【文章內(nèi)容簡介】 率密度函數(shù)，其求法如圖 8 . 5 所示，圖中()Sxt表示任意一個(gè)樣本函數(shù)。在全部記錄時(shí)間 T 中，挑選出Sxx?的時(shí)間累積值1T，令1( ) /F x T T?，即得一維分布函數(shù)()Fx。類似地，一維概率密度函數(shù)為 《 振動(dòng)力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機(jī)振動(dòng)基礎(chǔ) ()()d F xfxdx? (8. 56) 圖 各態(tài)歷經(jīng)過程分布函數(shù)的計(jì)算方法 ()Fx x x 1TT 1 O 1 1 6 1 ()t t t T x? ? ? ? ? ? ? T 1t? 2t? 3t? 4t? 5t? 6t? xS t x 《 振動(dòng)力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機(jī)振動(dòng)基礎(chǔ) 對(duì)于各態(tài)歷經(jīng)過程，前面給出的各個(gè)矩函數(shù) （數(shù)字特征） 可以用 任一 樣本的 時(shí)間平均值來計(jì)算 ： 均值： /2/21l im ( )TTTX x t d tT ???? ? (8. 57) 均方值： /222/21l im ( )TTTX x t d tT ???? ? (8. 58) 方差： /222/21l im [ ( ) ]TxTTx t X d tT?????? ? (8. 59) 標(biāo)準(zhǔn)差： 2xx?? ? (8. 60) 自協(xié)方差：/22/21( ) l im [ ( ) ] [ ( ) ]TxxTTx t X x t X d tT? ? ????? ? ? ?? (8. 61) 互協(xié)方差：/22/21( ) l im [ ( ) ] [ ( ) ]TxyTTx t X y t Y d tT? ? ????? ? ? ?? (8. 62) 對(duì)于零均值隨機(jī)過程 ，方程 (8 .61 ) 和 (8 . 62 ) 變?yōu)?相關(guān)函數(shù)： 《 振動(dòng)力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機(jī)振動(dòng)基礎(chǔ) 自相關(guān)函數(shù)： /2/21( ) l im ( ) ( )TxTTR x t x t d tT??????? ? ( 8. 63) （()Xt均值為零） 互相關(guān)函數(shù)： /2/21( ) l im ( ) ( )TxyTTR x t y t d tT??????? ? ( 8. 64) （()Xt、()Yt均值為零） 后面介紹功率譜密度函數(shù)時(shí)進(jìn)一步論述相關(guān)函數(shù)。 8 .2. 4 Gau s s 隨機(jī)過程 假定有無數(shù)個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)過程12( ) , ( ) , , ( ) ,nX t X t X t，它們都具有有限的均值和方差，并且都為平穩(wěn)各態(tài)歷經(jīng)的，它們的和所構(gòu)成隨機(jī)過程 《 振動(dòng)力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機(jī)振動(dòng)基礎(chǔ) 1( ) ( )nkkX t X t?? ? ( 8. 65) 根據(jù)中心極限定理，隨機(jī)過程()Xt的概率函數(shù)在n ??時(shí)滿足正態(tài)分布（即 G au s s 分布），這種過程稱為 G a u s s（ 正態(tài) 過程 ） 隨機(jī)過程 ；其一維概率密度函數(shù)為 221 ( )( ) e x p [ ]22xxxXfx?????? ( 8. 66) 其中x?恰好為()Xt的標(biāo)準(zhǔn)差。對(duì)上式作變量代換： ( ) / xxX???? ( 8. 67) 則方程 ( 8 .6 6 ) 變?yōu)? 《 振動(dòng)力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機(jī)振動(dòng)基礎(chǔ) 2/21()2fe????? ( 8. 68) 這樣隨機(jī)過程()t?的均值為零、標(biāo)準(zhǔn)差為 1 ，即0 , 1?????；其概率分布函數(shù)為 2/21( ) ( )2uF f du e du???????? ?????? ( 8. 69) 兩個(gè) G au s s 過程1 ()Xt和2 ()Xt的二維概率密度函數(shù)為 12 22121 2 1 2221 1 1 1 2 2 2 212221 1 2 111( , ) e x p {2 ( 1 )21( ) ( ) ( ) ( )[ 2 ] }f x xx X x X x X x X?? ? ? ??? ? ? ?? ? ???? ? ? ? ??? ( 8. 70) 其中1?、2?分別為1 ()Xt和2 ()Xt的標(biāo)準(zhǔn)差，12?為1 ()Xt和 《 振動(dòng)力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機(jī)振動(dòng)基礎(chǔ) 2 ()Xt的相關(guān)系數(shù)。對(duì)上式作變量代換： 1 1 1 1 2 2 2 2( ) / , ( ) /x X x X? ? ? ?? ? ? ? (8. 71) （12120 , 1??? ? ? ?? ? ? ?） 可得 221 1 2 1 2 212 22121212( , ) e x p [ ]2 ( 1 )21f? ? ? ? ????????? ? ??? (8. 72) 這里 1 2 1 2 1 2212 /? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? (8. 73) Gaus s 過程的特點(diǎn)可以總結(jié)成以下三條 ： （ 1 ）自 然界的很多偶然現(xiàn)象，看起來錯(cuò)綜復(fù)雜，而當(dāng)我們匯集大量互不相關(guān)的各種偶然因素時(shí)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)結(jié)果呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性。經(jīng)常可以 將這種綜合隨 《 振動(dòng)力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機(jī)振動(dòng)基礎(chǔ) 機(jī)現(xiàn)象視為 G auss 隨機(jī)過程。隨機(jī)振動(dòng)及其振源在許多情況下都被認(rèn)為是 Gauss 過程。 （ 2 ）因?yàn)?G auss 過程是由許多獨(dú)立變量之和組成，所以由兩個(gè)以上的 Gauss 過程之和組成的隨機(jī)過程仍然為 Gauss 過程。對(duì) Gauss 過程進(jìn)行線性運(yùn)算，其結(jié)果仍然為 G auss 過程。但是，如果對(duì) G auss 過程進(jìn)行非線性運(yùn)算，其結(jié)果就不是 G auss 過程。 （ 3 ） G auss 過程的 所有高次矩可以 由一次矩和二次矩確定，因此 G aus s 過程的性質(zhì)完全由均值和方差確定。例如，均值為零時(shí)，四次矩為 ： 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 1 4 1 3 2 4X X X X X X X X X X X X X X X X? ? ? ? ? ? (8. 74) 當(dāng)1 3 2 4,X X X X??時(shí)， 《 振動(dòng)力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機(jī)振動(dòng)基礎(chǔ) 2 2 2 2 21 2 1 2 1 22 ( )X X X X X X? ? ? (8. 75) 當(dāng)1 2 3 4X X X X? ? ?時(shí)， 4 2 2 43 ( ) 3xXX ??? (8. 76) 此外，當(dāng)0X ?時(shí)， X 的偶次矩為 22 1 3 5 ( 2 1 )nnxXn ?? ? ? ? (8. 77) X 的奇次矩為零。 8. 3 功率譜密度與相關(guān)函數(shù) 前面介紹的概率密度函數(shù)，可以給出隨機(jī)振動(dòng)振幅的有關(guān)信息。但是，我們還需要知道振動(dòng)波形的相關(guān)信息，為此必須研究振動(dòng) 信號(hào)()xt所包含的頻率成分 ，這里()xt可以是平穩(wěn)各態(tài)歷經(jīng)過程的樣本函數(shù)， 也可以是 《 振動(dòng)力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機(jī)振動(dòng)基礎(chǔ) 確定性信號(hào) 的一個(gè)記錄 。 8. 周期信號(hào)的 功率譜密度函數(shù) 假定 信號(hào)()xt是周期為 T 的 周期函數(shù)，則()xt可展成Fo ur ier 級(jí)數(shù)： 0 0 001( ) ( )i n t i n t i n tn n nnnx t c e c c e c e? ? ?????? ? ? ?? ? ? ??? (8. 78) 其中nncc???為nc的復(fù)共軛，0 2/ T?? ?為()xt的基頻，nc按下式計(jì)算： 0/2/21()Ti n tnTc x t e d tT???? ? (8. 79) 顯然()xt的均值為0c， 不失一般性，假設(shè)0 0c ?，則 《 振動(dòng)力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機(jī)振動(dòng)基礎(chǔ) 0 0 001( ) ( ) , 0i n t i n t i n tn n nnnx t c e c e c e c? ? ?????? ? ? ?? ? ? ??? (8. 80) 我們來 計(jì)算()xt的 均方值 2x， 為 00/22 2 2/2111[ ( ) ] 2 | |Ti n t i n tn n n n nTn n nx c e c e d t c c cT??? ? ?????? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? (8. 81) 也就是說，均方值 2x等于所有 Fo ur ier 系數(shù)模的平方和。 方程 (8 .80 ) 表示()xt由無數(shù)個(gè)諧波成分疊加而成，每個(gè)諧波成分的幅值為nc， 角頻率為0n ?； 而觀察方程 ( 1)易知， 單個(gè)諧波成分0i n tnce?的均方值為2||nc。 方程 (8 .81 )可寫成： 《 振動(dòng)力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機(jī)振動(dòng)基礎(chǔ) 2 2 2000201 2 1| | | |2211||2nnnnnnx c T cTcT???? ? ?????? ?? ? ???? ???????? (8. 82) 我們令 2200||1( ) | | 2nxncS n T cT????? (8. 83) 圖 周期信號(hào)的離散功率譜 ? O 02 ? 02 ?? 04 ?? 04 ? ()xS ? 《 振動(dòng)力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機(jī)振動(dòng)基礎(chǔ) 可見，0()xSn ?實(shí)際上是將2||nc均勻分配到頻率軸上0n ?處、寬度為0?的區(qū)間上所得的平均值的2?倍，即0()xSn ?是均方值在頻率0n ?處相對(duì)于頻率的一種密度 ，稱為周期信號(hào)()xt的 離散功率譜密度 函數(shù) 。 我們 可以作出0()xSn ?與?之間的 函數(shù)圖形， 如圖 8. 6 所示 。 周期信號(hào)()xt的均方值 2x用功率譜密度函數(shù)可 寫為 2001()2xnx S n ????? ? ?? ? (8. 84) 8. 非周期信號(hào)的功率譜密度函數(shù) 如果信號(hào)()xt是非周期函數(shù)， 則可以用 F ou rier 積分變換將()xt變換為 角 頻率?的函數(shù)()X ?，變換公式為 ( ) ( )itX x t e dt??????? ? (8. 85) 《 振動(dòng)力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機(jī)振動(dòng)基礎(chǔ) 1( ) ( )2itx t X e d???????? ? (8. 86) 現(xiàn)在()X ?是角頻率?的連續(xù)函數(shù)， 由方程 (8 . 86 ) 可見，()X ?的意義是 ： 非周期信號(hào)()xt由無限個(gè)角頻率為?、大小為( ) / 2X ??的諧波成分組成，這些諧波成分在?軸上連續(xù)分布。 對(duì)于兩個(gè)非周期信號(hào)1 ()xt和2 ()xt，由方程 (8 .86 ) 可得 1 2 2 11( ) ( ) ( ) ( )2itx t x t x t X e d???????? ? 由 上式并考慮到 (8 . 85 ) 可得 《 振動(dòng)力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機(jī)振動(dòng)基礎(chǔ) 1 2 2 121*121( ) ( ) ( ) ( )21[ ( ) ] (