高中數學復習學案(第30講)解三角形及應用舉例(編輯修改稿)
2025-07-04 23:55 本頁面
【文章內容簡介】 函數的恒等變換及其圖象變換的基本技能，著重考查數學運算能力．平面向量與三角函數結合是高考命題的一個新的亮點之一．例7 如圖，某園林單位準備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地，△ABC外的地方種草，△ABC的內接正方形PQRS為一水池，其余的地方種花若BC=a，∠ABC=，設△ABC的面積為S1，正方形的面積為S2．（１）用a，表示S1和S2；（２）當a固定，變化時，求取最小值時的角．講解?。ǎ保? ∴設正方形邊長為x 則BQ= （２）當固定，變化時，令 令 任取，且，．，是減函數．取最小值，此時點評 三角函數有著廣泛的應用，本題就是一個典型的范例．通過引入角度，將圖形的語言轉化為三角的符號語言，再通過局部的換元，又將問題轉化為我們熟知的函數．這些解題思維的拐點，你能否很快的想到呢？例8 某城市有一條公路，自西向東經過A點到市中心O點后轉向東北方向OB，現(xiàn)要修建一條鐵路L，L在OA上設一站A，在OB上設一站B，鐵路在AB部分為直線段，現(xiàn)要求市中心O與AB的距離為10 km，問把A、B分別設在公路上離中心O多遠處才能使|AB|最短?并求其最短距離（不要求作近似計算）解：在△AOB中，設OA=a，OB=b因為AO為正西方向，OB為東北方向，所以∠AOB=135176。則|AB|2=a2+b2－2abcos135176。=a2+b2+ab≥2ab+ab=（2+）ab，當且僅當a=b時，“=”成立又O到AB的距離為10，設∠OAB=α，則∠OBA=45176。－α所以a=，b=，ab=====≥，當且僅當α=22176。30′時，“=”成立所以|AB|2≥=400（+1）2，當且僅當a=b，α=22176。30′時，“=”成立所以當a=b==10時，|AB|最短，其最短距離為20（+1），即當AB分別在OA、OB上離O點10 km處，能使|AB|最短，最短距離為20（－1）小結：1在△ABC中，∵A+B+C=π，∴sin=cos，cos=sin，tan=cot2∠A、∠B、∠C成等差數列的充分必要條件是∠B=60176。3在非直角三角形中，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC4根據所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：①化邊為角；②化角為邊并常用正弦（余弦）定理實施邊角轉化5用正（余）弦定理解三角形問題可適當應用向量的數量積求三角形內角與應用向量的模求三角形的邊長6用向量的數量積求三角形內角時，需明確向量的夾角與三角形內角是相等還是互補學生練習 1在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，則△ABC的形狀一定是A等腰直角三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等邊三角形解：由2cosBsinA=sinC得a=c，∴a=b答案：C2下列條件中，△ABC是銳角三角形的是AsinA+cosA= B＞0 CtanA+tanB+tanC＞0 Db=3，c=
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