【文章內容簡介】 其中 ????? ???? ?? jiijij （ sjri ,1。,1 ?? ?? ），稱 ij? 為水平 Ai 和水平 Bj 的交互效應， 這是由 Ai 與 Bj 搭配聯(lián)合起作用而引起的。易見 ,1,01 risj ij ????? ? ???ri ij1 0? ， j=1， 2， ?， s， 從而前述數(shù)學模型可改寫為 ),0~ 2i ??????? ，（， NX ijkijkijjijk ????? .,1。,1。,1 tksjriijk ??? ???相互獨立，各 ? ? ? ? ?? ? ? ? ????ri sj ri sj ijijji` 1 1 1 ,0,0,0,0 ???? 其中 ? ， ? i ， j? ， ? ij 及 ? 2 都是未知參數(shù) . 假設檢驗為 ： (1) ??? ???? 不全為零rA rAHH ??? ??? ,: ,0: 211 210 ? ? (2) ??? ???? 不全為零sB sBHH ??? ??? ,: ,0: 211 210 ? ? (3) ??? ?????? 不全為零。rsBA rsBAHH ??? ??? ,: ,0: 12111 12110 ? ? 與無重復試驗的情況類似，此類問題的檢驗方法也是建立在偏差平方和的分解上的。 2. 偏差平方和及其分解 引入記號： X =rst1 ???? ? ?risjtk ijkX1 1 1， X ?ij = ??tk ijkXt 11 ， i=1， 2， ?， r， j=1， 2， ?， s， X ??i = ??? ?sjtk ijkXst 1 11 ， i=1， 2， ?， r， X ??j = ??? ?ritk ijkXrt 1 11 ， j=1， 2， ?， s。 稱總偏差平方和（稱為總變差）為 ST =???? ? ? ?risjtk ijk XX1 1 12)( 。 上式可分解為 ST =SE +SA +SB +S BA? 其中 SE =???? ? ? ??risjtk ijijk XX1 1 12)( ， SA =st?? ?? ?ri i XX12)( , SB = rt?? ?? ?sj j XX12)( , S BA? = t? ?? ? ????? ???risj jiij XXXX1 12)( 同樣，我們仍 SE 稱為誤差平方和， SA ， SB 分別稱為因素 A、因素 B 的偏差平方和，S BA? 稱為 A， B 交互偏差平方和 . 類似地，可以證明當 AH0 、 BH0 、 BAH?0 成立時，有 1) ,, 22222 ????? EBABAT SSSSS ?分別服從自 由度依次為 )1(),1)(1(,1,1,1 ?????? trssrsrrst 的 2? 分布， 2) EBABAT SSSSS , ? 相互獨立。 3. 檢驗方法 當 AH0 為真時，可以證明 FA =))1(( )1( ??trsS rSE A~ ))。1(,1( ?? trsrF 取顯著性水平為 ? ，得假設 AH0 的拒絕域為 FA =))1(( )1( ??trsS rSE A ? ))。1(,1( ?? trsrF? 類似地 ，當 BH0 為真時，可以證明 FB =))1(( )1( ??trsS sSE B~ ))。1(,1( ?? trssF 取顯著性水平為 ? ，得假設 BH0 的拒絕域為 FB =))1(( )1( ??trsS sSE B ? ))。1(,1( ?? trssF? 類似地，當 BAH?0 為真時，可以證明 F BA? =))1(( )1)(1( ? ??? trsS srS EBA~ ))。1(),1)(1(( ??? trssrF 取顯著性水平為 ? ，得假設 BH0 的拒絕域為 F BA? =))1(( )1)(1( ? ??? trsS srS EBA ? ) ) 。1(),1)(1(( ??? trssrF? 實際分析中，常采用如下簡便算法和記號： T=???? ? ? ?risjtk ij XrstX1 1 1 , T ?ij =??tk ijkX1, i=1， 2， ?， r， j=1， 2， ?， s， T??i =??? ?sjtk ijkX1 1， i=1， 2， ?， r， T ??j =??? ?ritk ijkX1 1， j=1， 2， ?， s. 則 ST =???? ? ?risjtk ijkX1 1 12 rstT2? , SA =st1 ?? ??ri iT12 rstT2? , SB =rt1 ?? ??sj jT12 rstT2? , S BA? =???????? ???? ? ?risj ij rstTTt1 1221 ,BA SS ?? , SE = ,BABAT SSSS ???? 可得如下方差分析表： 表 825 有重復試驗雙因素方差分析表 1)1()1()1)(1()1)(1(1111???????????????????????rstStrsSStrsSSSFsrSSsrSSSFsSSsSBSSFrSSrSAFTEEEEBABABABABAEBBBBBEAAAAA總和誤差交互作用因素因素比均方和自由度平方和方差來源 例題選講： 無 重復試驗雙因素方差分析 例 1 (講義例 1) 設四名工人操作機器 321 , AAA 各一天 , 其日產量如表 所示 , 問不同機器或不同工人對日產量是否有顯著影響 ( ?? )? 表 823 1B 2B 3B 4B 1A 50 47 47 53 2A 53 54 57 58 3A 52 42 41 48 例 2 下面給出了在某 5 個不同地點，不同時間空氣中的顆粒狀物（以 mg/m3 計）的含量的數(shù)據(jù)： 因素 B （地點） 1 2 3 4 5 ?iT 因素A時間 1995 年 10月 76 67 81 56 51 331 1996 年 1 月 82 69 96 59 70 376 1996 年 5 月 68 59 67 54 42 290 1996 年 8 月 63 56 64 58 37 278 jT? 289 251 308 227 200 1275 試在水平 ?? 下檢驗 . 在不同時間的顆粒狀物含量的均值有無顯著差異 . 等 重復試驗雙因素方差分析 例 3 (講義例 2) 在某種金屬材料的生產過程中 , 對熱處理溫度 (因素 B)與時間 (因素 A)各取兩個水平 , 產品強度的測定結果 (相對值 )如表 所示 . 在同一條件下每個實驗重復兩次 . 設各水平搭配下強度的總體服從正態(tài)分布且方差相同 . 各樣本獨立 . 問熱處理溫度 , 時間以及這兩者的交互作用對產品強度是否有顯著的影響 (取 ?? )? 表 8— 2— 6 工 人 日 產 量 機 器 B A 1B 2B ..iT 1A 2A 172 ..jT 175 例 4 為了保證某零件鍍鉻的質量 , 需重點考察通電方法和液溫的影響 . 通電方法選取三個水平 : 1A (現(xiàn)行方法 ), 2A (改進方案一 ), 3A (改進方案二 )。 液溫選取兩個水平 : 1B (現(xiàn)行溫度 ), 2B (增加 10℃ ))。 每個水平組合進行兩次試驗 , 所得結果如表 (指標值以大為好 ). 問通電 方法、液溫和它們的交互作用對該質量指標有無顯著影響 ( )?? ? 1B 2B 1A 2A 3A 1010 1010 第三節(jié) 一元線性回歸 在客觀世界中 , 普遍存在著變量之間的關系 .數(shù)學的一個重要作用就是從數(shù)量上來揭示、表達和分析這些關系。而變量之間關系 , 一般可分為確定的和非確定的兩類 . 確定性關系可用函數(shù)關系表示 , 而非確定性關系則不然 . 例如 , 人的身高和體重的關系、人的血壓 和年齡的關系、某產品的廣告投入與銷售額間的關系等 , 它們之間是有關聯(lián)的，但是它們之間的關系又不能用普通函數(shù)來表示。我們稱這類非確定性關系為相關關系。具有相關關系的變量雖然不具有確定的函數(shù)關系，但是可以借助函數(shù)關系來表示它們之間的統(tǒng)計規(guī)律，這種近似地表示它們之間的相關關系的函數(shù)被稱為回歸函數(shù)。回歸分析是研究兩個或兩個以上變量相關關系的一種重要的統(tǒng)計方法。 在實際中最簡單的情形是由兩個變量組成的關系?？紤]用下列模型表示 )(xfY? . 但是，由于兩個變量之間不存在確定的函數(shù)關系， 因此必須把隨機波動考慮進去，故引入模型如下 ??? )(xfY 其中 Y 是隨機變量， x 是普通變量， ? 是隨機變量（稱為隨機誤差）。 回歸分析就是根據(jù)已得的試驗結果以及以往的經驗來建立統(tǒng)計模型，并研究變量間的相關關系，建立起變量之間關系的近似表達式，即經驗公式，并由此對相應的變量進行預測和控制等。 本節(jié)主要介紹一元線性回歸模型估計、檢驗以及相應的預測和控制等問題。 因 素 B 指 標 值 因 素 A 內容分布圖示 ★ 引言 ★ 引例 ★ 一元線性回歸模型 ★ 最小二乘估計 ★ 例 1 ★ 例 2 ★ 最小二乘估計的性質 ★ 回歸方程的檢驗假設 ★ 總偏差平方和的分解 ★ 回歸方程的檢驗方法 ★ 例 3 ★ 例 4 ★ 預測問題 ★ 例 5 ★ 控制問題 ★ 可化一元線性回歸的情形 ★ 例 6 ★ 內容小結 ★ 課堂練習 ★ 習題 83 ★ 返回 內容要點： 一、引例 為了研究某一化學反應過程中溫度 x 對產品得率 Y 的影響 . 測得數(shù)據(jù)如下 : 89857874706661545145%/ 190180170160150140130120200100/iiy Cx溫度溫度? 試研究這些數(shù)據(jù)所蘊藏的規(guī)律性 . 二、一元線性回歸模型 一般地 ,當隨機變量