【文章內(nèi)容簡介】 位素，并且鐳 226 會經(jīng)過系列蛻變產(chǎn)生鉛 21 0. 鐳 2 26 半衰期 1602 年，鉛 210 半衰期 2 年 . 記 x ( t ) 是單位質(zhì)量的白鉛中鉛 2 10 在時(shí)刻 t 的含量，0x為單位質(zhì)量的白鉛中鉛 2 10 在畫作繪制時(shí)刻0t的含量 . 是真跡還是贗品？ 2. 模型建立和求解 記 r ( t ) 是在時(shí)刻 t 單位時(shí)間內(nèi)單位質(zhì)量的白鉛中鐳 2 26 蛻變成的鉛 210 的數(shù)量，因?yàn)槲覀冎粚?3 00 年左右的時(shí)間感興趣，而鐳 2 26 的半衰期長達(dá) 160 2 年，所以可以簡化 r ( t ) 為一常數(shù) r . 則列式得00d d , ( )x t k x r x t x? ? ? ?， 解得 0()0( ) ( ) ek t tk x t r k x r??? ? ? ( 6) 其中( l n 2 ) 2 2 . 3 0 . 0 3 1 0 8 3k ??. （提示：可做變量替換( ) ( )y t k x t r??） 是真跡還是贗品？ 2. 模型建立和求解 現(xiàn)在將 卡內(nèi)基 梅隆大學(xué)的科學(xué)家鑒別畫作的時(shí)刻仍 記 為 t . 如果畫作是真跡，已有約 3 00 年歷史，則將 k = 1083 及0300tt ??代入 ( .1 6) 式中，得 9 . 3 2 4 80( ( ) ) ek x k x t r r? ? ? 經(jīng)過測量， 待鑒別的畫作的 鐳 2 26 的衰變率為r = ，鉛 210 的衰變率為 kx ( t ) = （均按每克鉛白每分鐘蛻變的原子數(shù)來計(jì)算），所以 9 . 3 2 4 80( 8 . 5 0 . 8 ) e 0 . 8 8 6 3 3 8kx ? ? ? ?. 是真跡還是贗品？ 2. 模型建立和求解 也就是說，如果假設(shè)畫作為真跡，則推算出在畫作繪制時(shí)的鉛 210 的衰變率0kx高的出奇，不可能！于是可以判定其必為贗品 . （科學(xué)家可以根據(jù)鉛 2 10 的衰變率計(jì)算白鉛中的含鈾量，白鉛的含鈾量是很低的，如果鉛 21 0 的衰變率高于 3 萬，就可判定畫作為贗品） 是真跡還是贗品？ 2. 模型建立和求解 換一個(gè)角度，如果畫作為真跡，則將 k = 0. 031 0 83及0300tt ??代入 ( . 1 6) 式中，得 50( ) 8 . 9 1 8 5 1 0 ( )k x t r k x r?? ? ? ? 也就是說，經(jīng)過 30 0 年后，鉛 2 10 的衰變率 kx ( t ) 與鐳 226 的衰變率 r 之間的差()k x t r?不足 30 0 年前的衰變率之差0k x r?的萬分之一，即因?yàn)殂U 210 的蛻變被鐳 2 26 的蛻變所補(bǔ)足而得到平衡的緣故， kx ( t ) 與 r 應(yīng)該相當(dāng)接近； 是真跡還是贗品？ 2. 模型建立和求解 而 如 果 畫 作 為 贗 品 ， 則 將 k = 108 3 及0300tt ??代入 ( 4 . 6) 式中，得 0( ) ( )k x t r k x r? ? ? 也就是說，只經(jīng)過 30 年，()k x t r?仍有0k x r?的 39% ，一般來說，0kx應(yīng)該與 r 相差較大，以至于 kx ( t ) 與 r仍然相差較大 . 經(jīng)過測量， 待鑒別的畫作 r = ， kx ( t ) = ，相差較大，可以判定為贗品 . 排污量的估計(jì) 1. 問題提出 （由全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽 2022 年 A 題改編） 長江是我國第一、世界第三大河流，近年 來 ，由于長江 及其支流 沿途的工農(nóng)業(yè)和生活污水 的大量 排放，長江干流的水污染程度日趨嚴(yán)重 , 令人擔(dān)憂 . 長江干流的主要污染物為高錳酸鹽 （ C O D M n ） 和氨氮（ N H 3 N ） . 表 4. 1 給出了長江干流上其中兩個(gè)觀測站在 2022 年 7 月的水流量、水流速、高錳酸鹽 濃度和氨氮 濃度，這兩個(gè)站點(diǎn)之間的 長江干流 的長度為395 公里 . 排污量的估計(jì) 1. 問題提出 通常認(rèn)為一個(gè)觀測站（地區(qū)）的水質(zhì)污染主要來自于本地區(qū)的排污和上游的污水 . 一般說來，江河自身對污染物都有一定的自然凈化能力，即污染物在水環(huán)境中通過物理降解、化學(xué)降解和生物降解等使水中污染物的濃度降低 . 反映江河自然凈化能力的指標(biāo)稱為降解系數(shù) . 事實(shí)上，長江干流的自然凈化能力可以認(rèn)為是近似均勻的，根據(jù)檢測可知，主要污染物高錳酸鹽和氨氮的降解系數(shù)通常介于 ~ 之間，比如可以考慮取 （ 單位： 1/ 天 ） . 排污量的估計(jì) 1. 問題提出 試根據(jù)表 4. 1 的數(shù)據(jù)估計(jì)長江干流這一江段在2022 年 7 月的主要污染物高錳酸鹽和氨氮的排放量 . 表 2022 年 7 月的數(shù)據(jù) 觀測站點(diǎn) 水流量 (3m / s) 水流速 ( m / s ) 高錳酸鹽 ( m g/ L ) 氨氮 ( m g/ L ) 湖北宜昌 南津關(guān) 22700 湖南岳陽 城陵磯 24100 排污量的估計(jì) 2. 問題分析 水中的污染物的降解過程可以簡化成一級動力學(xué)反應(yīng)，即假設(shè)每天污染物濃度的下降量與該污染物的濃度成正比，比例系數(shù)即降解系數(shù) . 由于水流速度為 1. 4~1. 5 m / s ，取平均值，即 / s ，也就是每天約 125 公里 ，而江段長度為 3 95公里，所以江水平均只需大約 3 天時(shí)間就可以從宜昌流到岳陽，因此僅需要 考慮 兩個(gè)站點(diǎn)在同一個(gè) 月 份測得的 污染物 指數(shù) . 排污量的估計(jì) 2. 問題分析 由于不知道該江段內(nèi)的眾多支流及排污口的位置和排污量，無法精確計(jì)算江段的總排污量 . 但是，如果假設(shè)污染物集中在江段的開頭，伴隨著該江段新增加的水量，勻速的排放入長江干流，忽略污水和江水混合的時(shí)間，以污水和江水混合之后的污染物濃度作為初始條件，根據(jù)已知的該江段末尾的污染物濃度，反解出污染物的排放量 . 污染物集中在江段的開頭排放入江，對該江段的污染影響最大，所以這樣解得的是污染物排放量的可能的最大值 . 排污量的估計(jì) 2. 問題分析 類似的，如果假設(shè)污染物集中在江段的末尾排放入江，則可以解得污染物排放量的可能的最小值 . 最小值和最大值合起來就組成排放量的可能的區(qū)間 . 如果假設(shè)污染物集中在江段的中間排放入江，則可以解得污染物排放量的可能的中間值，中間值應(yīng)該接近上述排放量區(qū)間的中點(diǎn) . 排污量的估計(jì) 3. 符號說明 L = 395 k m ～ 長江干流從湖北宜昌南津關(guān)到湖南岳陽城陵磯的江段的長度； u = m / s ～ 以上江段的水 流 平均速度； k = ～ 高錳酸鹽的降解系數(shù) ； x = x ( t ) ～ 江水在時(shí)刻 t （天）的 高錳酸鹽 濃度（ m g/ L ）； 0x= g/ L ～ 200 4 年 7 月湖北宜昌南津關(guān)的長江水的 高錳酸鹽 濃度； 排污量的估計(jì) 3. 符號說明 1x= g/ L ～ 2022 年 7 月湖南岳陽城陵磯的長江水的 高錳酸鹽 濃度； 302 2 7 0 0 m / sf ? ～ 200 4 年 7 月湖北宜昌南津關(guān)的長江水流量； 312 4 1 0 0 m / sf ? ～ 200 4 年 7 月湖南岳陽城陵磯的長江水流量； m a x m id m in,X X X ～ 在集中排放于江段的開頭、中間或末尾的假設(shè)下， 高錳酸鹽 的排放量（ g/ s ） . 排污量的估計(jì) 4. 模型假設(shè) （ 1 ）假設(shè)長江干流在兩個(gè)站點(diǎn)的水流量和污染物濃度、兩個(gè)站點(diǎn)之間的江段的江水流速在一個(gè)月內(nèi)均分別為常數(shù)； （ 2 ）假設(shè)該江段的水量是守恒的，即末尾處的水流量與開始處的水流量之差等于單位時(shí)間內(nèi)新增加的水量； （ 3 ）忽略污水和江水混合的時(shí)間； 排污量的估計(jì) 4. 模型假設(shè) （ 4 ）僅考慮 污染物 排放和降解對濃度的影響，假設(shè)每天污染物濃度的下降量與該污染物的濃度成正比，比例系數(shù)即降解系數(shù) k =； （ 5 ）假設(shè)污染物分別集中在江段的開頭、中間或末尾，伴隨著該江段新增加的水量，勻速的排放入長江干流，并在三種情況下分別估計(jì)該江段污染物排放量的可能的最大值、中間值和最小值 . 排污量的估計(jì)