導(dǎo)數(shù)中雙變量的函數(shù)構(gòu)造-文庫吧資料
2025-05-22 03:43本頁面
【正文】 的切線的方程為,求實數(shù)a的值。全國乙卷)已知函數(shù)f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2有兩個零點．(1)求a的取值范圍；(2)設(shè)x1，x2是f(x)的兩個零點，證明：x1＋x22. 解：(1)f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a)．①設(shè)a＝0，則f(x)＝(x－2)ex，f(x)只有一個零點．②設(shè)a0，則當(dāng)x∈(－∞，1)時，f′(x)0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時，f′(x)0，所以f(x)在(－∞，1)內(nèi)單調(diào)遞減，在(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增．又f(1)＝－e，f(2)＝a，取b滿足b0且bln ，則f(b)(b－2)＋a(b－1)2＝a0，故f(x)存在兩個零點．③設(shè)a0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a)．若a≥－，則ln(－2a)≤1，故當(dāng)x∈(1，＋∞)時，f′(x)0，因此f(x)在(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增．又當(dāng)x≤1時，f(x)0，所以f(x)不存在兩個零點．若a－，則ln(－2a)1，故當(dāng)x∈(1，ln(－2a))時，f′(x)0；當(dāng)x∈(ln(－2a)，＋∞)時，f′(x)0.因此f(x)在(1，ln(－2a))內(nèi)單調(diào)遞減，在(ln(－2a)，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增．又當(dāng)x≤1時，f(x)0，所以f(x)不存在兩個零點．綜上，a的取值范圍為(0，＋∞)．(2)證明：不妨設(shè)x1x2，由(1)知，x1∈(－∞，1)，x2∈(1，＋∞)，2－x2∈(－∞，1)，又f(x)在(－∞，1)內(nèi)單調(diào)遞減，所以x1＋x22等價于f(x1)f(2－x2)，即f(2－x2)0.由于f(2－x2)＝－x2e2－x2＋a(x2－1)2，而f(x2)＝(x2－2)ex2＋a(x2－1)2＝0，所以f(2－x2)＝－x2e2－x2－(x2－2)ex2.設(shè)g(x)＝－xe2－x－(x－2)ex，則g′(x)＝(x－1)(e2－x－ex)．所以當(dāng)x1時，g′(x)0，而g(1)＝0，故當(dāng)x1時，g(x)0.從而g(x2)＝f(2－x2)0，故x1＋x22.(x)＝ex－ax－1(a為常數(shù))，曲線y＝f(x)在與y軸的交點A處的切線斜率為－1．(1)求a的值及函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)若x1＜ln 2，x2＞ln 2，且f(x1)＝f(x2)，試證明：x1＋x2＜2ln 2．解：(1)由f(x)＝ex－ax－1，得f′(x)＝ex－a．又f′(0)＝1－a＝－1，所以a＝2，所以f(x)＝ex－2x－1，f′(x)＝ex－2．由f′(x)＝ex－2＞0，得x＞ln 2．
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