【正文】 茶水溫度降到 37C？ 茶水會不會冷卻到 12C？ 解答 由題意 ，有09 5 Cx ?，1 5 CA ?，設00t ?，由 ( 4. ) 式，茶水在時刻 t （分鐘）的溫度（C）為 ( ) 15 80ektxt??? 牛頓冷卻定律 例 .3 熱茶水的冷卻 解答 （續(xù)） 從 開始冷卻 算起 ， 2 分 鐘 后，茶水溫度降到 80C，即 21 5 8 0 e 8 0k??? ( 4 . 1 . 8 ) 如果 茶水 在時刻 t 的 溫度是 37C，則 1 5 8 0 e 3 7kt??? ( 4 . 1 . 9 ) 聯(lián)立 ( . 8) 式和 ( ) 式，可以解得 k = 382 ，t =. 即從 開始冷卻 算起 ， 12 分 26 秒后 茶水溫度降到 37C. 根據(jù)前面對 ( . 7 ) 式的討論知，如果室溫保持在 15C不變， 茶水不 可能 冷卻到 12C. 海拔與大氣壓 為什么攀登珠穆朗瑪峰的登山運動員需要攜帶氧氣瓶呢？ 人體從大氣吸入氧氣的能力主要依賴于大氣壓 . 當大氣壓低于50 . 6 5 1 0 P a?，人體吸入的氧氣就會顯著下降 . 地球海拔 6 000 米以上的地區(qū)沒有永久性居民，人類在海拔更高的地方僅能短暫生存，這都是因為大氣壓隨著海拔增高而下降 . 海拔與大氣壓 根據(jù)物理學知識，可以假設大氣壓對海拔的變化率與大氣壓成正比，因此在海拔 y 米處，大氣壓 p 滿足微分方程初值問題 0d d , ( 0)p y k p p p? ? ? ( 0) 其中比例系數(shù) MgkRT? ( .1 1) 其中， T 為海拔 y 米處的氣溫（單位： K ），常數(shù)3 10 kg/ m olM???，2= 9. 8m / sg，8 . 3 1 5 J / m o l KR ??. 海拔與大氣壓 1. 模型一 假設在任何海拔高度氣溫都是12 7 3 KT ?（即0C），海平面大氣壓為0p個標準大氣壓（ 1 個標準大氣壓等于51 . 0 1 3 1 0 P a?），并且忽略海拔高度對重力加速度 g 的影響，則初值問題 ( 4. ) 式改寫為 01d , ( 0 )dp M gp p py R T? ? ? 所以 10eMgyRTpp?? ( 2) 海拔與大氣壓 1. 模型一 根據(jù)模型一的假設和 ( .1 2) 式，如果0p=1 ，可以計算得，在珠穆朗瑪峰頂海拔 884 4 米，大氣壓只有 標準大氣壓，空氣非常稀薄，于是解釋了登山運動員需要攜帶氧氣瓶的原因 . 但是模型一假設大氣溫度 不隨海拔升高而變化明顯不符合實際，可能會導致計算有一定偏差 . 海拔與大氣壓 2. 模型二 仍假設海平面大氣壓為0p個標準大氣壓，并且忽略海拔高度對重力加速度 g 的影響 . 在平流層，也就是從地面到海拔約 11 千米之間的大氣層，大氣溫度 T隨著海拔 y 的增加而遞減，可以簡單的假設成 0T T y??? ( 4 . 1 . 1 3 ) 其中設海平面氣溫02 9 3 KT ?（即 20C），下降率0 . 0 0 6 K / m? ?（ α 因大氣條件不同而變化，取平均值） . 將 ( 4. ) 式代入 ( 1) 式，得? ?0MgkR T y???. 海拔與大氣壓 2. 模型二 初值問題 ( . 1 0) 式就變?yōu)? ? ?00d , (0 )dp M g pppy R y T???? ( 4 . 1 . 1 4 ) 初值問題 ( . 1 4) 式可以用分離變量法解得 001MgRp p yT?????????? ( . 15) 如果0p=1 ，可以計算得在珠穆朗瑪峰頂大氣壓只有 29 3 標準大氣壓，和模型一的計算結(jié)果很接近 . 海拔與大氣壓 3. 強健性分析 執(zhí)行以下 MA T L A B 程序，繪圖觀察 ( 2) 式和( ) 式的計算結(jié)果之間的差別： M= e 3。 g=9. 8。 R = 5 。 a=。 T 1=2 73。 T 0=2 93。 p1= @(y) ex p( M.* g./ R ./ T 1.*y) 。 p2=@(y) ( 1 a ./ T 0. *y) .^( M. * g./ R ./ a) 。 [ p1(8844) , p2(884 4) ] % 珠峰峰頂?shù)拇髿鈮? y=0: 1000 0。 pl ot ( y ,p1( y) ,39。 k : 39。 ,y ,p2(y) ,39。 k 39。 ) ?? 命令窗口顯示的計算結(jié)果為： a ns = 0. 333 29 3 0 2022 4000 6000 8000 10000 120220 . 20 . 30 . 40 . 50 . 60 . 70 . 80 . 91海拔（米）大氣壓（標準大氣壓）大氣壓和海拔的兩個模型的比較 設氣溫不變，海面 0oC設氣溫線性遞減，海面 20oC圖 海拔與大氣壓 3. 強健性分析 在整個平流層， ( . 12) 和 ( . 15) 式的差別很小 . 其實，如果有10TT ?，則當0? ?時， ( . 15) 式就退化為 ( 4. ) 式 . 現(xiàn)在0 . 0 0 6 K / m? ?，很小；雖然10TT ?，然而02 9 3 KT ?且0T T y???，在平流層平均起來也和12 7 3 KT ?比較接近 . 所以兩個模型的計算結(jié)果相當近似（而且兩個模型的結(jié)果的差別比在10TT ?的情況更小） . 雖然模型一建立在不太符合實際的較強的簡化假設上，但是模型一是強健的模型 . 是真跡還是贗品？ 是真跡還是贗品？ 1. 歷史背景 荷蘭畫家梅格倫（ H an v a n Me ege r en ， 1889 —1947 ）是 20 世紀最著名的藝術(shù)品偽造者之一 . 在自己的創(chuàng)作遭到評論家的非議的情況下，為了證明自己的才能和騙取金錢，他發(fā)展出十分高明的偽造技術(shù)，偽造了一批 17 世紀荷蘭著名畫家的作品 . 他在 19 37 年偽造 17 世紀荷蘭著名畫家 維米爾（ Jan V er m ee r ， 163 2 — 1 675 ） 的作品 《以馬午斯的門徒》（ The D i s ci pl es at E m m aus ），并假冒真跡出售，騙取了約 30 萬美元（大約相當于現(xiàn)今的 40 0 萬美元） . 是真跡還是贗品？ 1. 歷史背景 第二次世界大戰(zhàn)期間， 梅格倫的另一幅假冒 維米爾 真跡的贗品經(jīng)過輾轉(zhuǎn)被德國納粹元帥戈林收藏，德國戰(zhàn)敗后，經(jīng)過盟軍的追查，梅格倫于 19 45 年 5 月在荷蘭因涉嫌詐騙罪和通敵罪被逮捕入獄，他 為了洗脫 通敵罪名， 很快就供認那幅被戈林收藏的畫其實是他偽造的贗品，并在獄中繪制了他偽造的最后一幅贗品，向由專家組成的陪審團展示他的偽造技術(shù)，后于1946 年 4 月被釋放 . 是真跡還是贗品？ 1. 歷史背景 法庭組織了由多名國際專家組 成 的 陪審團，判定梅格倫確實偽造了多幅贗品，于 194 7 年 11 月宣判他偽造和詐騙罪名成立，判入獄一年 . 半個月后，他在服刑期滿前夕突然心臟病發(fā)作，不久之后死于醫(yī)院 . 雖然梅格倫死了，但是還有一些聲稱是 維米爾 真跡的油畫需要鑒別真?zhèn)?，包?《以馬午斯的門徒》 . 直到 1967 年，位于美國匹茲堡的卡內(nèi)基 梅隆大學的科學家借助“放射性測定年齡法”才證實 那幅 《以馬午斯的門徒》是 梅格倫偽造的贗品 . 是真跡還是贗品？ 2. 模型建立和求解 梅格倫知道 17 世紀的荷蘭畫家使用白鉛作為顏料的原料之一，所以他在偽造名畫時也用了白鉛 . 白鉛含有放射性的鉛 210 (210Pb) 和鐳 22 6 (226Ra) ，它們都是鈾 2 38 (238U) 的系列蛻變產(chǎn)生的放射性同