【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 3223側(cè)視圖俯視圖正視圖第 11 頁(yè) 共 22 頁(yè) A 1 C 1B 1BCAD第 （ 11 ） 題1 如圖，在正三棱柱 111 CBAABC ? 中， D 為棱 1AA 的中點(diǎn)，若截面 DBC1? 是面積為 6的直角三角形，則此三棱柱的體積為 . 答案 38 三：解答題 如圖，長(zhǎng)方體 1111 DCBAABCD ? 中，底面 1111 DCBA 是正方形， O 是 BD 的中點(diǎn)， E 是棱 1AA 上任意一點(diǎn)。 （ Ⅰ ）證明： BD 1EC? ； （ Ⅱ ） 如果 AB =2， AE = 2 ， 1ECOE? ,，求 1AA 的長(zhǎng)。 【解析】（ I）連接 AC ， 11/ / , , ,A E CC E A C C? 共面 長(zhǎng)方體 1111 DCBAABCD ? 中，底面 1111 DCBA 是正方形 ,AC BD EA BD AC EA A BD? ? ? ? ?面 1EACC 1BD EC?? （ Ⅱ ） 在矩形 11ACCA 中 ， 1 1 1O E E C O A E E A C? ? ? ? 得： 1 1 111 22 322 2 2A C A AAE AAA O E A ?? ? ? ? ? 如圖，三棱柱 ABC－ A1B1C1中，側(cè)棱垂直底面， ∠ ACB=90176。， AC=BC=12AA1， D 是 AA1的中點(diǎn) (Ｉ )證明：平面 BDC1⊥ 平 面 BDC （ Ⅱ ） 平面 BDC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比 . 【解析】 （ Ⅰ ）由題設(shè)知 BC⊥ 1CC ,BC⊥ AC， 1CC AC C??, ∴ BC? 面 11ACCA , 又 ∵ 1DC ? 面 11ACCA ， ∴ 1DC BC? , 由題設(shè)知 011 45A D C A D C? ? ? ?,∴ 1CDC? = 090 , 即 1DC DC? , 又 ∵ DC BC C??, ∴ 1DC ⊥ 面 BDC , ∵ 1DC ? 面 1BDC ， ∴ 面 BDC ⊥ 面 1BDC ； B1 C B A D C1 A1 第 12 頁(yè) 共 22 頁(yè) （ Ⅱ ）設(shè)棱錐 1B DACC? 的體積為 1V ， AC =1，由題意得， 1V = 1121132?? ? ?=12， 由三棱柱 1 1 1ABC A B C? 的體積 V =1， ∴ 11( ):V V V? =1:1， ∴ 平面 1BDC 分此棱柱為兩部分體積之比為 1:1. 如圖，在四棱錐 PABCD 中， PA⊥ 平面 ABCD， 底面 ABCD 是等腰梯形， AD∥ BC， AC⊥ BD. （ Ⅰ ）證明： BD⊥ PC； （ Ⅱ ）若 AD=4， BC=2，直線 PD 與平面 PAC 所成的角為 30176。， 求四棱錐 PABCD 的體積 . 解 ： （ Ⅰ ）因?yàn)?, , .P A A B CD B D A B CD P A B D? ? ?平 面 平 面 所 以 又 ,AC BD PA AC? 是平面 PAC 內(nèi)的兩條相較直線， 所以 BD? 平面 PAC，而 PC? 平面 PAC，所以 BD PC? . （ Ⅱ ）設(shè) AC 和 BD 相交于點(diǎn) O，連接 PO，由（ Ⅰ ）知， BD? 平面 PAC， 所以 DPO? 是直線 PD和平面 PAC 所成的角，從而 DPO? 30? . 由 BD? 平面 PAC， PO? 平面 PAC，知 BD PO? . 在 Rt POD 中 ， 由 DPO? 30? ， 得 PD=2OD. 因?yàn)樗倪呅?ABCD 為等腰梯形， AC BD? ，所以 ,AOD BOC均為等腰直角三角形， 從而梯形 ABCD 的高為 1 1 1 ( 4 2 ) 3 ,2 2 2A D B C? ? ? ? ?于是梯形 ABCD 面積 1 ( 4 2 ) 3 9 .2S ? ? ? ? ? 在等腰三角形ＡＯＤ中， 2 , 2 2 ,2O D A D?? 所以 222 4 2 , 4 .P D O D P A P D A D? ? ? ? ? 故四棱錐 P ABCD? 的體積為 11 9 4 1 233V S P A? ? ? ? ? ? ?. 如圖，幾何體 E ABCD? 是四棱錐， △ ABD 為正三角形， ,CB CD EC BD??. (Ⅰ )求證： BE DE? ； (Ⅱ )若 ∠ 120BCD??， M 為線段 AE 的中點(diǎn)， 求證： DM ∥ 平面 BEC . 【答案】 (I)設(shè) BD 中點(diǎn)為 O，連接 OC， OE， 則由 BC CD? 知 ， CO BD? ， 又已知 CE BD? ，所以 BD? 平面 OCE. 所以 BD OE? ，即 OE 是 BD 的垂直平分線， 所以 BE DE? . (II)取 AB 中點(diǎn) N，連接 ,MNDN ， ∵ M 是 AE 的中點(diǎn)， ∴ MN ∥ BE ， ∵△ ABD 是等邊三角形，第 13 頁(yè) 共 22 頁(yè) ∴ DN AB? . 由 ∠ BCD＝ 120176。知， ∠ CBD＝ 30176。，所以 ∠ ABC＝ 60176。+30176。＝ 90176。，即 BC AB? ， 所以 ND∥ BC， 所以平面 MND∥ 平面 BEC，故 DM∥ 平面 BEC. 某個(gè)實(shí)心零部件的形狀是如圖所示的幾何體，其下部是底面均是 正方形，側(cè)面是全等的等腰梯形的四棱臺(tái) A1B1C1D1ABCD， 上部是一個(gè)底面與四棱臺(tái)的上底面 重合， 側(cè)面是全等的矩形的四棱柱 ABCDA2B2C2D2。 ⑴ 證明：直線 B1D1⊥ 平面 ACC2A2； ⑵ 現(xiàn)需要對(duì)該零部件表面進(jìn)行防腐處理， 已知 AB=10， A1B1=20， AA2=30， AA1=13（單位：厘米）， 每平方厘米的加工處理費(fèi)為 元，需加工處理費(fèi)多少元？ 解：（ Ⅰ ）因?yàn)樗睦庵?2 2 2 2ABCD A B C D? 的側(cè)面是全等的矩形， 所以 2AA AB? ， 2AA AD? . 又因?yàn)?AB AD A? ， 所以 2AA? 平面 ABCD. 連接 BD，因?yàn)?BD? 平面 ABCD，所以 2AA BD? . 因?yàn)榈酌?ABCD 是正方形，所以 AC BD? . 根據(jù)棱臺(tái)的定義可知， BD 與 B1 D1 共面 . 又已知平面 ABCD∥ 平面 1 1 1 1ABCD ，且平面 11BBDD 平面 ABCD BD? ， 平面 11BBDD 平面 1 1 1 1 1 1A B C D B D? ，所以 B1 D1∥ BD. 于是 由 2AA BD? ， AC BD? ， B1 D1∥ BD，可得 2 1 1AA BD? ， 11AC BD? . 又因?yàn)?2AA AC A? ，所以 11BD? 平面 22ACCA . （ Ⅱ ）因?yàn)樗睦庵?2 2 2 2ABCD A B C D? 的底面是正方形，側(cè)面是全等的矩形，所以 2 2 21 2 2 2( ) 4 10 4 10 30 130 0 ( c m )S S S A B A B A A? ? ? ? ? ? ? ? ? ?四 棱 柱 上 底 面 四 棱 柱 側(cè) 面. 又因?yàn)樗睦馀_(tái) 1 1 1 1A B C D ABCD? 的上、下底面均是正方形，側(cè)面是全等的等腰梯形， 所以 22 1 1 1 11( ) 4 2S S S A B A B A B h? ? ? ? ? ?四 棱 臺(tái) 下 底 面 四 棱 臺(tái) 側(cè) 面 等 腰 梯 形 的 高() 2 2 2 2112 0 4 ( 1 0 2 0 ) 1 3 [ ( 2 0 1 0 ) ] 1 1 2 0 ( c m )22? ? ? ? ? ? ?. 于是該實(shí)心零部件的表面積為 212 13 00 11 20 24 20 ( c m )S S S? ? ? ? ?， 故所需加工處理費(fèi)為 0 .2 0 .2 2 4 2 0 4 8 4S ? ? ?（元） . 如圖所示，在四棱錐 P ABCD? 中， AB? 平面 PAD ， //AB CD ， PD AD? ， E 是 PB 的中點(diǎn)， F 是 CD 上的點(diǎn)且 12DF AB? ， PH 為 △ PAD 中 AD 邊上的高 . （ 1）證明： PH? 平面 ABCD ； （ 2）若 1PH? ， 2AD? ， 1FC? ，求三棱錐 E BCF? 的體積； （ 3）證明： EF? 平面 PAB . 【解析】（ 1）證明：因?yàn)?AB? 平面 PAD ， 所以 PH AB? 。 因?yàn)?PH 為 △ PAD 中 AD 邊上的高， 所以 PH AD? 。 因?yàn)?AB AD A? ， 所以 PH? 平面 ABCD 。 （ 2）連結(jié) BH ，取 BH 中點(diǎn) G ，連結(jié) EG 。 第 14 頁(yè) 共 22 頁(yè) 因?yàn)?E 是 PB 的中點(diǎn)， 所以 //EG PH 。 因?yàn)?PH? 平面 ABCD ，所以 EG? 平面 ABCD 。 則 1122EG PH??， 1 1 13 3 2E B C F B C FV S E G F C A D E G??? ? ? ? ? ? ? ?212。 （ 3）證明：取 PA 中點(diǎn) M ，連結(jié) MD ， ME 。 因?yàn)?E 是 PB 的中點(diǎn)，所以 1//2ME AB?。 因?yàn)?1//2DF AB?，所以 //ME DF? ，所以四邊形 MEDF 是平行四邊形， 所以 //EF MD 。因?yàn)?PD AD? ， 所以 MD PA? 。 因?yàn)?AB? 平面 PAD ， 所以 MD AB? 。 因?yàn)?PA AB A? ，所以 MD? 平面 PAB ，所以 EF? 平面 PAB 。 如圖 1，在 Rt△ ABC 中， ∠ C=90176。， D， E 分別為 AC， AB 的中點(diǎn)，點(diǎn) F 為線段 CD 上的一 點(diǎn)，將 △ ADE 沿 DE 折起到 △ A1DE 的位置，使 A1F⊥ CD，如圖 2。 ⑴ 求證： DE∥ 平面 A1CB； ⑵ 求證： A1F⊥ BE； ⑶ 線段 A1B 上是否存在點(diǎn) Q，使 A1C⊥ 平面 DEQ？ 說明