導數中雙變量的函數構造(編輯修改稿)
2025-06-12 03:43 本頁面
【文章內容簡介】 設g(x)＝－xe2－x－(x－2)ex，則g′(x)＝(x－1)(e2－x－ex)．所以當x1時，g′(x)0，而g(1)＝0，故當x1時，g(x)0.從而g(x2)＝f(2－x2)0，故x1＋x22.(x)＝ex－ax－1(a為常數)，曲線y＝f(x)在與y軸的交點A處的切線斜率為－1．(1)求a的值及函數y＝f(x)的單調區(qū)間；(3)若x1＜ln 2，x2＞ln 2，且f(x1)＝f(x2)，試證明：x1＋x2＜2ln 2．解：(1)由f(x)＝ex－ax－1，得f′(x)＝ex－a．又f′(0)＝1－a＝－1，所以a＝2，所以f(x)＝ex－2x－1，f′(x)＝ex－2．由f′(x)＝ex－2＞0，得x＞ln 2．所以函數y＝f(x)在區(qū)間(－∞，ln 2)上單調遞減，在(ln 2，＋∞)上單調遞增．(2)證明：設x＞ln 2，所以2ln 2－x＜ln 2，f(2ln 2－x)＝e(2ln 2－x)－2(2ln 2－x)－1＝＋2x－4ln 2－1．令g(x)＝f(x)－f(2ln 2－x)＝ex－－4x＋4ln 2(x≥ln 2)，所以g′(x)＝ex＋4e－x－4≥0，當且僅當x＝ln 2時，等號成立，所以g(x)＝f(x)－f(2ln 2－x)在(ln 2，＋∞)上單調遞增．又g(ln 2)＝0，所以當x＞ln 2時，g(x)＝f(x)－f(2ln 2－x)＞g(ln 2)＝0，即f(x)＞f(2ln 2－x)，所以f(x2)＞f(2ln 2－x2)，又因為f(x1)＝f(x2)，所以f(x1)＞f(2ln 2－x2)，由于x2＞ln 2，所以2ln 2－x2＜ln 2，因為x1＜ln 2，由(1)知函數y＝f(x)在區(qū)間(－∞，ln 2)上單調遞減，所以x1＜2ln 2－x2，即x1＋x2＜2ln 2．4．(2017沈陽質監(jiān))已知函數f(x)＝x2－aln x＋b(a∈R)．(1)若曲線y＝f(x)在x＝1處的切線的方程為3x－y－3＝0，求實數a，b的值；(2)若x＝1是函數f(x)的極值點，求實數a的值；(3)若－2≤a＜0，對任意x1，x2∈(0,2]，不等式|f(x1)－f(x2)|≤m恒成立，求m的最小值．解：(1)因為f(x)＝x2－aln x＋b，所以f′(x)＝x－，因為曲線y＝f(x)在x＝1處的切線的方程為3x－y－3＝0，所以即解得(2)因為x＝1是函數f(x)的極值點，所以f′(1)＝1－a＝0，所以a＝1．當a＝1時，f(x)＝
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