建坐標(biāo)系解立體幾何含解析資料(編輯修改稿)
2025-07-14 02:07 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 A1AD的一個(gè)法向量. 由(Ⅰ)知AB1⊥平面A1BD, ∴為平面A1BD的法向量. cosn,===. ∴二面角AA1DB的大小為arccos. 7.解法一:(Ⅰ)∵AC=BC=a, ∴△ACB是等腰三角形, 又D是AB的中點(diǎn), ∴CD⊥AB, 又VC⊥底面ABC,∴VC⊥AB, 于是AB⊥平面VCD, 又AB?平面VAB, ∴平面VAB⊥平面VCD. (Ⅱ)過(guò)點(diǎn)C在平面VCD內(nèi)作CH⊥VD于H, 則由(Ⅰ)知CH⊥平面VAB. 連結(jié)BH, 于是∠CBH就是直線BC與平面VAB所成的角. 依題意∠CBH=, 所以在Rt△CHD中, CH=asin θ。在Rt△BHC中, CH=asin=, ∴sin θ=, ∵0θ, ∴θ=. 故當(dāng)θ=時(shí), 直線BC與平面VAB所成的角為. 解法二:(Ⅰ)以CA、CB、CV所在的直線分別為x軸、y軸、z軸, 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系, 則C(0, 0, 0), A(a, 0, 0), B(0, a, 0), D, V. 于是, ===(a, a, 0). 從而=(a, a, 0)=a2+a2+0=0, 即AB⊥CD. 同理=(a, a, 0)=a2+a2+0=0, 即AB⊥VD. 又CD∩VD=D, ∴ AB⊥平面VCD, 又AB?平面VAB, ∴ 平面VAB⊥平面VCD. (Ⅱ)設(shè)平面VAB的一個(gè)法向量為n=(x, y, z), 則由得可取n=(1, 1, cot θ), 又=(0, a, 0), 于是sin===sin θ, 即sin θ=, ∵ 0θ, ∴ θ=. 故當(dāng)θ=時(shí), 直線BC與平面VAB所成的角為. 解法三:(Ⅰ)以點(diǎn)D為原點(diǎn), 以DC、DB所在的直線分別為x軸、y軸, 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系, 則D(0, 0, 0), A,B,C,V, 于是===(0,a,0),從而=(0 a,0)=0, 即AB⊥DC. 同理=(0, a, 0)=0, 即AB⊥DV. 又DC∩DV=D, ∴ AB⊥平面VCD. 又AB?平面VAB, ∴ 平面VAB⊥平面VCD. (Ⅱ)設(shè)平面VAB的一個(gè)法向量為n=(x, y, z), 則由得取n=(tan θ, 0, 1), 又=, 于是sin===sin θ, 即sin θ=. ∵ 0θ, ∴ θ=. 故當(dāng)θ=時(shí), 直線BC與平面VAB所成的角為. 8. 解法一:(Ⅰ)取CD中點(diǎn)O, 連OB, OM, 則OB⊥CD, OM⊥CD. 又平面MCD⊥平面BCD, 則MO⊥平面BCD, 所以MO∥AB, A、B、O、M共面. 延長(zhǎng)AM、BO相交于E, 則∠AEB就是AM與平面BCD所成的角. OB=MO=, MO∥AB, 則==, EO=OB=, 所以EB=2=AB, 故∠AEB=45176。. ∴直線AM與平面BCD所成角的大小為45176。. (Ⅱ)CE是平面ACM與平面BCD的交線. 由(Ⅰ)知, O是BE的中點(diǎn), 則BCED是菱形. 作BF⊥EC于F, 連AF, 則AF⊥EC, ∠AFB就是二面角AECB的平面角, 設(shè)為θ. 因?yàn)椤螧CE=120176。, 所以∠BCF=60176。. BF=BCsin 60176。=, tan θ==2, sin θ=. 所以, 所求二面角的正弦值是. 解法二:取CD中點(diǎn)O, 連OB, OM, 則OB⊥CD, OM⊥CD, 又平面MCD⊥平面BCD, 則MO⊥平面BCD. 以O(shè)為原點(diǎn), 直線OC、BO、OM為x軸、y軸、z軸, 建立空間直角坐標(biāo)系如圖. OB=OM=, 則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為O(0, 0, 0), C(1, 0, 0), M(0, 0, ), B(0, , 0), A(0, , 2), (Ⅰ)設(shè)直線AM與平面BCD所成的角為α. 因=(0, , ), 平面BCD的法向量為n=(0, 0, 1). 則有sin α=cos, n===, 所以α=45176。. ∴直線AM與平面BCD所成角的大小為45176。. (Ⅱ)=(1, 0, ), =(1, , 2). 設(shè)平面ACM的法向量為n1=(x, y, z), 由得解得x=z, y=z, 取n1=(, 1, 1). 平面BCD的法向量為n=(0, 0, 1). 則cosn1, n==. 設(shè)所求二面角為θ, 則sin θ==. 所以, 所求二面角的正弦值是. :(Ⅰ)因?yàn)镻D⊥平面ABCD, BC?平面ABCD, 所以PD⊥BC. 由∠BCD=90176。, 得BC⊥DC. 又PD∩DC=D, PD?平面PCD, DC?平面PCD, 所以BC⊥平面PCD. 因?yàn)镻C?平面PCD, 所以PC⊥BC. (Ⅱ)連結(jié)AC. 設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為h. 因?yàn)锳B∥DC, ∠BCD=90176。, 所以∠ABC=90176。. 從而由AB=2, BC=1, 得△ABC的面積S△ABC=1. 由PD⊥平面ABCD及PD=1, 得三棱錐PABC的體積V=S△ABCPD=. 因?yàn)镻D⊥平面ABCD, DC?平面ABCD, 所以PD⊥DC. 又PD=DC=1, 所以PC==. 由PC⊥BC, BC=1, 得△PBC的面積S△PBC=. 由V=S△PBCh=h=, 得h=. 因此, 點(diǎn)A到平面PBC的距離為. 解法二:建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系Dxyz, 則P(0, 0, 1), C(0, 1, 0), B(1, 1, 0). (Ⅰ)=(0, 1, 1), =(1, 0, 0). ∵=0(1)+10+(1)0=0, ∴PC⊥BC. (Ⅱ)設(shè)平面PBC的法向量n=(x, y, z), 則有即令y=1得n=(0, 1, 1). 又因?yàn)锳(1, 1, 0), =(0, 2, 0), 所以點(diǎn)A到平面PBC的距離d===. 解法三:(Ⅱ)取AB中點(diǎn)E, 連DE, 則DE∥BC, DE∥面PBC, 則A點(diǎn)到面PBC的距離等于E點(diǎn)到面PBC距離的2倍, 即等于點(diǎn)到面PBC距離的2倍. 過(guò)D作DH⊥PC, 則DH⊥面PBC. 在Rt△PCD中, DH=, ∴A到面PBC的距離為. :(Ⅰ)連結(jié)A1B, 記A1B與AB1的交點(diǎn)為F. 因?yàn)槊鍭A1B1B為正方形, 故A1B⊥AB1, 且AF=FB1. 又AE=3EB1, 所以FE=EB1. 又D為BB1的中點(diǎn), 故DE∥BF, DE⊥AB1. 作CG⊥AB, G為垂足, 由AC=BC知, G為AB中點(diǎn). 又由底面ABC⊥面AA1B1B, 得CG⊥面AA1B1B. 連結(jié)DG, 則DG∥AB1, 故DE⊥DG, 由三垂線定理, 得DE⊥CD. 所以DE為異面直線AB1與CD的公垂線. (Ⅱ)因?yàn)镈G∥AB1, 故∠CDG為異面直線AB1與CD的夾角, ∠CDG=45176。. 設(shè)AB=2, 則AB1=2, DG=, CG=, AC=. 作B1H⊥A1C1, H為垂足. 因?yàn)榈酌鍭1B1C1⊥面AA1C1C, 故B1H⊥面AA1C1C, 又作HK⊥AC1, K為垂足, 連結(jié)B1K, 由三垂線定理, 得B1K⊥AC1, 因此∠B1KH為二面角A1AC1B1的平面角. B1H==, HC1==, AC1==, HK==, tan∠B1KH==, 所以二面角A1AC1B1的大小為arctan
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