的模型假設(shè)中的第三個(gè)假設(shè)只是起到簡化運(yùn)算的作用. 如果直接設(shè)x克第一種規(guī)格的佐料與y克第二種規(guī)格的佐料混合得第三種規(guī)格的佐料, 則有下表表1 混合后四種原料的含量原料 佐料規(guī)格ABCD第一種xxxx第二種yyyy第三種(x + y)(x + y)(x + y)(x + y)因而有如下線性方程組 (*)【模型檢驗(yàn)】把x = 7, y = 12代入上述方程組(*), 則各等式都成立. 可見模型假設(shè)中的第三個(gè)假設(shè)不影響解的正確性. Matlab實(shí)驗(yàn)題蛋白質(zhì)、碳水化合物和脂肪是人體每日必須的三種營養(yǎng), . 設(shè)三種食物(脫脂牛奶、大豆面粉、乳清)每100克中蛋白質(zhì)、碳水化合物和脂肪的含量以及慢跑5分鐘消耗蛋白質(zhì)、碳水化合物和脂肪的量如下表.表2 三種食物的營養(yǎng)成分和慢跑的消耗情況營養(yǎng)每100克食物所含營養(yǎng)(克)慢跑5分鐘消耗量(克)每日需要的營養(yǎng)量(克)牛奶大豆面粉乳清蛋白質(zhì)3651131033碳水化合物5234742045脂肪1071153問怎樣安排飲食和運(yùn)動(dòng)才能實(shí)現(xiàn)每日的營養(yǎng)需求?16案例三. 投入產(chǎn)出問題在研究多個(gè)經(jīng)濟(jì)部門之間的投入產(chǎn)出關(guān)系時(shí), W. Leontief提出了投入產(chǎn)出模型. 這為經(jīng)濟(jì)學(xué)研究提供了強(qiáng)有力的手段. W. Leontief因此獲得了1973年的Nobel經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng). 圖7 三個(gè)經(jīng)濟(jì)部門這里暫時(shí)只討論一個(gè)簡單的情形. 【模型準(zhǔn)備】某地有一座煤礦, 一個(gè)發(fā)電廠和一條鐵路. 經(jīng)成本核算, 。圖1 某地交通實(shí)況圖2 某城市單行線示意圖【模型準(zhǔn)備】 某城市單行線如下圖所示, 其中的數(shù)字表示該路段每小時(shí)按箭頭方向行駛的車流量(單位: 輛). 5001234400300100200300x1x2x3x4圖3 某城市單行線車流量(1) 建立確定每條道路流量的線性方程組.(2) 為了唯一確定未知流量, 還需要增添哪幾條道路的流量統(tǒng)計(jì)? (3) 當(dāng)x4 = 350時(shí), 確定x1, x2, x3的值.(4) 若x4 = 200, 則單行線應(yīng)該如何改動(dòng)才合理? 【模型假設(shè)】 (1) 每條道路都是單行線. (2) 每個(gè)交叉路口進(jìn)入和離開的車輛數(shù)目相等. 【模型建立】 根據(jù)圖3和上述假設(shè), 在①, ②, ③, ④四個(gè)路口進(jìn)出車輛數(shù)目分別滿足500 = x1 + x2 ①400 + x1 = x4 + 300 ②x2 + x3 = 100 + 200 ③x4 = x3 + 300 ④【模型求解】根據(jù)上述等式可得如下線性方程組其增廣矩陣(A, b) =由此可得即. 為了唯一確定未知流量, 只要增添x4統(tǒng)計(jì)的值即可. 當(dāng)x4 = 350時(shí), 確定x1 = 250, x2 = 250, x3 = 50.若x4 = 200, 則x1 = 100, x2 = 400, x3 = 100 0. 這表明單行線“③172。線性代數(shù)建模案例匯編張小向東南大學(xué)數(shù)學(xué)系2012年6月3目 錄案例一. 交通網(wǎng)絡(luò)流量分析問題 1案例二. 配方問題 4案例三. 投入產(chǎn)出問題 6案例四. 平板的穩(wěn)態(tài)溫度分布問題 8案例五. CT圖像的代數(shù)重建問題 10案例六. 平衡結(jié)構(gòu)的梁受力計(jì)算 12案例七. 化學(xué)方程式配平問題 14案例八. 互付工資問題 16