建坐標(biāo)系解立體幾何含解析資料(已修改)
2025-06-29 02:07 本頁面
【正文】 立體幾何——建坐標(biāo)系1. 如圖,四棱錐SABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,側(cè)面SAB為等邊三角形. AB=BC=2,CD=SD=1. (Ⅰ)證明:SD⊥平面SAB。(Ⅱ)求AB與平面SBC所成的角的大小. 2. 如圖,在四面體ABOC中, OC⊥OA, OC⊥OB, ∠AOB=120176。,且OA=OB=OC=1. (Ⅰ)設(shè)P為AC的中點(diǎn), Q在AB上且AB=3AQ. 證明:PQ⊥OA。(Ⅱ)求二面角OACB的平面角的余弦值. , 在正三棱柱ABCA1B1C1中, AB=4,AA1=,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),點(diǎn)E在AC上,且DE⊥A1E. (Ⅰ)證明:平面A1DE⊥平面ACC1A1。(Ⅱ)求直線AD和平面A1DE所成角的正弦值. , 在直三棱柱ABCA1B1C1中, AB=1, AC=AA1=,∠ABC=60176。. (Ⅰ)證明:AB⊥A1C。(Ⅱ)求二面角AA1CB的大小. , 底面BCDE為矩形, 側(cè)面ABC⊥底面BCDE, BC=2, CD=, AB=AC. (Ⅰ)證明:AD⊥CE。(Ⅱ)設(shè)側(cè)面ABC為等邊三角形, 求二面角CADE的大小. , 正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長都為2, D為CC1中點(diǎn). (Ⅰ)求證:AB1⊥平面A1BD。(Ⅱ)求二面角AA1DB的大小. , 在三棱錐VABC中, VC⊥底面ABC, AC⊥BC, D是AB的中點(diǎn), 且AC=BC=, ∠VDC=θ. (Ⅰ)求證:平面VAB⊥平面VCD。(Ⅱ)試確定θ的值, 使得直線BC與平面VAB所成的角為. , △BCD與△MCD都是邊長為2的正三角形, 平面MCD⊥平面BCD, AB⊥平面BCD, AB=2. (Ⅰ)求直線AM與平面BCD所成角的大小。(Ⅱ)求平面ACM與平面BCD所成二面角的正弦值. , 在四棱錐PABCD中, PD⊥平面ABCD, PD=DC=BC=1, AB=2, AB∥DC, ∠BCD=90176。. (Ⅰ)求證:PC⊥BC。(Ⅱ)求點(diǎn)A到平面PBC的距離. , 直三棱柱ABCA1B1C1中, AC=BC, AA1=AB, D為BB1的中點(diǎn), E為AB1上的一點(diǎn), AE=3EB1. (Ⅰ)證明:DE為異面直線AB1與CD的公垂線。(Ⅱ)設(shè)異面直線AB1與CD的夾角為45176。, 求二面角A1AC1B1的大小. , 四棱錐SABCD中, 底面ABCD為矩形, SD⊥底面ABCD, AD=, DC=SD=2. 點(diǎn)M在側(cè)棱SC上, ∠ABM=60176。. (Ⅰ)證明:M是側(cè)棱SC的中點(diǎn)。(Ⅱ)求二面角SAMB的大小. , 直三棱柱ABCA1B1C1中, AB⊥AC, D、E分別為AAB1C的中點(diǎn), DE⊥平面BCC1. (Ⅰ)證明:AB=AC。(Ⅱ)設(shè)二面角ABDC為60176。, 求B1C與平面BCD所成的角的大小. , 四棱錐PABCD的底面是正方形, PD⊥底面ABCD,點(diǎn)E在棱PB上. (Ⅰ)求證:平面AEC⊥平面PDB。(Ⅱ)當(dāng)PD=AB且E為PB的中點(diǎn)時(shí),求AE與平面PDB所成的角的大小. 14. 如圖, 在四棱錐PABCD中, 底面ABCD是矩形, PA⊥平面ABCD, PA=AD=4, AB=、BD為直徑的球面交PD于點(diǎn)M. (Ⅰ)求證:平面ABM⊥平面PCD。(Ⅱ)求直線PC與平面ABM所成的角。(Ⅲ)求點(diǎn)O到平面ABM的距離. , 四棱錐SABCD的底面是正方形, SD⊥平面ABCD, SD=2a, AD=, 點(diǎn)E是SD上的點(diǎn), 且DE=(0λ≤2). (Ⅰ)求證:對任意的λ∈(0, 2],都有AC⊥BE。(Ⅱ)設(shè)二面角CAED的大小為, 直線BE與平面ABCD所成的角為. 若, 求λ的值. , 在五面體ABCDEF中, AB∥DC, ∠BAD=, CD=AD=2. 四邊形ABFE為平行四邊形, FA⊥平面ABCD, FC=3, ED=. 求:(Ⅰ)直線AB到平面EFCD的距離。(Ⅱ)二面角FADE的平面角的正切值. , 設(shè)動點(diǎn)P在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1的對角線BD1上, 記. 當(dāng)∠APC為鈍角時(shí), 求的取值范圍. 答案與解析:(Ⅰ)取AB中點(diǎn)E, 連結(jié)DE, 則四邊形BCDE為矩形, DE=CB=2. 連結(jié)SE, 則SE⊥AB, SE=. 又SD=1, 故ED2=SE2+SD2, 所以∠DSE為直角. (3分)由AB⊥DE, AB⊥SE, DE∩SE=E, 得AB⊥平面SDE, 所以AB⊥SD, SD與兩條相交直線AB、SE都垂直, 所以SD⊥平面SAB. (6分)(Ⅱ)由AB⊥平面SDE知, 平面ABCD⊥平面SDE. 作SF⊥DE, 垂足為F, 則SF⊥平面ABCD, SF==. 作FG⊥BC, 垂足為G, 則FG=DC=1. 連結(jié)SG, 則SG⊥BC. 又BC⊥FG, SG∩FG=G, 故BC⊥平面SFG, 平面SBC⊥平面SFG. (9分)作FH⊥SG, H為垂足, 則FH⊥平面SBC. FH==, 即F到平面SBC的距離為. 由于ED∥BC, 所以ED∥平面SBC, E到平面SBC的距離d也為. 設(shè)AB與平面SBC所成的角為α, 則sin α==, α=arcsin. (12分)解法二:以C為坐標(biāo)原點(diǎn), 射線CD為x軸正半軸, 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz. 設(shè)D(1, 0, 0), 則A(2, 2, 0)、B(0, 2, 0). 又設(shè)S(x, y, z), 則x0, y0, z0. (Ⅰ)=(x2, y2, z), =(x, y2, z), =(x1, y, z), 由||=||得=, 故x=1. 由||=1得y2+z2=1, 又由||=2得x2+(y2)2+z2=4, 即y2+z24y+1=0, 故y=, z=. (3分)于是S, =, ===0, =0. 故DS⊥AS, DS⊥BS, 又AS∩BS=S, 所以SD⊥平面SAB. (6分)(Ⅱ)設(shè)平面SBC的法向量a=(m, n, p), 則a⊥, a⊥, a=0, a=0. 又==(0, 2, 0), 故(9分)取p=2得a=(, 0, 2). 又=(2, 0, 0), cos, a==. 故AB與平面SBC所成的角為arcsin. (12分):(Ⅰ)在平面OAB內(nèi)作ON⊥OA交AB于N, 連結(jié)CN. 在△AOB中, ∵∠AOB=120176。且OA=OB, ∴∠OAB=∠OBA=30176。. 在Rt△AON中, ∵∠OAN=30176。, ∴ON=AN. 在△ONB中, ∵∠NOB=120176。90176。=30176。=∠OBN, ∴NB=ON=AN. 又AB=3AQ, ∴Q為AN的中點(diǎn). 在△CAN中, ∵P, Q分別為AC, AN的中點(diǎn), ∴PQ∥CN. 由OA⊥OC, OA⊥ON知:OA⊥平面CON. 又NC?平面CON, ∴OA⊥CN. 由PQ∥CN, 知OA⊥PQ. (Ⅱ)連結(jié)PN, PO. 由OC⊥OA,
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