【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 28,3434xxx?????，85∵ cosOAB?????，且 ??12120222xyxxy?????，2120221204?????????220222202288334xx??????22022x???.∴ AOB?的大小為 9?.【解法 2】 （Ⅰ）同解法 1.（Ⅱ）點(diǎn) ??00,Pxy?在圓 2xy??上，圓在點(diǎn) 0,處的切線方程為 ??0x?，化簡(jiǎn)得 02xy??.由201yx??????及 20y??得??2202248?? ①0xyx? ②∵切線 l與雙曲線 C 交于不同的兩點(diǎn) A、B ，且 20x?，∴ 2034x??，設(shè) A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 ??12,y，則220222188,34xy???，∴ 12OABx????，∴ AOB?的大小為 90?.（∵ 20y?且 0?，∴ 220,xy??，從而當(dāng) 2034x??時(shí)，方程①和方程②的判別式均大于零）.45.（2022 江蘇卷） （本題滿分 10 分）85在平面直角坐標(biāo)系 xoy中，拋物線 C 的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（2，2） ，其焦點(diǎn) F 在 x軸上。（1 ）求拋物線 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2 ）求過(guò)點(diǎn) F，且與直線 OA 垂直的直線的方程；（3 ）設(shè)過(guò)點(diǎn) (,0)Mm?的直線交拋物線 C 于 D、E 兩點(diǎn)，ME=2DM，記 D 和 E 兩點(diǎn)間的距離為 ()f，求 ()fm關(guān)于 的表達(dá)式。 46.(2022 山東卷理)（本小題滿分 14 分）設(shè)橢圓 E: 21xyab??（a,b0）過(guò) M（2 ， ） ，N ( 6,1)兩點(diǎn)，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，（I）求橢圓 E 的方程；（II ）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓 E 恒有兩個(gè)交點(diǎn) A,B,且OAB???？若存在，寫(xiě)出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說(shuō)明理由。解: （ 1）因?yàn)闄E圓 E: 21xyab??（a, b0）過(guò) M（2 ， ） ，N ( 6,1)兩點(diǎn),85所以2416ab??????解得284a????所以2b????橢圓 E 的方程為2184xy??（2 ）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓 E 恒有兩個(gè)交點(diǎn) A,B,且OAB???,設(shè)該圓的切線方程為 ykxm??解方程組 2184xykm??????得 22()8xk??,即 22(1)480kxm???, 則△= 26(1))()0kk???,即 20km??1228xmk???????, 22221212112(8)48())()11kmkmkyxkxmx??????????要使 OAB???,需使 120y,即2280k?,所以 230,所以2380mk???又 4k??,所以 23m????,所以 28,即 6m?或63?,因?yàn)橹本€ yx?為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,所以圓的半徑為21mrk??,22831rmk??, 263r?,所求的圓為 283xy??,此時(shí)圓的切線 yx都滿足 26?或 ?,而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為263??與橢圓2184y??的兩個(gè)交點(diǎn)為 26(,)3?或 26(,)3??滿足OAB???,綜上 , 存在圓心在原點(diǎn)的圓 28xy??，使得該圓的任意一條切線與橢圓 E 恒有兩個(gè)交點(diǎn) A,B,且 O??.85因?yàn)?2248kmx???????,所以2222211148(4)()()()11kmkmxx???????????,?? 22222111()|()())AByxk4224353[]kk?????, ①當(dāng) 0?時(shí) 21|[]ABk因?yàn)?2148k??所以 20224k???,所以 23[]k?,所以 46|33AB?當(dāng)且僅當(dāng) 2k??時(shí)取”=”. ② 當(dāng) 0k?時(shí), 46|.③ 當(dāng) AB 的斜率不存在時(shí), 兩個(gè)交點(diǎn)為 26(,)3?或 26(,)3??,所以此時(shí) 46|3AB?,綜上, |AB |的取值范圍為 |23AB?即: 4|[6,23]?【命題立意】:本題屬于探究是否存在的問(wèn)題,主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的確定,直線與橢圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系和待定系數(shù)法求方程的方法,能夠運(yùn)用解方程組法研究有關(guān)參數(shù)問(wèn)題以及方程的根與系數(shù)關(guān)系.47. (2022 山東卷文)（本小題滿分 14 分）設(shè) mR?,在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量 (,1)amxy???,向量 (,1)bxy???, ab??,動(dòng)點(diǎn)85(,)Mxy的軌跡為 E.（1 ）求軌跡 E 的方程,并說(shuō)明該方程所表示曲線的形狀。 （2 ）已知 41?m,證明:存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡 E 恒有兩個(gè)交點(diǎn) A,B,且 O?(O 為坐標(biāo)原點(diǎn)),并求出該圓的方程。(3)已知 ,設(shè)直線 l與圓 C: 22xyR??(1R2)相切于 A1,且 l與軌跡 E 只有一個(gè)公共點(diǎn)B1,當(dāng) R 為何值時(shí),|A 1B1|取得最大值?并求最大值.解（1）因?yàn)?ab?, (,)m?, (,)b??,所以 20xy???, 即 21xy??. 當(dāng) m=0 時(shí), 方程表示兩直線 ,方程為 ?。當(dāng) 1?時(shí), 方程表示的是圓當(dāng) 0?且 ?時(shí),方程表示的是橢圓。 當(dāng) ?時(shí),方程表示的是雙曲線.(2).當(dāng) 41?m時(shí), 軌跡 E 的方程為214xy??,設(shè)圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線為 ykxt??,解方程組 21ykxt?????得 22()kxt,即 22(4)840kxt??,要使切線與軌跡 E 恒有兩個(gè)交點(diǎn) A,B, 則使△= 22264(4)16(4)0ktktkt?????,即 210t??,即 2t??, 且12284ktx???????22221212112()84()()141ktkttkykxtkxtxt ??????,要使 OAB???, 需使 120y?,即2250t?,所以 2540tk??, 即 254tk且 241tk?, 即 2245k??恒成立.85所以又因?yàn)橹本€ ykxt??為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,所以圓的半徑為 21trk,224(1)5ktr??, 所求的圓為 245xy??.當(dāng)切線的斜率不存在時(shí),切線為 5?x,與24xy交于點(diǎn) ),5(?或)52,(??也滿足 OAB?.綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓 25xy??，使得該圓的任意一條切線與橢圓 E 恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且??.(3)當(dāng) 41?m時(shí) ,軌跡 E 的方程為214xy??,設(shè)直線 l的方程為 ykxt??,因?yàn)橹本€ l與圓 C:22xyR?(1R2)相切于 A1, 由（2 ）知 2tRk?, 即 22(1)tR ①,因?yàn)?l與軌跡 E 只有一個(gè)公共點(diǎn) B1,由（2）知 24ykxt??????得 224()kxt?,即 22(1)80kxt?有唯一解則△= 26(1)16(4)0ktkt???, 即 2410kt???, ②由①②得222341Rtk??????, 此時(shí) A,B 重合為 B1(x1,y1)點(diǎn), 由12284txk??????? 中 21x?,所以,2214163tRk???, B1(x1,y1)點(diǎn)在橢圓上 ,所以2221143yxR,所以 221124| 5OBxyR???,85在直角三角形 OA1B1 中, 2222211144||||55()AOBAR?????因?yàn)?4R??當(dāng)且僅當(dāng) (,)?時(shí)取等號(hào),所以 1||1B??,即當(dāng) (,)??時(shí)|A 1B1|取得最大值,最大值為 1.【命題立意】:本題主要考查了直線與圓的方程和位置關(guān)系,以及直線與橢圓的位置關(guān)系,可以通過(guò)解方程組法研究有沒(méi)有交點(diǎn)問(wèn)題,有幾個(gè)交點(diǎn)的問(wèn)題.48.（2022 全國(guó)卷Ⅱ文） （本小題滿分 12 分）)0(12???bayx 32（Ⅰ）求 a,b 的值；（Ⅱ）C 上是否存在點(diǎn) P，使得當(dāng) l 繞 F 轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有 成立？若存在，求出所有的 P 的坐標(biāo)與 l 的方程；若不存在，說(shuō)明理由。解析：本題考查解析幾何與平面向量知識(shí)綜合運(yùn)用能力，第一問(wèn)直接運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式以及橢圓有關(guān)關(guān)系式計(jì)算，第二 問(wèn)利用向量坐標(biāo)關(guān)系及方程的思想，借助根與系數(shù)關(guān)系解決問(wèn)題，注意特殊情況的處 理。解（Ⅰ）設(shè) ??,0cF 當(dāng) l的斜率為 1 時(shí)，其方程為 Ocyx,0??到 l的距離為 2??， 故 2?c， 1c 由 3ace，得 3a， 2ab?=（Ⅱ）C 上存在點(diǎn) P，使得當(dāng) l繞 F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有 OBAP??成立。由 （Ⅰ）知 C 的方程為 2x+ y=6. 設(shè) ).,(),(21yxBA(ⅰ) ??kll的 方 程 為軸 時(shí) ， 設(shè)不 垂 直當(dāng)　C OBP??使上 的 點(diǎn) 成立的充要條件是 ）點(diǎn) 的 坐 標(biāo) 為 （ 2121,yxP?， 且 6)(3)(22121?yx整理得 6421212??yxx3,12??yCBA上 ， 即在、又已知橢圓 C: 的離心率為 ，過(guò)右焦點(diǎn) F 的直線 l 與 C 相交于 A、B2兩點(diǎn)，當(dāng) l 的斜率為 1 時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn) O 到 l 的距離為 ???OBAP85故 032211??yx ①將 并 化 簡(jiǎn) 得代 入 ,6)(2??xky6322?kx 于是 2213?, 1x= 23k??, 22121 4)(xky?代入①解得， ?，此時(shí) 31??x于是 )2(121?xky= k?， 即 )2,(kP? 因此， 當(dāng) ?時(shí)， ,3(， 02??yxl的 方 程 為 ； 當(dāng) 2k時(shí)， )2,(?P， 2?l的 方 程 為 。（ⅱ）當(dāng) l垂直于 x軸時(shí)，由 )0,(??OBA知， C 上不存在點(diǎn) P 使 OBA??成立。綜上， C 上存在點(diǎn) )2,3(?P使 成立，此時(shí) l的方程為 0??yx.49.（ 2022 廣 東 卷 理 ） （本小題滿分 14 分）已知曲線 2:C?與直線 :2l?交于兩點(diǎn) (,)Axy和 (,)Bxy，且 ABx?．記曲線 在點(diǎn) A和點(diǎn) B之間那一段 L與線段 所圍成的平面區(qū)域（含邊界）為 D．設(shè)點(diǎn) (,)Pst是 L上的任一點(diǎn)，且點(diǎn) P與點(diǎn) 和點(diǎn) 均不重合．（1 ）若點(diǎn) Q是線段 的中點(diǎn)，試求線段 Q的中點(diǎn) M的軌跡方程；（2 ）若曲線 22251:40Gxaya???與 D有公共點(diǎn)，試求 a的最小值．解（1）聯(lián)立 y?與 得 ,?BAx，則 A中點(diǎn) )25,1(Q，85設(shè)線段 PQ的中點(diǎn) M坐標(biāo)為 ),(yx，則 25,1tys??，即 25,1??ytxs，又點(diǎn) 在曲線 C上，∴ 2)1(52??xy化簡(jiǎn)可得 812??，又點(diǎn) P是 L上的任一點(diǎn)，且不與點(diǎn) A和點(diǎn) B重合，則 ?x，即 45?x，∴中點(diǎn) M的軌跡方程為 2?y（ 4）. （2 ）曲線 22251:40Gxaya???，即圓 E： 9)()(，其圓心坐標(biāo)為 )2,(aE，半徑 57?r由圖可知，當(dāng) 20?時(shí)，曲線 2 1:40Gxy??與點(diǎn) D有公共點(diǎn)；當(dāng) ?a時(shí)，要使曲線 2225:xaya?與點(diǎn) 有公共點(diǎn)，只需圓心E到直線 :0lxy???的距離 7||| ???d，得 052???a，則 的最小值為 527.50.（2022 安徽卷理） （本小題滿分 13 分） 點(diǎn) 0(,)Pxy在橢圓21(0)xyab???上， 00cos,in,.2xayb?????直線2l與直線 012:lab垂直，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線 OP 的傾斜角為 ?，直線 l的傾斜角為 ?.（I）證明: 點(diǎn) P是橢圓21xy??與直線 1l的唯一交點(diǎn)； xyoxA xBD85（II ）證明: tan,ta???構(gòu)成等比數(shù)列.解析：本小題主要考查直線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和參數(shù)方程，直線和曲線的幾何性質(zhì)，等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)?？疾榫C合運(yùn)用知 識(shí)分析問(wèn)題、解決 問(wèn)題的能力。本小題滿分 13 分。證明 （I） （方法一）由 021xyab??得200(),baxy?代入橢圓21xyab??,得2202221()()bxayy???.將 0cosin?????代入上式,得 22coscs0,xax????從而 ?因此, 方程組2021xyab????有唯一解 0y????,即直線 1l與橢圓有唯一交點(diǎn) P. (方法二) 顯然 P 是橢圓與 1l的交點(diǎn)，若 Q 11(cos,in),2ab?????是橢圓與 1l的交點(diǎn)，代入 1l的方程 cosinxyab???，得 1si,??即 1s(),??故 P 與 Q 重合。（方法三）在第一象限內(nèi)，由21xyab??可得 2200,bbaxyax???橢圓在點(diǎn) P 處的切線斜率 00220(),k??切線方程為200(),bxyya???即 021xyab?。因此， 1l就是橢圓在點(diǎn) P 處的切線。 根據(jù)橢圓切線的性質(zhì)，P 是橢圓與直線 1l的唯一交點(diǎn)。（II） 0tantan,ybx???1l的斜率為20,xbya?l的斜率