【正文】 故 ∠ ADB＝ ∠ ADG＋ ∠ GDB＝ 60176。DE＝ 12＋ 1211＝ 52. 又 PA⊥ 平面 ABCD， PA＝ 1， 所以 V 四棱錐 P－ ABCD＝ 13S 四邊形 ABCD. (1)證明：平面 ADB⊥ 平面 BDC； (2)若 BD＝ 1，求三棱錐 D－ ABC 的表面積． 解 ： (1)∵ 折起前 AD 是 BC 邊上的高， ∴ 當(dāng) △ ABD 折起后， AD⊥ DC， AD⊥ DB. 又 DB∩DC＝ D. ∴ AD⊥ 平面 BDC. ∵ AD 平面 ABD， ∴ 平面 ABD⊥ 平面 BDC. (2)由 (1)知， DA⊥ DB， DB⊥ DC， DC⊥ DA， DB＝ DA＝ DC＝ 1. ∴ AB＝ BC＝ CA＝ 2. 從而 S△ DAB＝ S△ DBC＝ S△ DCA＝ 1211＝ 12. S△ ABC＝ 12 2 2sin60176。 E、 F 分別是 AP、 AD 的中點． 求證： (1)直線 EF∥ 平面 PCD； (2)平面 BEF⊥ 平面 PAD. 解 ： 證明： (1)在 △ PAD 中，因為 E， F 分別為 AP， AD 的中點， 所以 EF∥ EF?平面 PCD， PD?平面 PCD， 所以直線 EF∥ 平面 PCD. (2)連結(jié) BD，因為 AB＝ AD， ∠ BAD＝ 60176。 又 ∵ 1 1 1 CC BC ?， 平面 11BCCB ， 1 1 1 1CC B C C? ， ∴ 1AF? 平面 1 1 1ABC 。AACC ，因此 // 39。AB 中點 .又因為 N 為 39。 (Ⅰ )證明： MN ∥ 平面 //AACC 。 因為 AB? 平面 PAD ， 所以 MD AB? 。 （ 2）連結(jié) BH ，取 BH 中點 G ，連結(jié) EG 。知， ∠ CBD＝ 30176。已知球的半徑為 3 ，所以正方體的棱長為 2， 可求得正三棱錐 P? ABC 在面 ABC 上的高 為 233 ， 所以球心到截面 ABC 的距離為 2 3 33 33?? 1 若一個圓錐的側(cè)面展開圖是面積為 ?2 的半圓面，則該圓錐的體積為 。| |OO1＝ 1362 32＝ 8 3. 如圖，半徑為 4 的球 O 中有一內(nèi)接圓柱． 當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時， 球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差是 ________． 32π 解 ： 令圓柱的高為 h，底面半徑為 r，側(cè)面積為 S， 球半徑 R＝ 4，則 ?? ??h2 2＋ r2＝ R2，即 h＝ 2 R2－ r2. 因為 S＝ 2πrh＝ 4πr R2－ r2＝ 4π r2 R2－ r2 ≤4π ?? ??r2＋ R2－ r222＝ 2πR2， 取等號時，內(nèi)接圓柱底面半徑為 22 R，高為 2R， ∴ S 球 － S 圓柱 ＝ 4πR2－ 2πR2＝ 2πR2＝ 32π. 一個幾何 體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 _______________. 【答案】 12+π 【解析】幾何體為一個長方體和一個等高的 圓柱的組合體，其中長方體的長、寬、高 分別為 1，圓柱的底面直徑為 2， 高位 1，所以該幾何體的體積為 3 4 1 1 1 12??? ? ? ? ? ? ? 已知點 P， A， B， C， D是球 O表面上的點， PA⊥ 平面 ABCD，四邊形 ABCD是邊長為 2 3 正方形。 又 ∠ ASC＝ ∠ BSC＝ 45176。所以 △ SAC、 △ BSC 為等腰直角三角形， 取 SC 中點 D，連接 AD、 SC⊥ AD， SC⊥ BD， 第 7 頁 共 22 頁 即 SC⊥ 平面 VS－ ABC＝ VS－ ABD＋ VC－ ABD＝ 13S△ ABD若 PA=2 6 ,則 △OAB 的面積為 【解析】點 P A B C D O、 、 、 、 為 球 內(nèi) 接 長 方 體 的 頂 點 ， 14OO AB??球 心 為 該 長 方 體 對 角 線 的 中 點 ，的 面 積 是 該 長 方 體 對 角 面 面 積 的 ，14OO AB??球 心 為 該 長 方 體 對 角 線 的 中 點 ，的 面 積 是 該 長 方 體 對 角 面 面 積 的 ， 12 3 , 2 6 6 = 2 3 6 = 3 34A B P A P B O A B D? ? ? ? ? ? ? ?， ， 面 積 一個幾何體的三視圖如圖所示（單位： m） , 則該幾何體的體積 3m . 【答案】 30 【解析】由三視圖可知這是一個下面是個長方體， 上面是個平躺著的五棱柱構(gòu)成的組合體。 ?33 【解析】因為半圓面的面積為 ?? 221 2 ?l ，所以 42?l ，即 2?l ，即圓錐的母線為 2?l ，底面圓的周長 ??? 22 ?? lr ，所以圓錐的底面半徑 1?r ，所以圓錐的高 322 ??? rlh ，所以圓錐的體積為 ??? 3333131 3 ???hr 。所以 ∠ ABC＝ 60176。 第 14 頁 共 22 頁 因為 E 是 PB 的中點， 所以 //EG PH 。 因為 PA AB A? ，所以 MD? 平面 PAB ，所以 EF? 平面 PAB 。 (Ⅱ )求三棱錐 /A MNC? 的體積。39。 39。 由（ 1）知， AD? 平面 11BCCB ， ∴ 1AF ∥ AD 。 所以 △ ABD 為正三角形，因為 F 是 AD 的中點，所以 BF⊥ AD. 因為平面 PAD⊥ 平面 ABCD， BF?平面 ABCD， 平面 PAD∩平面 ABCD＝ AD，所以 BF⊥ 平面 PAD. 又因為 BF?平面 BEF，所以平面 BEF⊥ 平面 PAD. 第 19 頁 共 22 頁 1 如圖，四棱錐 P－ ABCD 中，底面 ABCD 為平行四邊形， ∠ DAB＝ 60176。＝ 32 . ∴ 表面積 S＝ 123 ＋ 32 ＝ 3＋ 32 . 1 如圖，四邊形 ABCD 為正方形， QA⊥ 平面 ABCD， PD∥ QA， QA＝ AB＝ 12PD. (1)證明： PQ⊥ 平面 DCQ； (2)求棱錐 Q－ ABCD 的體積與棱錐 P－ DCQ 的體積的比值． 解 ： (1)由條件知 PDAQ 為直角梯形． 因為 QA⊥ 平面 ABCD，所以平面 PDAQ⊥ 平面 ABCD，交線為 AD. 又四邊形 ABCD 為正方形， DC⊥ AD， 所以 DC⊥ 平面 PDAQ，可得 PQ⊥ DC. 在直角梯形 PDAQ 中可得 DQ＝ PQ＝ 22 PD，則 PQ⊥ QD. 所以 PQ⊥ 平面 DCQ. (2)設(shè) AB＝ a. 由題設(shè)知 AQ 為棱錐 Q－ ABCD 的高，所以棱錐 Q－ ABCD 的體積 V1＝ 13a3. 由 (1)知 PQ 為棱錐 P－ DCQ 的高，而 PQ＝ 2a， △ DCQ 的面積為 22 a2， 所以棱錐 P－ DCQ 的體積 V2＝ 13a3. 故棱錐 Q－ ABCD 的體積與棱錐 P－ DCQ 的體 積的比值為 1. 第 20 頁 共 22 頁 如圖，四棱錐 P－ ABCD 中， PA⊥ 底面 ABCD， AB⊥ AD， 點 E 在線段 AD 上，且 CE∥ AB. (1) 求證： CE⊥ 平面 PAD； (2) 若 PA＝ AB＝ 1， AD＝ 3， CD＝ 2， ∠ CDA＝ 45176。PA＝ 13521＝ 56. 2 如圖，在四棱臺 ABCD－ A1B1C1D1中， D1D⊥ 平面 ABCD， 底面 ABCD 是平行四邊形， AB＝ 2AD， AD＝ A1B1， ∠ BAD＝ 60176。＋ 30176。所以 ∠ GDB＝ 30176。AE＋ 12CE AD 是 BC 上的高，沿 AD 把 △ ABD 折起，使 ∠ BDC＝ 90176。S 四邊形 OBED＝ 32. 1 如圖，在四面體 PABC 中， PC⊥ AB， PA⊥ BC， 點 D， E， F， G 分別是棱 AP， AC， BC， PB 的中點． (1)求證： DE∥ 平面 BCP； (2)求證：四邊形 DEFG 為矩形； (3)是否存在點 Q，到四面體 PABC 六條棱的中點的距離相等？ 說明理由． 解 ： (1)證明：因為 D， E 分別為 AP， AC 的中點，所以 DE∥ PC. 又因為 DE?平面 BCP， PC?平面 BCP，所 以 DE∥ 平面 BCP. (2)因為 D、 E、 F、 G 分別為 AP、 AC、 BC、 PB 的中點， 所以 DE∥ PC∥ FG， DG∥ AB∥ EF， 所以四邊形 DEFG 為平行四邊形． 又因為 PC⊥ AB，所以 DE⊥ DG，所以平行四邊形 DEFG 為矩形． (3)存 在點 Q 滿足條件，理由如下： 連接 DF， EG，設(shè) Q 為 EG 的中點． 由 (2)知， DF∩EG＝ Q，且 QD＝ QE＝ QF＝ QG＝ 12EG. 分別取 PC、 AB 的中點 M， N，連接 ME、 EN、 NG、 MG、 MN. 與 (2)同理，可證四邊 形 MENG 為矩形，其對角線交點為 EG 的中點 Q， 且 QM＝ QN＝ 12EG， 所以 Q 為滿足條件的點． 1 如圖，在四棱錐 P－ ABCD 中，平面 PAD⊥ 平面 ABCD， AB＝ AD， ∠ BAD＝ 60176。 又 ∵ 1CC? 平面 1 1 1ABC ，且 1AF? 平面 1 1 1ABC ， ∴ 11CC AF? 。39。ABC ABC 為直三棱柱， 所以 M 為 39。11AC = 122133? ? ? ． 如圖，直三棱柱 / / /ABC A B C? ， 90BAC??， 2,AB AC??AA′=1，點 M， N分別為 /AB和 //BC 的中點。因為 PD AD? ， 所以 MD PA? 。 因為 AB AD A? ， 所以 PH? 平面 ABCD 。 求四棱錐 PABCD 的體積 . 解 ：