概率論第十三講協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)(編輯修改稿)
2025-06-01 22:28 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 YDXD?? c o s?XY,0??若 1?XY? XY ?,?? ?若 1??XY? XY ??1|| ?XY? YX, 有線(xiàn)性關(guān)系 ,23,2 ??? ?若 0?XY? YX, 不相關(guān)， 但 YX, 不獨(dú)立， YX, 沒(méi)有線(xiàn)性關(guān)系，但有函數(shù)關(guān)系 122 ?? YX協(xié)方差的性質(zhì) ? c o v ( , ) c o v ( , )X Y Y X?? ? ? ),c o v (),c o v ( YXabbYaX ?),c o v (),c o v (),c o v ( ZYZXZYX ???)(),c o v ( XDXX ?協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì) ( ) ( ) ( )E X Y E X E Y??? )()(|),c o v (| 2 YDXDYX ?當(dāng) D(X ) 0, D(Y ) 0 時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng) ? ?0( ) [ ( ) ] 1P Y E Y t X E X? ? ? ?時(shí) , 等式成立 — CauchySchwarz不等式 證 令 ? ? 2( ) [ ( ) ] [ ( ) ]g t E Y E Y t X E X? ? ? ?)(),c o v (2)( 2 XDtYXtYD ???0)( ?tg對(duì)任何實(shí)數(shù) t , 0)()(4),(c o v4 2 ?? YDXDYX即 )()(|),c o v (| 2 YDXDYX ?等號(hào)成立 0)( ?tg 有兩個(gè)相等的實(shí)零點(diǎn) ?????? ???)()()(),c o v (0 XDYDXDYXt0))](())([( 20 ???? XEXtYEYE0)( 0 ?tg 即 顯然 0))](())([( 0 ???? XEXtYEYE 0))](())([( 0 ???? XEXtYEYD1]0))(())([( 0 ????? XEXtYEYP1]0))(())([( 0 ????? XEXtYEYP即 1))](())([( 0 ???? XEXtYEYP即 Y 與 X 有線(xiàn)性關(guān)系的概率等于 1, 這種 線(xiàn)性關(guān)系為 1)()()()(??????? ????XDXEXYDYEYP完全類(lèi)似地可以證明 )()()( 222 YEXEXYE ?當(dāng) E(X 2) 0, E(Y 2 ) 0 時(shí) ,當(dāng)且僅當(dāng) 1)( 0 ?? XtYP時(shí) , 等式成立 . 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì) ? ? 1|| ?XY?1|| ?XY? CauchySchwarz不等式 的等號(hào)成立 即 Y 與 X 有線(xiàn)性關(guān)系的概率等于 1， 這種線(xiàn)性關(guān)系為 ? ? 1??? ?? XYP
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