導(dǎo)數(shù)中雙變量的函數(shù)構(gòu)造-在線瀏覽
2025-07-03 03:43本頁(yè)面
【正文】 x)＝ax2＋xln x，所以f′(x)＝2ax＋ln x＋1，因?yàn)榍芯€與直線x＋3y＝0垂直，所以切線的斜率為3，所以f′(1)＝3，即2a＋1＝3，故a＝1．(2)證明：要證ln n－ln m＞－，即證ln＞－，只需證ln －＋＞0．令＝x，構(gòu)造函數(shù)g(x)＝ln x－＋x(x≥1)，則g′(x)＝＋＋1．因?yàn)閤∈[1，＋∞)，所以g′(x)＝＋＋1＞0，故g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增．由已知n＞m＞0，得＞1，所以g＞g(1)＝0，即證得ln －＋＞0成立，所以命題得證．1．(2017石家莊質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝a－(x＞0)，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．(1)當(dāng)a＝0時(shí)，判斷函數(shù)y＝f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2(x1＜x2)，設(shè)t＝，證明：x1＋x2隨著t的增大而增大．解：(1)當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝－(x＞0)，f′(x)＝＝，令f′(x)＝0，得x＝2，當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，f′(x)＜0，y＝f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(2，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，y＝f(x)單調(diào)遞增，所以x＝2是函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn)，無(wú)極大值點(diǎn)，即函數(shù)y＝f(x)有一個(gè)極值點(diǎn)．(2)證明：令f(x)＝a－＝0，得x＝aex，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2(x1＜x2)，所以x1＝aex1，x＝aex2，可得ln x1＝ln a＋x1，取對(duì)數(shù)，做差將兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2(x1＜x2)，用t表示，注意的隱含范圍。．①令h(x)＝，x∈(1，＋∞)，則h′(x)＝．令u(x)＝－2ln x＋x－，得u′(x)＝2．當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，u′(x)＞0．因此，u(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，故對(duì)于任意的x∈(1，＋∞)，u(x)＞u(1)＝0，由此可得h′(x)＞0，故h(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增．因此，由①可得x1＋x2隨著t的增大而增大．2．(2016沈陽(yáng)質(zhì)監(jiān))已知函數(shù)f(x)＝x2－aln x＋b(a∈R)．(1)若曲線y＝f(x)在x＝1處的切線的方程為3x－y－3＝0，求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)若x＝1是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；(3)若－2≤a＜0，對(duì)任意x1，x2∈(0,2]，不等式|f(x1)－f(x2)|≤m恒成立，求m的最小值．解：(1)因?yàn)閒(x)＝x2－aln x＋b，所以f′(x)＝x－，因?yàn)榍€y＝f(x)在x＝1處的切線的方程為3x－y－3＝0，所以即解得(2)因?yàn)閤＝1是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，所以f′(1)＝1－a＝0，所以a＝1．
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