【文章內(nèi)容簡介】 定積分常數(shù)后得 ()式中，式（）僅適用于吹出和吸入速度相等的滲透平行板之間的流動。 如果吹出和吸入的速度不相等，則結(jié)果不同。 充分發(fā)展的管流（HagenPoiseuille）流動 直圓管如圖612所示，流體沿直圓管流動時，在入口一段是粘性區(qū)不斷發(fā)展，勢流區(qū)逐漸縮小最后消失的區(qū)域，稱為管流的入口區(qū)。 過了入口區(qū)，在等溫壁條件下，流動速度和溫度分布沿軸向保持不變，只有軸向分速，稱為充分發(fā)展區(qū)。 這一節(jié)只討論充分發(fā)展區(qū)的流動情況。設(shè)直圓管直徑為D，半徑為R， 圖612直圓管流動的速度變化壓力梯度為，壁溫為。 因研究的流動是軸對稱流動，故用圓柱坐標系較方便，對應(yīng)的速度分量為。 充分發(fā)展管流的基本方程為： ()邊界條件為 ()積分方程（）中的動量方程，得利用邊界條件確定積分常數(shù). 因時，u為有限值，故，確定后，上式變?yōu)? ()上式表示充分發(fā)展管流的速度分布是拋物線形，中心軸線上的速度最大。 最大速度為 ()體積流量為 ()平均速度為 ()壁面摩擦應(yīng)力為 ()定義圓管摩擦因子為 ()則將式（）代入上式后，得 ()其中 ，D為直徑。上式表示直圓管流動的阻力系數(shù)與成反比。 如果數(shù)超過臨界數(shù)，則層流可能變?yōu)橥牧鳌?將式（）代入式（）中的能量方程后積分，按邊界條件（）確定積分常數(shù)，得溫度分布為 () 圖613充分發(fā)展管流的溫度分布上式表明，如圖613所示等溫管壁的溫度分布與徑向位置成四次方關(guān)系，在軸心處溫度最高，這是粘性引起的溫度升高。 空氣的粘性系數(shù)很小，當流速不高時，可不考慮粘性引起的溫度變化。如平均速度為30m/s的空氣管流，溫度只升高，而同一速度的水，溫度升高。由式（）得圓管流動的最高溫度為 ()壁面熱流量為 ()根據(jù)熱交換系數(shù)的定義，壁面熱交換系數(shù)為 ()上式符號表示壁面吸熱。 非圓截面直管的充分發(fā)展管流圖614表示幾種典型的非圓直管的橫截面形狀。 對于非圓管流，根據(jù)問題情況而選用柱坐標或直角坐標。在直角坐標中，以軸為流動方向，在充分發(fā)展條件下，只有方向分速，而，故直角坐標系中的流體運動方程為：圖614 非圓截面 ()邊界條件為：壁面 方程()是非因域上的Poisson方程的第一邊值問題，可以用分離變量法、保角轉(zhuǎn)結(jié)繪等方法求解。 這類問題已有許多現(xiàn)成的解供借用，下面給出幾種截面形狀的速度分布和流量公式。 1. 矩形截面 若矩形截面的邊長分別為2a和2b，軸沿流動方向，坐標原點與矩形中心重合，則矩形截面充分發(fā)展管流的運動方程和邊界條件為： ()邊界條件為 ()根據(jù)流動情況，設(shè)方程（）的解為 ()式中為待定函數(shù)，由式（）和式（）得出，它所滿足的方程和邊界條件為 () ()方程（）為矩形域上Laplace方程的Dirichlet問題，可用分離變量法求解。令的解為 ()則方程（）可寫成 ()式中撇號表示對各自自變量的導(dǎo)數(shù)，因上式等號兩邊只與自己的自變量有關(guān)，故只能等于某一常數(shù)，因而滿足的方程和邊界條件為 ()為使方程（）由非零解，常數(shù)必取正值，故用的平方。 因是的偶函數(shù)，故方程（）的解為 ()而 ()按方程（），函數(shù)應(yīng)滿足的方程和邊界條件為 ()方程（）的解為 ()根據(jù)邊界條件的對成性，常數(shù)將式（）和式（）代入式（），得 ()按邊界條件，在處，上式變?yōu)? ()其中 ()利用在（b，b）域上的正交性及完備性，把在（b，b）域上展成的級數(shù) ()式中 ()比較式（）和式（），應(yīng)為 ()代入式（），則速度分布為 ()流量 ()2．橢圓形截面 設(shè)橢圓形截面的長半軸為a，短半軸為b，則截面形狀方程為運動方程仍為式（）. 解方程（），得速度分布為 ()流量 ()3．等邊三角形截面 若等邊三角形截面的邊長為a，解得速度分布為 ()流量為 ()4. 同心圓環(huán)截面若同心圓環(huán)的外環(huán)半徑為a，內(nèi)環(huán)半徑為b，則截面形狀在其坐標系中的表達式為解柱坐標形式的動量方程，得速度分布為 ()流量為 () 同軸旋轉(zhuǎn)圓柱面間的流動設(shè)兩同軸旋轉(zhuǎn)圓柱面的半徑、轉(zhuǎn)速和壁溫分別為和，中間充滿不可壓流體，如圖615所示。 圖615同軸圓柱面之間的流動假定圓柱很長，忽略質(zhì)量力和端部的影響，可看作平面運動。 取坐標系，根據(jù)流動分析，流動具有軸對稱性，速度和壓力只隨半徑變化。 即故基本方程為 () () ()邊界條件為 ()方程（）是Euler型方程，其解為 ()式中、為特定常數(shù)。上式表示兩同心圓柱面間的流動速度相當于由剛體旋轉(zhuǎn)的切向速度和理想流體中的直線渦的誘導(dǎo)速度迭加而成。根據(jù)邊界條件，積分常數(shù)為故速度為 ()把代入方程（），積分得壓力分布為 ()積分常數(shù)按特定邊界上的壓力確定。根據(jù)速度分布，摩擦應(yīng)力為 ()半徑為r的單位長液柱所受的摩擦力矩為 ()上式表示摩擦力矩與內(nèi)外圓柱面半徑有關(guān)，而與該柱所在半徑r無關(guān)，故內(nèi)外圓柱面所受的摩擦力矩大小相等，方向相反。 把式（）代入能量方程（），積分得溫度分布為： () （）式中 圖616和圖617分別給由計算所得的速度和溫度分布。圖616僅內(nèi)圓柱旋轉(zhuǎn)時的速度分布圖617同軸圓筒間的溫度分布討論：1). 按照速度分布式（），當趨于零和，只有外圓柱以等角速度旋轉(zhuǎn)時，可求得這相當于流體繞z軸作剛體轉(zhuǎn)動，無變形，無內(nèi)摩擦。2). 若，而時，則結(jié)果也相當于剛體轉(zhuǎn)動。3). 若和時，相當于內(nèi)圓柱在無界介質(zhì)中作等速旋轉(zhuǎn)，可求得其中 這種流動相當于強度為的點渦在理想流場中的誘導(dǎo)速度場。 流體雖在粘性力作用下作旋轉(zhuǎn)和變形運動，但流體質(zhì)點并不旋轉(zhuǎn)。 這是粘性流體作無旋運動的特例。 旋轉(zhuǎn)圓盤附近的流動(1921)研究了旋轉(zhuǎn)圓盤附近的流動，并用N—S方程作了解析解。 如圖618所示，假定半徑為無限大的平面圓盤在不可壓流體中以等角速度旋轉(zhuǎn)，忽略質(zhì)量力。 圖618旋轉(zhuǎn)圓盤附近的流動由于粘性，圓盤帶動圓盤附近的流體旋轉(zhuǎn)，離心力的作用使流體產(chǎn)生徑向分速，壓力下降。 為補充徑向分速流出的流體，自然出現(xiàn)軸向分速最終形成軸對稱螺旋形流動。 在慣性坐標系中，速度分量為，流動為軸對稱，故流動各量不隨軸向角變化。 基本微分方程為： () () () ()邊界條件 ()方程()中，是二階微商，p是一階微熵，要有七個邊界條件才能適定。 邊界條件不夠，因此在求解之前必須對流動作進一步的分析，作出合理的假定。 顯然，決定流動速度和壓力分布的因素是圓盤旋轉(zhuǎn)速度，流體粘性系數(shù)及空間點的坐標r和z，故可得速度和壓力為 () 下面先估算圓盤旋轉(zhuǎn)帶動的粘性層厚度。 因為距旋轉(zhuǎn)軸距離為r的粘性層流體單位體積所受的離心力為，所以在底面積為、高為粘性層厚度的流體元上，所受的離心力為。 同一流體元還受到圓盤面上切應(yīng)力的作用，這個力與流體流動方向相反且與周向速度成一角度，比如。 該流體元的切應(yīng)力的徑向分量必與離心力平衡，因此或 ()另一方面，切應(yīng)力的周向分量必須正比于壁面上周向速度的軸向梯度，其數(shù)量級(以符號“～”表示數(shù)量級)關(guān)系為 ()從以上兩個方程中消去，得因為圓盤半徑無限大，所以緊貼壁面流體流動的方向與半徑r無關(guān)，故圓盤帶動的流體厚度為 ()將上式代入式（），得圓盤上的摩擦應(yīng)力為 () 為了求解方程()，根據(jù)切向應(yīng)力引起，離心力引起，和圓盤無限大的流動特點，Von—Karman假設(shè) ()對上式應(yīng)用定理，選為量綱獨立量，得可見，是無量自變量，用表示為 ()因此，式（）可寫成 ()將式（）和（）分別代入方程（）各式，因為則方程（）各式變?yōu)? ()邊界條件為 ()先從()的前三式求，然后代入第四式求P。 方程()是非線性常微分方程，不易求解,可用數(shù)值積分或冪級數(shù)法。 Karman(1921)用數(shù)值積分法求得近似解，以后Cochran(1934)得到更精確的數(shù)值結(jié)果，計算結(jié)果示于圖619和61表中。計算表明，當v很小時，隨增大，F(xiàn)和G迅速趨于零，具有邊界層特性. 只在圓盤附近明顯，在粘性影響范圍內(nèi)，壓力變化的量級為。流體從遠處吸向圓盤，并向周圍拋出，旋轉(zhuǎn)圓盤相當于離心泵的作用。各函數(shù)的邊界值為 （相當于邊界層外邊界）雖然上述結(jié)果是假設(shè)圓盤無限大的條件下導(dǎo)出的，但只要圓盤半徑比邊界層厚度大得多，可忽略圖盤周邊的影響，仍可用上述結(jié)果計算有限大圓盤的摩擦力矩。 壁面摩擦應(yīng)力為 ()圖619函數(shù)的分布半徑為R的圓盤兩面所受的力矩和力矩系數(shù)分別為 ()式中