【文章內(nèi)容簡介】 柔度系數(shù)的計算可以參照下圖，用圖乘法得到： llm m1y2y11llEIl3311 ?? EIl232112 ?? ??通過以上分別在第 2個自由度上作用單位力后的兩個彎矩圖的自乘和互乘可以得到： EIl34 322 ??? 多自由度體系運動方程的一般形式 由兩個自由度的運動方程可以推出多自由度結(jié)構(gòu)體系運動方程的一般形式（無阻尼時）： ( t )FKyyM E????用剛度法和柔度法建立體系運動方程的步驟： 剛度法：自由度；質(zhì)量矩陣；外荷載向量；剛度矩陣 柔度法：自由度；質(zhì)量矩陣；荷載位移向量；柔度矩陣 yδΔy ??M?? p柔度矩陣可變換為： P1 FYδYCYM ??? ????可以看出： 1??δK 即剛度矩陣與柔度矩陣互逆 小 結(jié) ? 重點 動力特性：頻率、振型、阻尼； 動靜法建立體系運動方程； 剛度系數(shù)、柔度系數(shù)的定義； 等效干擾力向量的確定。 ? 討論 課后思考題 作業(yè) 8題 第 3章 單自由度體系的振動分析 31 單自由度體系自由振動分析 ? 自由振動 0??? kyycym ???如果去掉外荷載 FP(t)=0! kcm( )y t( )F t自由振動的運動方程 此為二階常系數(shù)齊次微分方程，設(shè)解為： 令 mk /2 ??mCkmC ?? 2/2/ ??則原方程化為： 02 2 ??? yyy ??? ???stGey ?將其代入可得到特征方程： 02 22 ??? ??? ss解得 )1( 22,1 ???? ???s則通解為 tsts eGeGy 21 21 ??? 根據(jù)三角變換： ?? c os0 Ax ?? ?s in0 Ax ?? 可將上式化為： ωtαAωtαAx ( t) c o ss i ns i nc o s ??? 即： )s in ( ?? ?? tAx ( t )2020 xxA ??????????00a r c ta nxx??? ?txtxtx ??? c o ss i n)( 00 ?? ??0x?0x?A? ?無阻尼自由振動 ty0?.y0?RI?y0?.y0ty0.y0?.y0?RI?? ty0?.y0 y0?.y0?? tty0.y0?.y0?I?? ty0?.y0 ty0.y0?.y0?? ty0?.y0 y0?.y0?? tty0?.y0?? ty0.y0?.y0?RI?? ty0?.y0ty0.y0?.y0?RI? ty0.y0ty0?.y0?? ty0.y0?.y0?R?? ty0?.y0ty0?.y0?y0?.y0?I? ttytyty ??? c o ss i n)( 00 ?? ?)s in ()( ??? ?? tty? 物理意義 —— 振動各量之間關(guān)系 代入初始條件后 無阻尼自由振動可得到結(jié)構(gòu)本身的動力特性 周期、圓頻率（頻率）、工程頻率之間的關(guān)系為： mk???π2?TfT π21π2 ???對上式稍做推導(dǎo)可得： st?? g?此式表明： 已知重力作用下的靜變形，就可以求得系統(tǒng)的固有頻率。 比較圖示三種單自由度梁的圓頻率。 mEIl /2 l /2mEIl /2 l /2mEIl /2 l /2梁的自振頻率為： ??? m1[解 ] 按各梁的單位彎矩圖，求梁柔度： 4Pl325Pl163Pl8Pl8Pl 8PlEIl4831 ?? EIl7687 32 ?? EIl19233 ??三種情況的頻率： 3148mlEI??31 7768mlEI??3119 2mlEI??三種情況的頻率比： 25111321 :.::: ????? 有阻尼時：分三種情況 1?? 22,1 1 ???? ???? is令 2d 1 ??? ??1?? 臨界阻尼 ???s tetGGy ???? )( 21將不出現(xiàn)振蕩 低阻尼 稱為有阻尼自振頻率 對于一般工程結(jié)構(gòu)，阻尼比小于 因此，它接近于結(jié)構(gòu)的無阻尼自振頻率 2 ???則通解為： )c o ss i n( dd tbtaey t ???? ?? ?根據(jù)初始條件確定積分常數(shù)可得： ]s i nc o s[)( dd00d0 tyytyety t ??????? ??? ? ?可化為按指數(shù)規(guī)律衰減的三角函數(shù)的形式： 經(jīng)整理重新定義積分常數(shù)，可得通解為： tittit dd eGeGy )(2)(1 ???? ???? ??利用歐拉公式可轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的形式。 )s in ()( d ???? ?? ? tAety ty0?RIt?y0.x ( t)????etq??2? DT =D? t)s i n ()( d ??? ?? ?? ? tety t? 物理意義： ? 按 不變的圓頻率 ?d ，并圍繞中心位置振蕩，而其振幅則隨時間 呈指數(shù) e??t 衰減 。最終會衰減到零。 其中最大振幅 2d0020 ???????? ??????yyyA ?與臨界阻尼情況類似，也不會產(chǎn)生振蕩 ?????????? ????000da r c t a nyyy?1??初相位 一般工程結(jié)構(gòu)的阻尼比都較小，屬于第二種情況。 超阻尼 確定體系阻尼比的一種方法 )s i n ()( d ???? ?? ? tAety t? 體系的阻尼比可以通過測試體系運動的衰減規(guī)律得到： ? 阻尼體系動力反應(yīng)： ? 體系從任一時刻經(jīng)幾個周期后的振幅比為： ? ?dπ????????????????nTnnTtttt eeeeyykknkk2? 取對數(shù)后： dπl(wèi)n ???nyynkktt 2?? nkkttyyn??? lnπ2 1d???ty ( t)????ettk t + n Tk0kte ???d/??? 2T)( nTtke ????kmmc ??? 22 ??? 進而： 32 單自由度體系的受迫振動 微分方程的解分為通解和特解兩部分，通解為自由振動的解，前面已經(jīng)得出。 下面應(yīng)用疊加原理求受迫振動的特解。 先研究任意荷載作用下的情況。 結(jié)構(gòu)體系在外荷載激勵下的振動 它既與結(jié)構(gòu)本身的動力特性有關(guān)，又與外荷載的特性有關(guān)。 其運動方程的右端項不再為零。 =動力響應(yīng) 因此 )( tFkyycym p??? ???此為二階常系數(shù)非齊次微分方程。 思路：將任意荷載視為一系列獨立脈沖的總和，設(shè)法求出每一獨立脈沖的響應(yīng)，然后積分疊加起來。 步驟： 1）根據(jù)動量定理，沖量等于動量的增量。 )d(d)( 0P ???? ?? ymF ?mFy ???? d)()d( P0 ???2）再利用速度與位移、加速度的導(dǎo)數(shù)關(guān)系求出位移和加速度。 mFy 2P0)d)((21)d( ???? ??mFdy )()( P0??? ????)(tF)(?F0 t? ?d??tt?? dFQ ?? )(3）假設(shè)沖擊過后結(jié)構(gòu)將作自由振動，初始條件為上面得出的初位移和初速度。 因為位移為二階微量，可忽略。 )(s i nd)()(d d)(dP ????? ??? ?? ?? temFty t4）根據(jù)疊加原理： ? ?? ??t t temFty 0 d)(dP2 d)(s i n)()( ????? ???上式稱為杜哈梅（ Duhamel）積分，為特解。 全解即為通解與特解之和。 )( tFtF0為荷載的幅值， ?為荷載的圓頻率。 0F??2? 幾種常見荷載作用下的動力響應(yīng)分析 簡諧荷載 tFkyycym ?si n0??? ???其解為瞬態(tài)響應(yīng)（通解）和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)（特解）之和。 通解前面已經(jīng)得出。 tGtGty ?? c o ss in)( 212 ??代回原方程，引入頻率比： ??? ?整理可得出關(guān)于G1G2的線性方程求得系數(shù)： ? ? ? ?? ? ? ????????????????22202222201212211?????????kFGkFG下面討論其 特解 的求解方法。 考慮到荷載的特性，假設(shè)特解也為簡諧量，寫為： 對上式求導(dǎo)可以得出速度和加速度的表達式。 tmFyyy ??????? s i n022 ???tGtGty ???? c o ssi n)( 212? 對 y2(t)求導(dǎo)： tGtGty ?????? si nc o s)(212?tGtGty ??????? c o ss i n)( 22212??? 運動方程： ? 代入運動方程： tGtG ?????? c o ss i n 2221 tGtG ?????????? si nc o s 21 22