級(jí)動(dòng)力學(xué)反應(yīng)模型ppt課件(已修改)
2025-05-24 12:48 本頁(yè)面
【正文】 第 4章 常微分方程模型 一級(jí)動(dòng)力學(xué)反應(yīng)模型 一級(jí)動(dòng)力學(xué) 反應(yīng)模型及其性質(zhì) 一級(jí)動(dòng)力學(xué)反應(yīng)是指反應(yīng)速率與系 統(tǒng) 中反應(yīng)物含量的一次方成正比的反應(yīng) ， 其 數(shù)學(xué)模型 為 微分方程 dd x t k x?? ( 4. ) 其中 t 為時(shí)間， x = x ( t ) 為 t 時(shí)刻系 統(tǒng) 中反應(yīng)物的含量，一階導(dǎo)數(shù)dd xt是反應(yīng) 速率 ， 比例系數(shù) k 是 反應(yīng)速率常數(shù)， k 0 ，負(fù)號(hào)表示 反應(yīng)物的含量 在衰減 . 一級(jí)動(dòng)力學(xué)反應(yīng) 的數(shù)學(xué)模型 ( . 1) 式有很多應(yīng)用，例如放射性衰變、加熱或冷卻、人體內(nèi)藥物的吸收與排除、污染物降解等 . 一級(jí)動(dòng)力學(xué) 反應(yīng)模型及其性質(zhì) 在 初始時(shí)刻0t，設(shè) 反應(yīng)物的 含 量 為0x. ( . 1) 式滿足 初始 條件00()x t x?的特 解為 ? ?00( ) ek t tx t x ??? ( 4 . 1 . 2 ) ( ) 式 表明： 系 統(tǒng) 中反應(yīng)物的 含 量 按指數(shù)規(guī)律 隨時(shí)間 衰減 . 一級(jí)動(dòng)力學(xué) 反應(yīng)模型及其性質(zhì) 半衰期 是指某種特定物質(zhì)的 含量 經(jīng)過(guò)某種反應(yīng)降低到初始 值的 一半所消耗的 時(shí)間，記為 τ 或12t. 在 ( 4. ) 式中，令0tt? ??且0( ) 2x t x?，則 002ekxx??? 所以 l n 2k ? ? ( .3) 所以一級(jí)動(dòng)力學(xué)反應(yīng) 的半衰期 是一個(gè)與初始狀態(tài)無(wú)關(guān)的 常數(shù) . t = 0 t=tx一級(jí)動(dòng)力學(xué)反應(yīng)的指數(shù)衰減過(guò)程和半衰期x = x0x = x0/2?圖 碳 14測(cè)年法 當(dāng)人們看見(jiàn)一件很古老的東西，最常見(jiàn)的疑問(wèn)是“ 這是 多少 年前的東西 ” ？考古學(xué) 家一直在努力發(fā)展新技術(shù)來(lái)考證古物的年代 . 在諸多 考證年代的 的方法之中，以 “ 碳 14 定 年法 ” 最為普遍 . 它的原理是 根據(jù) 生物體死亡之后，體內(nèi)碳 14 衰 減的速率來(lái)估 計(jì) 年代 . 美國(guó)化學(xué)家 威拉得 法蘭克 利比 （ W i l l ard Fr ank Li bby ）因在 20 世紀(jì) 40 年代發(fā)明 碳 14 定 年法 而于1960 年獲得諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng) . 碳 14測(cè)年法 同位素是具有相同 原子序數(shù) 的同一化學(xué)元素的兩種或多種原子之一，其原子具有相同數(shù)目的 電子 和質(zhì)子 ，但卻有不同數(shù)目的 中子 . 放射性是指元素從不穩(wěn)定的原子核自發(fā)的放出射線而衰變形成穩(wěn)定的元素 . 有 放射性 的同位素被稱為 放射性同位素 . 放射性 同位素的衰變屬于一級(jí) 動(dòng)力學(xué)反應(yīng) ，即衰變速率與 放射性 同位素的含量成正比 . 所以 放射性 同位素都具有非常穩(wěn)定的半衰期 . 碳 14測(cè)年法 碳 是一種很常見(jiàn)的 非金屬元素 ，以多種形式廣泛存在于大氣和地殼之中 ，常見(jiàn)的 碳 單質(zhì)有石墨和金剛石 ，碳的一系列化合物 —— 有機(jī)物 是生命的根本 . 自然界中存在三種碳的同位素 ： 碳 12 （ 9 % ） 、碳 13 及碳 14 （ 極少 ） . 碳 12 和 碳 13 屬穩(wěn)定型，碳 14 具有放射性 . 碳 14 是 由宇宙射線 撞擊空氣中的 氮原子 而 產(chǎn)生，衰變方式為 β 衰變 ，碳 14 原子轉(zhuǎn)變?yōu)榈?. 碳 14 的 半衰期 長(zhǎng)達(dá) 5 730 年 ， 考古學(xué)家就是根據(jù) 碳 14 的 半衰期 計(jì)算年代 . 碳 14測(cè)年法 碳 14 與氧結(jié)合成二氧化碳，散布在大氣之中，生物體 經(jīng) 由呼吸或光合作用，隨時(shí)補(bǔ)充 衰 變掉的碳 14 ，且與大氣中的碳 14 維持恒定 . 但是一旦生物體死亡，體內(nèi)的碳 14 無(wú)法補(bǔ)充，每隔 5 730 年就會(huì)減少一半，所以只要能測(cè)出死亡的生物體內(nèi)（例如骨頭、木炭、貝殼、谷物）殘存的碳 14 濃度，就可以推算出生物體于何時(shí)停止補(bǔ)充碳 14 ，也就是生物體已死亡多久的時(shí)間 . 碳 14 定 年法 只適用于測(cè)定距今 700 0 0年內(nèi)的古物所屬的年代 . 碳 14測(cè)年法 因?yàn)樘? 14 的半衰期 為 τ =5 730 年 ， 所以 根據(jù) ( 4. )式可計(jì)算得到 k = 0121 ，由此可知碳 14 的 衰變 服從 公式 ? ?00 . 0 0 0 1 2 10( ) ettx t x??? ( ) x = x ( t ) 是古物中的 碳 14 在時(shí)刻 t 的剩余量，00()x x t?. 例 .1 遼東半島的古蓮籽 在 我國(guó)遼東半島普蘭店附近的泥炭層中發(fā)掘出的古蓮籽，至今大部分還能發(fā)芽開(kāi)花 . 現(xiàn)測(cè)得出土的古蓮籽中碳 14 的剩留量占原始量的 8 % ，試推算古蓮籽生活的年代 . 碳 14測(cè)年法 例 .1 遼東半島的古蓮籽 解答 記 發(fā)掘出古蓮籽的時(shí) 間 為 t 年 ， 古蓮籽生活的年代 為0t年，則根據(jù)測(cè)量結(jié)果，有 0( ) ( )x t x t? ( 4 . 1 . 5 ) 由 ( 4. ) 式和 ( 4. ) 式，有 00 . 0 0 0 1 2 1 ( )e 0 . 8 7 9tt??? 所以010 65 .9tt ??， 即古蓮籽生活的年代大約在發(fā)掘時(shí) 間之 前 10 66 年 . 碳 14測(cè)年法 例 .2 巴比倫的木炭 1950 年在巴比倫發(fā)現(xiàn)一根刻有 漢穆拉比 王朝字樣的木炭，當(dāng)時(shí)測(cè)定，其碳 14 原子 的衰減速度為 9個(gè) / ( g m i n) ，而新砍伐燒成的木炭中碳 14 原子 的衰減速度為 個(gè) / ( g m i n). 請(qǐng)估算出 漢穆拉比 王朝所在年代 . 解答 記 發(fā)現(xiàn) 漢穆拉比王 朝木炭的時(shí) 間 為t =1950 年 ，漢穆拉比 王朝所在年代 為0t年，根據(jù) ( . 1)式，有1950d d ( 1 9 5 0 )tx t k x?? ? ?，00d d ( )ttx t k x t?? ? ?. 碳 14測(cè)年法 例 .2 巴比倫的木炭 解答 （續(xù)） 而根據(jù)測(cè)量結(jié)果，有 01950ddd d 8tttxtxt??? 所以0( 1950) ( ) x t ?， 再根據(jù) ( .4) 式，有 00 .0 0 0 1 2 1 ( 1 9 5 0 )e 4. 09 6. 68t? ? ?? 解得021 04 .3t ??( 年 ) ， 即 漢穆拉比 王朝大約在公元前21 世紀(jì) . 牛頓冷卻定律 物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻 定律來(lái)描述 ： 物體溫度 對(duì)時(shí)間的 變化 率與 物體溫度 和它周圍介質(zhì) 溫度 之差成正比 . 記物體在 時(shí) 刻 t 的溫度 為x = x ( t ) ，它周圍介質(zhì)的 溫度 為 A ，設(shè) A 保持不變，則根據(jù)牛頓冷卻定律建立微分方程模型 （ k 0 ） d d ( )x t k x A? ? ? ( . 6) ( ) 式滿足 初始 條件00()x t x?的特 解為 ? ?? ?00( ) ek t tx t A x A??? ? ? ( . 7) （提示：可做變量替換( ) ( )y t x t A??） 牛頓冷卻定律 根據(jù) ( 4 . ) 式，當(dāng)0xA ?，有()x t A?，即微分方程 ( 4. ) 式的常數(shù)解；當(dāng)0xA ?，有()x t A?且l i m ( )tx t A? ? ??；當(dāng)0xA ?，有()x t A?且l i m ( )tx t A? ? ??. 在 ( 4. ) 式，令d d ( ) 0x t k x A? ? ? ?，解得 x = A ，這是微分方程 ( .6) 式唯一的臨界點(diǎn)（即平衡點(diǎn)） . 以上分析說(shuō)明，臨界點(diǎn) x = A 是漸進(jìn)穩(wěn)定的 . x = A牛頓冷卻定律 d x / d t = k ( A x ) 的典型解曲線時(shí)間 t溫度x圖 牛頓冷卻定律 例 .3 熱茶水的冷卻 現(xiàn)有一杯 95C的熱茶，放置在 15C的房間中，如果 2 分 鐘 后，茶水溫度降到 80C， 問(wèn)從 開(kāi)始冷卻算起 ，多長(zhǎng)時(shí)間 之后
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